甘肃省兰州市西北中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份甘肃省兰州市西北中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈N|x2＝1}，那么∁A（A∩B）＝（ ）
A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}
2．（5分）下列表示正确的个数是（ ）
（1）0∉∅；
（2）∅⊆{1，2}；
（3）；
（4）若A⊆B，则A⋂B＝A．
（5）∅∈{∅}
A．4B．3C．2D．1
3．（5分）已知命题．则（ ）
A．p为真命题，命题p的否定：
B．p为假命题，命题p的否定：∀x＞0，x2+2x+1≠x
C．p为真命题，命题p的否定：∀x＞0，x2+2x+1≠x
D．p为假命题，命题p的否定：∀x≤0，x2+2x+1≠x
4．（5分）已知幂函数f（x）的图象过点，则f（8）＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知函数f（2x+1）＝5x﹣6，且f（t），则t＝（ ）
A．7B．5C．3D．4
6．（5分）已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b
7．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1），则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
8．（5分）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D（x）＝它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f（x）2﹣D（x），则下列实数不属于函数f（x）值域的是（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、多选题（本题共4小题总分20分）
（多选）9．（3分）已知函数，关于函数f（x）的结论正确的是（ ）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）的值域为（﹣∞，4）
C．f（﹣1）＝1
D．若f（x）＝3，则x的值是
（多选）10．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．函数的最小值是2
B．若x＞1，则的最小值是8
C．已知x，y都是正数，若x+2y＝2，则xy的最大值是
D．
（多选）11．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．函数y＝2x2+x+1在（0，+∞）上是增函数
B．函数在（﹣∞，﹣1）⋃（﹣1，+∞）上是减函数
C．函数的单调递减区间是[2，+∞）
D．已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）
（多选）12．（3分）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3
B．
C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3
D．二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的零点为2和3
三、填空题（本题共4小题总分20分）
13．（3分）不等式＞1的解集是 ．
14．（3分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝ ．
15．（3分）不等式的解集为 ．
16．（3分）若函数的定义域为R，则实数a的取值集合是 ．（用区间表示）
四、解答题（本题共6小题总分70分）
17．（10分）计算下列各式：
（1）；
（2）．
18．（12分）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解是[﹣，﹣]
（1）求a，b的值；
（2）求不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣2在[1，+∞）上为减函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．
20．（12分）已知函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a+1）+f（2a﹣1）＞0
21．（12分）已知函数f（x）＝|x|（x+1）．完成下面两个问题：
（1）画出函数f（x）的图象，并写出其单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值．
22．（12分）设函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数（）＝．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
2023-2024学年甘肃省兰州市西北中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题总分40分）
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈N|x2＝1}，那么∁A（A∩B）＝（ ）
A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}
【分析】首先求出集合B，再根据交集、补集的定义计算可得．
【解答】解：由x2＝1，解得x＝6或x＝﹣1，
因为B＝{x∈N|x2＝6}＝{1}，又A＝{﹣1，2，
所以A∩B＝{1}，
则∁A（A∩B）＝{﹣1，5}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．（5分）下列表示正确的个数是（ ）
