四川省宜宾市兴文第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省宜宾市兴文第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由共轭复数的定义得出，再根据复数的乘法运算即可求解.
【详解】解：由题可知，.
故选：D.
2. 已知直线：与直线：相互垂直，则实数m的值是（ ）
A. 0B. 1C. -1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线：与直线：相互垂直，列出方程，从而可得答案.
【详解】解：因为直线：与直线：相互垂直，
所以，解得.
故答案为：A.
3. 已知直线l经过点，且与直线的倾斜角互补，则直线l的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出直线l的斜率，然后利用斜截式即可写出直线的方程，进而转化为一般式方程即可.
【详解】因为与直线的倾斜角互补，而直线的斜率为，
所以直线l的斜率为，则直线l的方程为，即．
故选：A
4. 在四面体中，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
，
故选：C.
5. “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A. 7.5B. 8C. 8.5D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数的计算公式即可得出结果.
【详解】该组数据从小到大的排序是: 3，4，5，5，6，6，7，8，9，10
且，
故第75百分位数为从小到大排列的第8项数据为8.
故选:B
6. 若过椭圆的上顶点与左顶点的直线方程为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出、的值，进而可得出椭圆的标准方程.
【详解】在直线方程中，令，得，得到椭圆的上顶点坐标为，
所以，
令，得，得到椭圆的左顶点坐标为，所以，
所以椭圆的标准方程为，
故选：C.
7. 已知圆与圆，则两圆位置关系是（ ）
A. 外切B. 内切C. 相交D. 相离
【答案】A
【解析】
【分析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.
【详解】对圆，其圆心，半径；
对圆，其圆心，半径；
又，故两圆外切.
故选：A.
8. 若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】利用垂径定理，结合点到线的距离公式求解.
【详解】由圆可知，圆心，半径为：，
若直线被圆所截得的弦长为，
则由垂径定理可知圆心到直线的距离：，
故，解得或.
故选：A.
【点睛】本题考查直线与圆相交时弦长的求解，考查点到线距离公式的应用，属于基础题.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 直线在y轴上的截距是2
B. 直线经过第一、二、三象限
C. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为
D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。
【详解】对于A:令时，，故在y轴上的截距是2，A错.
对于B:直线的斜率为2，在轴上的截距分别为，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代人直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代人直线得，直线方程为：，故D错.
故选：BC
10. 抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（ ）
A. B. B，D为对立事件
C. A，C为互斥事件D. A，D相互独立
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，写出各事件包含的基本事件，再根据对立事件，互斥事件，相互独立事件的概念讨论求解即可.
【详解】根据题意，用数对表示抛掷两枚质地均匀的骰子的结果，共包含36个基本事件.
事件包含的基本事件有，
事件包含的基本事件有，，，
事件包含的基本事件有，
事件包含的基本事件有，，，
由于事件中的元素均在事件中，则，故A正确；
事件与事件互斥，且并集为必然事件，故B，D为对立事件，故B正确；
事件与事件是不可能同时发生，故A，C为互斥事件，故C正确；
由题知，，事件包含的基本事件有，，显然，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的周长为6
B. 的最大面积为
C. 存在点使得
D. 的最大值为7
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，利用椭圆的定义可得的周长为，由此判断即可；
对于B，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；
对于C，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；
对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断.
【详解】对于A，因为椭圆，所以，则，
所以的周长为，故A错误；
对于B，当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，
所以，故B正确；
对于C，假设存在点使得，则，
所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则，
因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即，
由可知，圆与椭圆没有交点，
所以假设不成立，即不存在点P使得，故C错误；
对于D，由选项A易得，又，所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
.
12. 如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（ ）
A. 点为的中点
B. 三棱锥的体积为
C. 直线与平面所成的角的正弦值为
D. 过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面EFG的法向量，由列出方程，求出，得到点为的中点；
B选项，求出点到平面EFG的距离，利用余弦定理及三角形面积公式得到，得到三棱锥的体积；
C选项，利用空间向量求解线面角的大小；
D选项，作出辅助线得到过点、、作正方体的截面为正六边形，得到其面积即可.
【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面EFG的法向量为，
则，
令，则，故，
A选项，设，则，
因为平面，
所以，即，
解得：，
故，故，
，
所以，则点为的中点，A正确；
设点到平面EFG的距离为d，
则，
又，，，
即，
由余弦定理得：，
故，则，
由三角形面积公式可得：，
故三棱锥的体积为，B正确；
，设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为，C正确；
取的中点，的中点，的中点，连接，
则过点、、作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，
正六边形的面积为
则截面面积为，D错误.
故选：ABC
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据点关于坐标平面对称的特征求解作答.
【详解】点关于平面的对称点的坐标为.
故答案为：
14. 若方程表示圆，则的取值范围为________.
【答案】或
【解析】
【分析】由圆的一般方程写出标准方程，从而求得参数取值范围.
