四川省眉山市仁寿县第一中学南校区2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省眉山市仁寿县第一中学南校区2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年11月21日
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集定义分析可得.
【详解】由题知，又，所以，所以，即.
故选：D
2. 命题，，则命题p的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】命题，，则命题p的否定是，,
故选：B
3. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶函数的性质，以及函数增减的性质，逐个选项进行判断可得答案.
【详解】A选项，为奇函数，且单调递增，故A正确；
B选项，是奇函数，在，上递减，故B错误；
C选项，偶函数，故C错误；
D选项，是奇函数，且单调递减，故D错误，．
故洗：A
4. 已知，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】由，得，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
5. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得且，将转化为， 即可求解.
【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以，得且，
所以不等式等价于，
解得或，即不等式的解集为.
故选：A.
6. 函数的图象如图所示，则函数的定义域、值域分别是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义域和值域的定义，结合函数图象进行求解即可.
【详解】自变量可取或内的任意值，∴定义域为或.
函数值范围为或，即，∴值域为.
故选：C
7. 已知函数的最小值为8.则实数的值是（ ）
A -1B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可.
【详解】由，
而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又其在上的最小值为8，
所以，解得.
故选：C.
8. 定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性，利用单调性比较函数值大小即可.
【详解】由函数是偶函数，所以函数图象关于直线对称，
又对任意，当时都有，所以函数在上单调递增，
又，，所以，
所以.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知“”是“” 的充分不必要条件，则的值可能为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义可得，即可求解.
【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，
所以.
故选：BCD.
10. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一判断.
【详解】A、C选项的定义域和对应法则一致，故为同一函数：
B选项中函数的定义域为,而的定义域为，故两函数定义域不一致，不是同一函数.
D选项中函数的定义域为,而的定义域为，
故两函数定义域相同，且对应关系也相同，故是同一函数.
故选:ACD
11. 对于实数a，b，c下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质和赋值法逐项判断即可.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，若，则，所以，
所以，即，故C正确；
对于D，若，则，故D错误；
故选：ABC
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 若对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是
B. 若时，不等式恒成立，则实数a取值范围为
C. 若，，且，则的最小值为18
D. 已知函数，若，则实数a的值为或
【答案】CD
【解析】
【分析】对于选项A：根据具体函数定义域结合已知得出在上恒成立，即可根据含参一元二次不等式恒成立的解法分类讨论，解出答案，即可判断；
对于选项B：根据对钩函数的性质得出若时，，即可判断；
对于选项C：根据已知得出，即可根据基本不等式1的妙用得出，根据基本不等式得出答案，即可判断；
对于选项D：根据分段函数求函数值判断a的值为或是否满足题意.
【详解】对于选项A：若对任意实数x都成立，则在上恒成立，
当时，，满足题意，
当时，在上恒成立，则，解得，故A错误；
对于选项B：根据对钩函数的性质可得函数在上单调递增，
则当时，，
故当恒成立，则实数a取值范围为，故B错误；
对于实数C：，，且，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；
对于选项D：若，则，满足题意，
若，则，满足题意，故D正确；
故选：CD.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13. 已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则_____.
【答案】1
【解析】
【分析】根据偶函数的性质即可求得答案.
【详解】由题意是定义在R上偶函数，且当时，，
则，
故答案为：1
14. 若“，恒成立”是真命题，则实数m的最大值是______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据条件，将问题转成在区间上恒成立，构造函数，求出在区间上的最小值即可求出结果.
【详解】因为对，恒成立，
即在区间上恒成立，
令，易知，当时，，所以，得到，
故答案为：2.
15. 函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数=_______．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可．
【详解】解：∵幂函数，
∴m2﹣m﹣1=1，
解得m=2，或m=﹣1；
又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，
∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；
当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；
综上，m=﹣1，
故答案为﹣1
【点睛】本题考查了幂函数的定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．
16. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】构造新函数，先求新函数的最大值与最小值之和，再求的最大值与最小值之和.
【详解】设函数，则的最大值为，最小值为，
易知是奇函数，所以，所以，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17. 已知集合，集合，或
（1）求;
（2）求
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集概念进行计算；
（2）先求出，进而利用交集概念进行计算.
【小问1详解】
或或；
【小问2详解】
，
18. 若不等式的解集是．
（1）求实数a，b的值．
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系求解；
(2)将分式不等式转换为一元二次不等式求解.
【小问1详解】
因为不等式的解集是，
所以方程的两个根为，且，
所以由韦达定理可得解得.
【小问2详解】
由(1)可得不等式为不等式，
则有也即，
解得，
所以不等式的解集为.
19. 定义在上的函数满足，.
（1）求的值
（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若函数在上单调递增，求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）函数为奇函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）令，根据已知列方程即可得出答案；
（2）令，根据已知列方程结合小问一即可得出，即可证明；
（3）令，得出，即，根据已知结合奇函数的性质得出，得出，根据已知结合奇函数的性质得出函数在上单调递增，即可根据单调性解不等式得出解集.
【小问1详解】
令，得，解得；
【小问2详解】
因为函数的定义域为，令，
则，
，
，
函数为奇函数；
小问3详解】
，
令，得，
，
，
，
，
，
函数在上单调递增，且函数为奇函数，
函数在上单调递增，
，解得，
故不等式的解集为.
20. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
（1）设一次订购件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当一次订购550件服装时，该厂获得的利润最大，最大利润为6050元
【解析】
【详解】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．
（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60-（x-100）×0.02=62-0.02x．
（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x-40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62-0.02x）x-40x=22x-0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．
解：(1)当0当100∴p＝
(2)设利润为y元，则
当0当100∴y＝
当0当100y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，
∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.显然6 050>2 000.
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．
21. 已知函数是定义在区间上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式.
（2）用定义法判断函数在区间上的单调性并证明；
（3）解不等式．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性求出参数a、b，检验即可；
（2）利用定义法证明函数的单调性，即可求解；
（3）利用函数的奇偶性和单调性解不等式，即可求解.
【小问1详解】
∵为定义在区间上的奇函数，
∴，∴．又，∴．
检验：当，时，，
，∴为奇函数，符合题意，
∴．
【小问2详解】
对任意的，
．
∵，∴，，∴．
又，，故，
∴，即，
∴函数在区间上单调递增．
【小问3详解】
∵为定义在区间上的函数，
∴，解得．
∵，且为定义在区间上的奇函数，
∴．
又在区间上单调递增，
∴，解得或．
综上，实数m的取值范围是．
22. 定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值.
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意解方程即可，
（2）由题意可得方程有两个不相等的实根，得，再由可求得结果，
（3）设，，，则，，再由题意可得，结合根与系数的关系得，表示出结合二次函数的性质可求得结果.
【小问1详解】
，由，解得或，
所以所求的不动点为或.
【小问2详解】
令，则①，
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，
即恒成立，则，故.
【小问3详解】
设，，，
又是的不动点，∴，，
∴、的中点为.
又的中点在上
∴，
∴，
而是方程的两个根，
∴
即
∴，
∴当，即时，.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查计算能力，属于较难题.