（1）0∉∅；
（2）∅⊆{1，2}；
（3）；
（4）若A⊆B，则A⋂B＝A．
（5）∅∈{∅}
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、交集、子集等知识进行分析，从而确定正确答案．
【解答】空集没有元素，所以0∉∅正确；
空集是任何集合的子集，所以∅⊆{1，也即（2）正确；
由解得，所以（3）错误；
若A⊆B，即A是B的子集，所以（4）正确；
根据元素与集合的关系可知∅∈{∅}正确，也即（5）正确．
所以正确的个数是4．
故选：A．
【点评】本题考查集合间的基本关系，属于基础题．
3．（5分）已知命题．则（ ）
A．p为真命题，命题p的否定：
B．p为假命题，命题p的否定：∀x＞0，x2+2x+1≠x
C．p为真命题，命题p的否定：∀x＞0，x2+2x+1≠x
D．p为假命题，命题p的否定：∀x≤0，x2+2x+1≠x
【分析】由题设x2+2x+1＝x⇒即可判断原命题的真假，再由特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案．
【解答】解：由x2+2x+4＝x，即，显然不可能成立，
所以p为假命题，
由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为∀x＞0，x2+5x+1≠x．
故选：B．
【点评】本题主要考查了特称命题的否定，考查了命题真假的判断，属于基础题．
4．（5分）已知幂函数f（x）的图象过点，则f（8）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据待定系数法求解，即可代入求解．
【解答】解：设f（x）＝xα，则，
所以，故．
故选：C．
【点评】本题考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）已知函数f（2x+1）＝5x﹣6，且f（t），则t＝（ ）
A．7B．5C．3D．4
【分析】根据f（2x+1）＝5x﹣6即可求出，再根据f（t）＝9即可得出，解出t即可．
【解答】解：∵；
∴；
∴；
解得t＝7．
故选：A．
【点评】考查已知f[g（x）]的解析式求f（x）解析式的方法，换元法求函数解析式的方法．
6．（5分）已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b
【分析】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可．
【解答】解：由y＝0.31x单调递减可知：0.317.1＞0.312.2，即a＞b；
由y＝x0.5单调递增可知：0.320.4＞0.310.7，即c＞a
所以c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的单调性，属于基础题．
7．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1），则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数
∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数
则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜3等价为不等式x[f（x）+f（x）]＜0，
即2xf（x）＜7
即当x＞0时，f（x）＜0，
当x＜6时，f（x）＞0，
即不等式的解集为（﹣1，5）∪（0
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的解法，此类问题往往借助于函数图象分析．奇函数的图象关于原点成中心对称．
8．（5分）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D（x）＝它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f（x）2﹣D（x），则下列实数不属于函数f（x）值域的是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】根据已知条件求出f（x），利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解．
【解答】解：由题意可知f（x）＝x2﹣D（x）＝，
所以f（1）＝13﹣1＝0，，，而f（x）＝1无解．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的应用，属于基础题．
二、多选题（本题共4小题总分20分）
（多选）9．（3分）已知函数，关于函数f（x）的结论正确的是（ ）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）的值域为（﹣∞，4）
C．f（﹣1）＝1
D．若f（x）＝3，则x的值是
【分析】根据函数的定义域的定义，分段函数值域的求法以及函数的定义逐项判断．
【解答】解：显然定义域为（﹣∞，﹣1）∪[﹣1，3]，故A错误；
当x＜﹣1时，f（x）＝x+5＜2，f（x）＝x2∈[0，6），4）；
f（﹣1）＝（﹣8）2＝1，故C正确；
若f（x）＝4，则，或，解得x＝﹣2或．
故选：BC．
【点评】本题考查分段函数的性质，以及函数定义域、值域和函数值的求法，属于中档题．
（多选）10．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．函数的最小值是2
B．若x＞1，则的最小值是8
C．已知x，y都是正数，若x+2y＝2，则xy的最大值是
D．
【分析】结合x＜0可判断A选项；结合基本不等式可判断BC选项；，进而结合对勾函数的单调性即可判断D选项．
【解答】解：对于A，当x＜0时，；
对于B，由x＞1，
当且仅当，即时等号成立的最小值是8；
