八年级上学期期末数学试题 (22)

这是一份八年级上学期期末数学试题 (22)，共19页。试卷主要包含了下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

单选题（每小题4分，共10×4=40分）
1．2023年全国城市节约用水宣传周活动时间为5月14日至20日，成都市宣传主题为“推进城市节水，建设宜居城市”，如图所示倡导节约用水的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分析即可解决．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是找出对称轴，对称轴两侧折叠后可以重合．
2．现有两根长度分别为3cm和6cm的木棒，若要钉成一个三角形木棒，则第三根木棒长可以为（ ）
A．2cmB．3cmC．5cmD．9cm
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．
【详解】解：设第三根木棒长为xcm，
则6−3∴四个选项中，第三根木棒长可以为5cm，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a5B．2a2−a2=1C．a6÷a2=a3D．(−2a)3=−6a3
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘除法则、积的乘方和合并同类项法则逐项判断即得答案．
【详解】解：A.a2⋅a3=a5，选项A符合题意；
B.2a2−a2=a2，选项B不符合题意；
C.a6÷a2=a4，选项C不符合题意；
D.(−2a)3=−8a3，选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除、积的乘方等知识，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
4．1张新版百元的人民币厚约为0.00009米，数据“0.00009米”用科学记数法可表示为（ ）
A．9×10−5米B．9×10−4米C．0.9×10−6米D．90×10−3米
【答案】A
【分析】把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤a<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
【详解】解：∵0.00009=9×10−5，
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A． x2+1=xx+1xB． x−y2=x2−2xy+y2
C． x2−9y2=x+3yx−3yD． x2−y2−1=x+yx−y−1
【答案】C
【分析】因式分解就是将一个多项式化成几个整式积的形式，据此进行判断即可．
【详解】A、等号右边不是整式与整式的积，它不是因式分解，
则A不符合题意；
B、它是整式乘法运算，不是因式分解，
则B不符合题意；
C、它符合因式分解的定义，
则C符合题意；
D、等号右边不是积的形式，它不是因式分解，
则D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．如图，用直尺和圆规在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE=3，则PF的长为（ ）

A．1.5B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】由作图可知，OH平分∠AOB，由角平分线的性质可得出答案．
【详解】解：由作图可知，OH平分∠AOB，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PF=PE=3，
故选∶B．
【点睛】本题考查了基本作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
7．如图，CD、AE分别是△ABC的两条中线，AE、CD相交于点F，△CFE的面积为1，则△ABC的面积是（ ）

A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】连接BF并延长，交AC于点G，根据三角形中线的可得S△AEC=S△AEB=S△CDA=S△CDB=S△BGA=S△BGC=12S△ABC，进而得出S△CEF=S△ADF，S△CGF=S△BDF，S△AGF=S△BEF，再根据S△CEF=S△BEF=12S△BCF得出S△CEF=S△ADF=S△CGF=S△BDF=S△AGF=S△BEF=1，即可求解．
【详解】解：连接BF并延长，交AC于点G，
∵CD、AE分别是△ABC的两条中线，
∴BG是△ABC的中线，
∴S△AEC=S△AEB=S△CDA=S△CDB=S△BGA=S△BGC=12S△ABC，
∴S△AEC−S△ACF=S△CDA−S△ACF，即S△CEF=S△ADF，
同理可得：S△CGF=S△BDF，S△AGF=S△BEF，
∵点E为BC中点，
∴S△CEF=S△BEF=12S△BCF，
∴S△CEF=S△ADF=S△CGF=S△BDF=S△AGF=S△BEF=1，
∴S△ABC=6，
故选：B．

【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形三条中位线相交于一点，三角形的中线将三角形面积平均分成两份．
8．有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量到达容器高度的一半后，改用口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm3，由题意列方程，正确的是（ ）
A．12x+124x=30B．15x+154x=24C．30x+302x=24D．12x+122x=30
【答案】A
【分析】先求出则粗油管注油速度是细油管注油速度的4倍，设细油管的注油速度为每分钟xm3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm3，根据题意即可列出方程．
【详解】解：设细油管半径为r，则粗油管的半径为2r，
细油管横截面积πr2，
粗油管横截面积π2r2=4πr2，
4πr2πr2=4，
则粗油管注油速度是细油管注油速度的4倍，
设细油管的注油速度为每分钟xm3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm3，
可列方程为：12x+124x=30，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．
9．如图，已知AC+DC=AB，∠ADC=80°，∠ACD=40°，则∠B的度数为（ ）