【详解】由圆的一般方程写出标准方程，
，
即
由，可得或.
故答案为：或
15. 若方程所表示的曲线为椭圆，则实数t的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据方程表示椭圆列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】表示椭圆，
所以.
故答案为：
16. 已知点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】先把圆上存在点使得，转化为圆与圆相交，利用，解不等式即可.
【详解】因为直径所对的圆周角为90°，而，
所以以AB为直径的圆与圆存在公共点，
故两圆相交或相切，
所以
解得.
故答案为：
【点睛】圆C1和圆C2 的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种：
（1）相离；（2）相外切；（3）相交；（4）相内切；（5）相内含；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 分别根据下列条件求椭圆标准方程：
（1）一个焦点为
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知可得a，c，然后由求出b，即可得椭圆方程；
（2）根据已知椭圆方程可得焦点坐标，然后设所求椭圆方程为，代入已知点坐标，结合即可求解.
【小问1详解】
由题知，，椭圆焦点在x轴上，
又，所以，
所以，椭圆方程为.
【小问2详解】
椭圆的焦点为，
设所求椭圆方程为，
则有，解得，
所以所求椭圆方程为.
18. 浙江某校为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
（1）若将频率视为概率，估计该校3500名学生中“锻炼达人”有多少？
（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取8人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这8人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
【答案】（1）（人）
（2）①男生抽取6人，女生抽取2人；②
【解析】
【分析】（1）求出100名学生中的“锻炼达人”人数，可得3500名学生中“锻炼达人”的人数；
（2）①因为100名学生“锻炼达人”按性别中的男女之比为，可得男生和女生各抽取的人数；②求出从8人中随机抽取2人的基本事件，根据古典概型求解即可.
【小问1详解】
由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为12人，
若将频率视为概率，该校3500名学生中“锻炼达人”的人数为
（人）；
【小问2详解】
① 由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有12人，其中男生9人，女生3人.
从12人中按性别分层抽取8人参加体育活动，则男生抽取6人，女生抽取2人.
② 抽取的8人中有6名男生和2名女生，6名男生依次编号为，
2名女生依次编号为，则8人中随机抽取2人的所有结果为,,，，，
，，，,,有28种结果，且每种结果发生的可能性相等.
记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件，则事件包含的结果有12个，
故.
19. 在中，边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为.
（1）求点的坐标;
（2）求直线的方程;
（3）求点的坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用两直线的交点坐标求法直接求解；
（2）根据两直线的垂直关系与斜率的关系结合点斜式求解；
（3）利用直线的斜率公式求解即可.
【小问1详解】
直线和直线交点是，
即点的坐标为.
【小问2详解】
因为直线为BC边上的高，由垂直关系得，
所以直线的方程为，即.
【小问3详解】
因为角的平分线所在直线的方程为，，
所以，
设点的坐标为，则，，
解得，即点C的坐标为.
20. 在平面直角坐标系中，的顶点分别为.
（1）求外接圆的方程；
（2）若直线经过点，且与圆相交所得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）先设圆的方程为，根据圆过，，三点，列出方程组，即可求出结果；
（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况，分别用代数法联立直线与圆的方程，结合弦长公式求解，即可得出结果.
【详解】（1）设圆的方程为，
因为圆过三点，
所以有，解得，，
∴外接圆的方程为，
即.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
联立，
得或，此时弦长为，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由于圆心到该直线的距离为，
故，解得，
∴直线的方程为，即.
综上可得，直线的方程为或.
【点睛】本题主要考查求圆的方程，以及已知弦长求直线方程的问题，通常需要联立直线与圆的方程，结合弦长公式求解，属于常考题型.
21. 如图，矩形所在平面，，、分别是、的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明面，可证得面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设由向量的夹角公式先求解线面角得，再利用面的法向量求解二面角即可.
【详解】如图，取中点，连接，.
（1）证明：∵，，为中点，
∴，，
∴是平行四边形，，
又∵，，
∴面，∴面面.
∵，为中点，面，
∴面，∵面，
∴平面平面.
（2）建立如图所示坐标系，
，，，，，，.
由（1）知面，
∴，.
∵直线与平面所成角的正弦值为，
∴由得.
设为面的法向量，则，.
由得，，
∵面，，设二面角为，为锐角，
则，
∴.
【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.
22. 已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，

（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线和直线的斜率分别为，证明为定值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由椭圆的离心率及的关系求解即可；
（2）求出直线方程与椭圆方程联立起来，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，然后证明即可.
【小问1详解】
由已知可得椭圆的离心率，
，
∴，
∴椭圆方程为；
【小问2详解】
如图，

由（1）可知：，，，且，所以直线的斜率，
设直线的方程为，设，
联立得：，
，∴，
则，
又，，，，
∴，
，为定值.
分组
男生人数
2
16
18
18
6
3
女生人数
3
20
9
2
2
1