对于C，因为x，所以，即，
当且仅当x＝6y，即x＝1，，所以xy的最大值是；
对于D，令，即，
因为函数在上单调递增＝，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）11．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．函数y＝2x2+x+1在（0，+∞）上是增函数
B．函数在（﹣∞，﹣1）⋃（﹣1，+∞）上是减函数
C．函数的单调递减区间是[2，+∞）
D．已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）
【分析】根据函数的定义域及单调性分别判断各选项．
【解答】解：A选项：y＝2x2+x+4对称轴为，函数的单调递增区间为，
所以函数在（0，+∞）上是增函数；
B选项：函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，
因为，
函数 在（﹣∞，+∞）上不是减函数；
C选项：定义域为[﹣2，且函数y＝5+4x﹣x6的对称轴为x＝2，
所以函数的单调递减区间为[2，C选项错误；
D选项：f（x）在R上是增函数，若a+b＞5，b＞﹣a，
所以f（a）＞f（﹣b），f（b）＞f（﹣a），D选项正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了函数单调性的判断及单调性的应用，属于中档题．
（多选）12．（3分）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3
B．
C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3
D．二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的零点为2和3
【分析】当m＝0时，（x﹣2）（x﹣3）＝0，解方程即可判断选项A，x2﹣5x+6﹣m＝0有实数根x1，x2，且x1＜x2，根据Δ＞0即可判断选项B，数形结合由y＝（x﹣2）（x﹣3）图像与y＝m图像交点横坐标可判断选项C，由（x﹣2）（x﹣3）＝m展开得：x2﹣5x+6﹣m＝0，先利用韦达定理求出x1+x2＝5，x1x2＝6﹣m代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m可判断选项D，进而可得正确选项．
【解答】解：对于A，易知当m＝0时，3，故A正确；
对于B，设，因为y＝（x﹣4）（x﹣3）的图像与直线y＝m有两个交点，故B正确；
对于C，当m＞0时，x1＜6＜3＜x2，故C错误；
对于D，由（x﹣7）（x﹣3）＝m展开得：x2﹣6x+6﹣m＝0，利用韦达定理求出x7+x2＝5，x7x2＝6﹣m代入y＝（x﹣x7）（x﹣x2）+m，
可得y＝（x﹣x1）（x﹣x7）+m＝（x﹣2）（x﹣3）﹣m+m＝（x﹣7）（x﹣3），所以二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的零点为2和3，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题总分20分）
13．（3分）不等式＞1的解集是 {x|﹣2＜x＜﹣} ．
【分析】把不等式右边的“1”移项到不等式左边，通分后根据分母不变只把分子相减计算后，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，然后根据两数相除，异号得负，根据商为负数得到x+2与3x+1异号，可化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．
【解答】解：不等式，
移项得：＞0，
即＜3，
可化为：或，
解得：﹣2＜x＜﹣或无解，
则原不等式的解集是{x|﹣2＜x＜﹣}．
故答案为：{x|﹣2＜x＜﹣}
【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的基础题．学生做题时注意在不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
14．（3分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝ 1 ．
【分析】由已知函数解析式先求出f（﹣2）＝0，进而可求．
【解答】解：因为f（x）＝，
所以f（﹣6）＝0，
则f（f（﹣2））＝f（0）＝7．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
15．（3分）不等式的解集为 （﹣2，3） ．
【分析】原不等式化为，进而利用函数的单调性得到x2﹣4x﹣3＜3﹣3x，解一元二次不等式，即可得答案；
【解答】解：原不等式可化为：
根据指数函数y＝2x的增函数性质得：x7﹣4x﹣3＜7﹣3x，
解得：﹣2＜x＜2．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题主要考查了指数函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
16．（3分）若函数的定义域为R，则实数a的取值集合是 [0，8） ．（用区间表示）
【分析】由题意知ax2﹣ax+2＞0对任意实数恒成立，最高次项系数含参问题，考虑参数是否为零，分情况讨论．
【解答】解：若函数的定义域为R2﹣ax+2＞7对任意实数恒成立，
①当a＝0时，2＞5恒成立；
②当a≠0时，若ax2﹣ax+7＞0，
则需满足，解得：0＜a＜8；
综上所述：6≤a＜8．即a∈[0．
故答案为：[2，8）．
【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
四、解答题（本题共6小题总分70分）
17．（10分）计算下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据指数运算法则直接计算即可；