A．50°B．40°C．30°D．20°
【答案】D
【分析】延长AC到点E，使EC=DC，连接DE，可求得∠E=∠CDE=20°，则∠ADE=∠ADC+∠CDE=100°，作AF⊥BC于点F，AG⊥ED交ED的延长线于点G，可证明△ADF≌△ADG，得AF=AG，再根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ABF≌Rt△AEG，则∠B=∠E=20°．
【详解】解：如图1，延长AC到点E，使EC=DC，连接DE，

则∠CDE=∠E，
∵∠ACD=40°，
∴∠CDE+∠E=2∠E=2∠CDE=∠ACD=40°，
∴∠E=∠CDE=20°，
∵∠ADC=80°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=100°，
∴作AF⊥BC于点F，AG⊥ED交ED的延长线于点G，则∠AFB=∠G=90°，
∵∠ADG=180°−∠ADE=80°，
∴∠ADC=∠ADG=80°，
在△ADF和△ADG中，
∠AFD=∠G∠ADF=∠ADGAD=AD，
∴△ADF≌△ADG(AAS)，
∴AF=AG，
∵AC+DC=AB，AC+DC=AC+EC=AE，
∴AB=AE，
在Rt△ABF和Rt△AEG中，
AB=AEAF=AG，
∴Rt△ABF≌Rt△AEG(HL)，
∴∠B=∠E=20°，
故选：D．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10．已知两个多项式A=x2+2x−1，B=2x2−x+1，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：
①当x=−1时，则A⋅B=−8；
②若A+B=10，则x=−2或53；
③若多项式mA+x+nB的取值与x无关，则m=−25，n=15；
④代数式|2A−B−2|+|2A−B|−|2A−B+2|化简后总共有6种不同表达式；
⑤多项式2A2+9B2−6A⋅B+8A+2039的最小值为2023．
上面说法正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】解：把字母的值代入运算，即可判断①正确；由题意得方程求解，可判断②正确；③mA+x+nB=(m+2n)x2+(2m−n+1)x+(n−m)得关于参数的方程组求解m=−25，n=15，故③正确；④将整式代入化简，根据绝对值的性质公式分情况讨论，可知有四种情况，故④错误；⑤2A2+9B2−6A⋅B+8A+2039 =(A−3B)2+(A+4)2+2023，由配方法A+4=(x+1)2+2≥2知2A2+9B2−6A⋅B+8A+2039>2023，故⑤错误．
【详解】解：A⋅B=(x2+2x−1)(2x2−x+1)=−2×(2+2)=−8，故①正确；
②由A+B=10得，(x2+2x−1)+(2x2−x+1)=10，
整理，得：3x2+x−10=0，
解得：x=−2或53，故②正确；
③mA+x+nB=m(x2+2x−1)+x+n(2x2−x+1)=(m+2n)x2+(2m−n+1)x+(n−m)，
∴m+2n=02m−n+1=0，
解得：m=−25，n=15，故③正确；
④2A−B=2(x2+2x−1)−(2x2−x+1)=5x−3
∴|2A−B−2|+|2A−B|−|2A−B+2|
=5x−3−2+5x−3+5x−3+2
=5x−5+5x−3+5x−1；
由5x−5=0，x=1；5x−3=0，x=35；5x−1=0，x=15；
x<15时，原式=−(5x−5)−(5x−3)−(5x−1)=−15x+9；
15≤x<35时，原式=−(5x−5)−(5x−3)+(5x−1)=−5x+7；
35≤x<1时，原式=−(5x−5)+(5x−3)+(5x−1)=5x+1；
x≥1时，原式=(5x−5)+(5x−3)+(5x−1)=15x−9；故有四种情况，故④错误；
⑤2A2+9B2−6A⋅B+8A+2039
=A2−6AB+9B2+A2+8A+16+2023
=(A−3B)2+(A+4)2+2023．
∵A=x2+2x−1，
∴A+4=x2+2x−1+4=(x+1)2+2≥2，
∴2A2+9B2−6A⋅B+8A+2039 =(A−3B)2+(A+4)2+2023>2023，故⑤错误；
故选：B
【点睛】本题考查整式的运算，完全平方公式，绝对值的化简，解二元一次方程组．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共8×4=32分）
11．当x= 时，分式|x|−2x−2值为零．
【答案】−2
【分析】根据分式的意义，分式的值为零的方法即可求解．
【详解】解：当x−2=0，且x−2≠0，
∴x=−2时，分式|x|−2x−2值为零，
故答案是：−2．
【点睛】本题主要考查分式的性质，分式有意义的条件，掌握分式的基本性质，分式有意义的条件是解题的关键．
12．分解因式：x3−4x2+4x= ．
【答案】xx−22
【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：x3−4x2+4x=xx2−4x+4=xx−22，
故答案为：xx−22
【点睛】此题考查了分解因式，熟练掌握综合应用提公因式和公式法是解题的关键．
13．一个正多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个正多边形是正 边形．
【答案】六
【分析】设这个正多边形是正n边形，根据“正多边形的内角和是它的外角和的两倍”列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设这个正多边形是正n边形，
则n−2⋅180°=360°×2，
解得n=6，
即这个正多边形是正六边形．
故答案为：六．
【点睛】此题考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键．
14．点P(a，b)关于y轴的对称点P1(3，−2)，则点P的坐标为 ．
【答案】(−3，−2)
【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出结论即可．
【详解】∵P(a，b)关于y轴的对称点P1(3，−2)，
∴P(−3，−2)，
故答案为：(−3，−2)．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特征，正确把握横纵坐标关系是解题关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AC=9,AD=5，则DE的长为 ．
【答案】4
【分析】根据角平分线的性质定理，可得DE=CD，即可求解．
【详解】解：∵AC=9,AD=5，
∴CD=AC−AD=4，
∵∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1= °．
【答案】76
【分析】由折叠的性质得到∠1=∠AED=∠FED=12∠AEF，由平行线的性质得到∠A=∠FEC，由∠C=90°，∠B=62°，推出∠FEC=28°，即可求出∠1=12180°−∠FEC=76°．
【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得△FDE，
∴∠1=∠AED=∠FED=12∠AEF，
∵EF∥AB，
∴∠A=∠FEC，
∵∠C=90°，∠B=62°，
∴∠A=90°−∠B=28°，
∴∠FEC=28°，
∴∠1=12180°−∠FEC=76°．
故答案为：76．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，由折叠的性质得到∠1=∠AED=∠FED=12∠AEF，是解答本题的关键．
17．若关于x的一元一次不等式组x+a≤1+3x2x<1无解，且关于y的分式方程2+ay3−y=1y−3−1的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】9
【分析】由不等式组的解集可确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义确定整数a的值即可．
【详解】解：x+a≤1+3x2①x<1②
解不等式①得：x≥2a−1
解不等式②得：x<1
∵不等式组无解：
∴2a−1≥1
∴a≥1
2+ay3−y=1y−3−1
解得：y=−6a−1
∵y=−6a−1是整数
∴a−1=±1,±2,±3
∴a=2，0，3，−1，4，−2，
∵y=3是增根，则a−1≠−2，
∴a≠−1
又a≥1，则a=2,3,4
∴所有满足条件的整数a的值之和是2+3+4=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查一元一次不等式组，分式方程，理解一元一次不等式组、分式方程的解，掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是正确解答的前提．
18．如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字均不为0，且满足ab+bc=cd，那么称这个四位数为“共和数”，例如：四位数1235，∵12+23=35，∴1235是“共和数”又如：四位数3824，38+82≠24，∴3824不是“共和数”，若一个“共和数”为m268，则m的值为 ；若一个“共和数”M的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的差，再减去2a，结果能被7整除，则满足条件的M的最大值与取小值的差是 ．
【答案】 4 4494
【分析】根据递减数的概念列方程求m的值，根据递减数的概念先求得10a+11b−9c=d, 然后根据题意列出的数能被7整除的数的特征分析满足条件的最大值与最小值，求差即可.
【详解】由题意可得10m+2+26=68,
解得m=4,
由题意可得，
10a+b+(10b+c)=10c+d,
整理, 可得10a+11b−9c=d,
一个“共和数”的前三个数字组成的三位数 abc与后三个数字组成的三位数 bcd的差，再减去2a为：
100a+10b+c−(100b+10c+d)−2a
=98a−90b−9c−d
=88a−101b
=7(12a−15b)+4a+4b,
又∵能被7整除，
∴4a+4b7是整数, 且a≠b≠c≠d, 1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9,1≤d≤9,
a=1时，原四位数可得最小值，此时b只能取6，这是四位数为1684，
当a=2时, b=5, 此时四位数为2583,
当a=3时, b=4, 此时四位数为3482,
当a=4时, b=3, 此时四位数为4381,
当a=5时, b=2, 此时四位数为5279或5280(舍去),
当a=6时, b=1, 此时四位数为6178,
a取7或8或9时，均不符合题意，
∴满足条件的M的最大值与取小值的差是：6178−1684=4494，
故答案为:4；4494.
【点睛】本题考查新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键.
三、解答题(共78分)
19．（8分）因式分解：
(1)a2b−25b； (2)−12a2+36a−27．
【答案】(1)ba+5a−5
(2)−32a−32
【分析】（1）提取公因式b，然后根据平方差公式因式分解，即可得；
（2）提取公因数3，再使用运用完全平方公式即可得．
【详解】（1）解：a2b−25b
=ba2−25
=ba+5a−5；
（2）解：−12a2+36a−27
=−34a2−12a+9
=−32a−32．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解，平方差公式，完全平方公式是关键．
20．（10分）先化简，再求值：2aa+1−2a−4a2−1÷a−2a2−2a+1，其中a=−3．
【答案】2a+1，−1
【分析】先计算分式的除法，再计算分式减法得到化简结果，再把字母的值代入化简结果计算即可．
【详解】解：2aa+1−2a−4a2−1÷a−2a2−2a+1
=2aa+1−2a−2a+1a−1⋅a−12a−2
=2aa+1−2a−1a+1
=2a+1
当a=−3时，
原式=2−3+1=−1．
【点睛】此题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则和运算顺序是解题的关键．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE平分∠ADC，交BC于点E．