（2）根据指数运算法则直接计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查了根式的化简与有理数指数幂的运算问题，是基础题．
18．（12分）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解是[﹣，﹣]
（1）求a，b的值；
（2）求不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集．
【分析】（1）根据不等式对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程组求出a、b的值；
（2）把（1）中a、b的值代入不等式x2﹣bx﹣a＜0求解即可．
【解答】解：（1）不等式ax2﹣bx﹣1≥3的解是[﹣，﹣]，
∴﹣、﹣是方程 5﹣bx﹣1＝0的两个实数根，
由根与系数的关系知
﹣+（﹣，且﹣）＝﹣；
解得a＝﹣3，b＝5；
（2）根据（1）知，不等式x2﹣bx﹣a＜2为x2﹣5x+5＜0，
解得2＜x＜2，
∴该不等式的解集为（2，3）．
【点评】本题考查了三个二次之间的关系以及一元二次方程根与系数的关系应用问题，是基础题．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣2在[1，+∞）上为减函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．
【分析】（1）考虑a＝0和a≠0两种情况，根据二次函数的单调性得到，解得答案；
（2）考虑a＝0和a＜0两种情况，根据f（x）＝（x+1）（ax﹣2），考虑x1＝﹣1和的大小关系，解不等式得到答案．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣5在[1，符合题意，
当a≠0时，f（x）＝ax3+（a﹣2）x﹣2为二次函数，则，解得a＜0，
综上所述：实数a的取值范围为（﹣∞，0]；
（2）当a＝4时，f（x）＝﹣2x﹣2≥7，
所以x≤﹣1；
当a＜0时，f（x）＝（x+3）（ax﹣2）的零点为x1＝﹣7，，
当即a＜﹣2时，；
当即﹣2＜a＜0时，；
当即a＝﹣2时；
综上所述：当a＝0时，不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣1}；
当﹣2＜a＜2时，不等式f（x）≥0的解集为；
当a＝﹣2时，不等式f（x）≥0的解集为{﹣6}；
当a＜﹣2时，不等式f（x）≥0的解集为．
【点评】本题主要考查二次函数的性质与图象，属于基础题．
20．（12分）已知函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a+1）+f（2a﹣1）＞0
【分析】（1）利用奇函数定义直接可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号f，再考虑到定义域即可求出a的范围．
【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，所以f（0）＝0，
设﹣3≤x＜8，则0＜﹣x≤3，，
由f（x）为奇函数有，
又x＝0时满足f（0）＝0，
故，
（2）当0＜x≤6时，为单调递增函数，
由奇函数可知f（x）是定义在[﹣3，6]上的增函数，
又因为f（a+1）+f（2a﹣2）＞0，
所以f（a+1）＞﹣f（2a﹣1）＝f（1﹣3a），
故有，
即，
故0＜a≤2，即a的取值范围是（4．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用及函数解析式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝|x|（x+1）．完成下面两个问题：
（1）画出函数f（x）的图象，并写出其单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值．
【分析】（1）将函数f（x）化为分段函数的形式，再作出图象，根据图象可得到单调递增区间；
（2）根据图象可得到函数在区间上的单调性，进而求得最值．
【解答】解：（1），其图象如下：
单调增区间为和[0．
（2）由（1）中的图象可知，函数y＝f（x）在，在上单调减，在，，
故f（x）在区间上的最大值为．
【点评】本题考查函数图象的作法及其运用，考查函数单调性及最值的求解，考查数形结合思想，属于基础题．
22．（12分）设函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数（）＝．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
【分析】（Ⅰ）根据奇函数的性质可知f（0）＝0，求出b，a值；
（Ⅱ）利用定义的方法判断函数单调性，设∀x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，判断f（x1）﹣f（x2）的正负即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题知，f（x）是（﹣1，
所以f（0）＝0，即b＝2…（3分）
又因为f（）＝．
所以a＝8，
∴f（x）＝；
（Ⅱ）证明：∀x5，x2∈（﹣1，6）且x1＜x2，
则有f（x3）﹣f（x2）＝，
∵x1＜x2，x8，x2∈（﹣1，7），
∴f（x1）﹣f（x2）＝＜0，
∴f（x6）＜f（x2），
∴函数在（﹣1，3）上是增函数．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和利用定义的方法判断函数的单调性，属于基础题型，应熟练掌握．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/7 12:19:57；用户：15290311958；邮箱：15290311958；学号：48861359