(1)用直尺和圆规作∠ABC的角平分线，交AD于点F；（保留作图痕迹）
(2)求证：BF∥DE．
证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，且∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC= °，
∴12∠ABC+12∠ADC=90°．
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABF=12∠ABC，∠1=12 ，
∴ +∠1=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠1= ，
∴BF∥DE．
【答案】(1)见解析
(2)180，∠ADC，∠ABF，∠AFB
【分析】（1）利用尺规作图作角平分线的方法即可求解．
（2）利用四边形的内角和及角平分线的性质可得∠ABF+∠1=90°，再利用平行线的判定即可求解．
【详解】（1）解：作法：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M，交BC于N，
②以点M为圆心，以大于12MN为半径画弧，
③以N为圆心，以大于12MN为半径画弧，
④连接点B与交点，交AD于F，
如图所示，即为所作：

（2）证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，且∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴12∠ABC+12∠ADC=90°．
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABF=12∠ABC，∠1=12∠ADC，
∴∠ABF+∠1=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠1=∠AFB，
∴BF∥DE．
故答案为：180，∠ADC，∠ABF，∠AFB．
【点睛】本题考查了作图——尺规作图、角平分线的性质及平行线的判定，熟练掌握基础知识是解题的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=FD，BE=FC．

(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AC=4，AB=5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)43
【分析】（1）根据题意先证明的Rt△BDE≌Rt△DFC，再根据角平分线的性质即可证明的AD平分∠BAC；
（2）利用S△ABC=S△ACD+S△ABD可求得DE的长．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB
∴∠BED=90°，且∠C=90°，
又∵BD=FD，BE=FC，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，
∴DC=DE，且DC⊥AC，DE⊥AB，
∴AD平分∠BAC
（2）解：∵∠C=90°，AC=4，AB=5，
由（1）知DC=DE，
∴S△ABC=S△ACD+S△ABD
∴12AC⋅CD+12AB⋅DE=6，
∴DE=43．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理．
23．（10分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球经调查，若购买篮，球的数量是足球的2倍，购买篮球需要6000元，购买足球需要2000元，已知篮球单价比足球单价贵30元。
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元?
(2)若学校计划采购篮球和足球共60个，并要求篮球数量多于40个，且总费用不高于5000元，则学校最多可采购多少个篮球?
【答案】(1)篮球的单价是90元，足球的单价是60元；
(2)最多采购篮球46个
【分析】（1）设篮球的单价是x元，则足球的单价是x−30元，由题意：购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设采购篮球m个，则采购足球为60−m个，由题意：篮球多于40个，且总费用低于5000元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【详解】（1）设篮球的单价是x元，则足球的单价是x−30元，
由题意得：
6000x=2×2000x−30，
解得：x=90，
经检验，x=90是原方程的解，且符合题意，
∴x−30=60，
答：篮球的单价是90元，足球的单价是60元；
（2）设采购篮球m个，则采购足球为60−m个，
由题意得：
m>4090m+6060−m<5000，
解得：40又∵m为整数，
∴ m最大值为46
∴最多采购篮球46个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程与不等式组．
24．（10分）完全平方公式：a±b2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，ab=1，所以，a+b2=9，2ab=2，a2+b2=a+b2−2ab
即可得a2+b2=7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy=______；
(2)①若2a+b=5，ab=2，求2a−b的值；
②若4−x5−x=8，求4−x2+5−x2的值；
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形的，设AB=6，两正方形的面积和S1+S2=18，求图中阴影部分面积．

【答案】(1)12
(2)①±3；②17
(3)92
【分析】（1）根据完全平方公式变形求出2xy的值，从而求出xy的值；
（2）①先求出2a−b2的值，再求出2a−b的值；②先把要求的式子变形之后在代入求值；
（3）先设出AC=m、BC=n的长度，再代入题目中得到关于m、n的式子，再根据完全平方公式求出mn的值，最后求出阴影部分的面积．
【详解】（1）解：∵x+y=8，
∴x+y2=64，
∵x2+y2=40，
∴2xy=x+y2−x2+y2=24，
∴xy=12；
故答案为：12；
（2）解：①∵2a+b=5，ab=2，
∴2a−b2=2a+b2−8ab=9，
∴2a−b=±3，
②∵4−x5−x=8，
∴4−x2+5−x2
=4−x−5−x2+24−x5−x=−12+2×8=17；
（3）解：设AC=m，BC=n ，
∵AB=6，S1+S2=18，
∴m+n=6，m2+n2=18，
∴2mn=m+n2−m2+n2=18，
∴mn=9，
∵四边形CFGB为正方形，
∴CF=BC=n，
∴S阴=12AC⋅CF=12⋅m⋅n=92．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
25．（10分）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

(1)如图1，如果∠A=70°，∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BPC的度数；
(2)如图1，如果∠A=α，用含α的代数式表示∠BPC；
(3)探索：如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试写出∠Q、∠A之间的数量关系；
(4)拓展：如图3，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
【答案】(1)125°
(2)90°+12α
(3)90°−12∠A
(4)60°或120°或45°或135°
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠PBC=12∠ABC=25°，∠PCB=12∠ACB=30°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）根据角平分线的性质可得∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，根据三角形内角和定理即可求解；
（3）根据角平分线的性质可得∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，根据三角形的外角性质可得∠QBC=12180°−∠ABC，∠QCB=12∠180°−ACB，根据三角形内角和定理即可求解；
（4）根据角平分线的性质求得∠PBQ=90°，结合（3）中结论和三角形内角和定理求得 ∠E=12∠A，分四种情况进行讨论：①∠EBQ=3∠E=90°；②∠EBQ=3∠Q=90°；③∠Q=3∠E；④∠E=3∠Q；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠PBC=12∠ABC=25°，∠PCB=12∠ACB=30°，
在△PBC中，∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°−25°−30°=125°．
（2）解：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
在△ABC中，∠A=180°−∠ABC+∠ACB，
即∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−α，
在△PBC中，∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°−12∠ABC+∠ACB=90°+12α．
（3）解：∠Q、∠A之间的数量关系为：90°−12∠A．
理由：∵∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，
∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，
且∠ABC+∠MBC=180°，∠ACB+∠NCB=180°，
∴∠QBC=12∠MBC=12180°−∠ABC，∠QCB=12∠NCB=12∠180°−ACB，
故∠QBC+∠QCB=180°−12∠ABC+∠ACB=90°+12∠A，
在△QBC中，∠Q=180°−∠QBC+∠QCB=90°−12∠A．
（4）解：∵BP是∠ABC的角平分线，BQ是∠MBC的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠QBC=12∠MBC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=12∠ABC+∠MBC=90°，
由（3）可得∠Q=90°−12∠A，
则∠E=180°−∠EBQ−∠Q=12∠A，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①若∠EBQ是∠E的3倍，即∠EBQ=3∠E，
∴90°=3×12∠A，
解得：∠A=60°；
②若∠EBQ是∠Q的3倍，即∠EBQ=3∠Q，
∴90°=3×90°−12∠A，
解得：∠A=120°；
③若∠Q是∠E的3倍，即∠Q=3∠E，
∴90°−12∠A=3×12∠A
解得：∠A=45°；
④若∠E是∠Q的3倍，即∠E=3∠Q，
∴12∠A=3×90°−12∠A
解得：∠A=135°；
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质等，灵活运用三角形的内角和定理，外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
26．（10分）如图，△CAB与△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CDE=∠CED=45°，连接AD、BE．

(1)如图1，若∠CAD=20°，∠DCB=26°，求∠DEB的度数；
(2)如图2，若CE∥AB，AD平分∠BAC，求证：CD+AC=AB；
(3)如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M，且BM=CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．
【答案】(1)51°
(2)见解析
(3)CN+MN=BG，理由见解析
【分析】（1）先证明△ACD≌△BCESAS，可得∠ADC=∠BEC，由∠DCB=26°，∠CAD=20°，得∠ACD=∠ACB−∠DCB=64°，∠BEC=∠ADC=180°−∠ACD−∠CAD=96°，再结合∠DEB=∠BEC−∠CED即可求解；
（2）延长CD交AB于F，在AB上取AG=AC，连接DG，由题意可得∠BFC=90°，∠BCE=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACF=45°=∠CBA，进而可得BF=CF，由AD平分∠BAC，可知∠GAD=∠CAD，易证△ADG≌△ADCSAS，可得∠AGD=∠ACF=45°，则∠FDG=45°，可知DF=GF，可证BG=CD，由AB=AG+BG=AC+CD，即可证明结论；
（3）如图，结论：CN+MN=BG．如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T．证明△CBT≌△BCGASA，△BNM≌△BNTSAS，利用全等三角形的性质，可得结论．
【详解】（1）解：∵∠ACB=∠DCE=90°，即∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵CA=CB，CD=CE，
∴△ACD≌△BCESAS
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠DCB=26°，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=90°−26°=64°，
∵∠CAD=20°，
∴∠BEC=∠ADC=180°−∠ACD−∠CAD=96°，
又∵∠CED=45°，
∴∠DEB=∠BEC−∠CED=51°；
（2）证明：延长CD交AB于F，在AB上取AG=AC，连接DG，

∵CE∥AB，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠BCE=∠CBA=45°，∠BFC=90°，
则∠BCF=∠ACF=45°=∠CBA，
∴BF=CF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠GAD=∠CAD，
∵AG=AC，AD=AD，
∴△ADG≌△ADCSAS，
∴∠AGD=∠ACF=45°，则∠FDG=45°，
∴DF=GF，
∵BF=CF，即BG+GF=CD+DF，
∴BG=CD，
则AB=AG+BG=AC+CD；
即：CD+AC=AB；
（3）结论：CN+MN=BG．
理由：如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T，
∵∠CBA=45°，
∴∠NBT=45°，

∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
由（1）可知△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠BCT+∠ECB=90°，∠ECB+∠CBG=90°，
∴∠BCT=∠CBG，
∵∠CBT=∠BCG=90°，BC=CB，
∴△CBT≌△BCGASA，
∴BT=CG，CT=BG，
∵BM=CG，
∴BM=BT，
∵∠NBM=∠NBT=45°，BN=BN，
∴△BNM≌△BNTSAS，
∴MN=NT，
∴CN+MN=CN+NT=CT=BG．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题