2020年四川省资阳市中考数学真题及答案

这是一份2020年四川省资阳市中考数学真题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。
1．（4分）﹣5的绝对值是（ ）
A．﹣5B．C．5D．±5
【分析】负数的绝对值是其相反数，依此即可求解．
【解答】解：﹣5的绝对值是5．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的知识，掌握绝对值的意义是本题的关键，解题时要细心．
2．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱B．球体C．圆锥D．四棱柱
【分析】根据主视图和左视图得出该几何体是柱体，再根据俯视图可得这个几何体的形状．
【解答】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为圆可得这个几何体是圆柱．
故选：A．
【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
3．（4分）2020年的政府工作报告中，在回顾2019年的工作时提到：农村贫困人口减少1109万，贫困发生率降至0.6%，脱贫攻坚取得决定性成就．将数据1109万用科学记数法表示为（ ）
A．0.1109×108B．1.109×106C．1.109×107D．1.109×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1109万＝11090000＝1.109×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3B．x2÷x2＝x
C．（x+y）2＝x2+y2D．（﹣3x3）2＝9x6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、x与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、x2÷x2＝1，故本选项不合题意；
C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故本选项不合题意；
D、（﹣3x3）2＝9x6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
5．（4分）将一副直角三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的位置摆放，使AB∥EF，则∠DOC的度数是（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】在Rt△DEF中，由两角互余得∠F＝45°，根据直线AB∥EF得∠A＝∠ACF，再由三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：∵∠D＝90°，
∴∠E+∠F＝90°，
又∵∠E＝45°，
∴∠F＝45°，
又∵AB∥EF，
∴∠A＝∠ACF，
又∵∠A＝30°，
∴∠ACF＝30°，
∴∠DOC＝∠ACF+∠F＝30°+45°＝75°．
故选：B．
【点评】本题综合考查了平行线的性质，三角形的外角的性质等相关知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形的外角的性质等知识．
6．（4分）一组数据3，5，2，a，2，3的平均数是3，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．3，3B．3，2C．2，3D．3，2.5
【分析】先根据平均数的定义列出关于a的方程，解之求出a的值即可还原这组数据，再由中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：∵这组数据的平均数为3，
∴3+5+2+a+2+3＝3×6，
解得a＝3，
∴这组数据为2、2、3、3、3、5，
∴这组数据的众数为3，中位数为＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查中位数、众数、平均数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
7．（4分）一次函数y＝kx+k2+1与反比例函数y＝﹣同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+k2+1中，k2+1＞0，
∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意，C、D符合题意，
C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知k＜0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k＞0，两结论相矛盾，故选项C错误；
D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知k＞0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k＞0，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．
8．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90，AC＝BC＝2．将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为（ ）
A．B．πC．D．2π
【分析】根据勾股定理求出AB，根据旋转求出∠CAC1＝90°，根据图形得出阴影部分的面积S＝S+S﹣S△ACB﹣S，再求出答案即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90，AC＝BC＝2，由勾股定理得：AB＝＝2，
∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，
∴∠CAC1＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S+S﹣S△ACB﹣S
＝+2×2﹣2×2﹣
＝π，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质和扇形的面积计算等知识点，能把求出不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
9．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，连接BF，使tan∠ABF＝2，则DE的长是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝x，则FN＝2x，则AN＝4﹣x，由折叠的性质得出DE＝EF，DA＝AF＝4，∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理求出x，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，
∵tan∠ABF＝2，
∴＝2，
设BN＝x，则FN＝2x，
∴AN＝4﹣x，
∵将△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4，∠D＝∠AFE＝90°，
∵AN2+NF2＝AF2，
∴（4﹣x）2+（2x）2＝42，
∴x＝，
∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣2x＝4﹣＝，
∵∠EFM+∠AFN＝∠AFN+∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cs∠EFM＝cs∠FAN，
∴，
∴，
∴EF＝．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点（3，0）的右侧，直线y＝﹣x+c经过A、B两点．给出以下四个结论：①b＞0；②c＞；③3a+2b+c＞0；④＜a＜0，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【分析】根据抛物线开口方向和对称轴即可判断①；把A（3，0）代入y＝﹣x+c，求得c的值，即可判断②；由3a+2b+c整理得到3a﹣4a+c＝﹣a+c即可判断③；根据图象即可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，故①正确；
∵直线y＝﹣x+c经过点A，点A在点（3，0）的右侧，
∴﹣+c＞0，
∴c＞，故②正确；
∵a＜0，c＞0，b＝﹣2a，
∴3a+2b+c＝3a﹣4a+c＝﹣a+c＞0，故③正确；
由图象可知，当x＝3时，9a+3b+c＞﹣+c，
∴9a+3b＞﹣，
∴3a＞﹣，
∴a＞﹣，
∴＜a＜0，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与x轴，y轴的交点以及对称轴推理对称a，b，c之间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥ ．
【分析】根据二次根式中被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（4分）在一个不透明的口袋里装有除颜色不同外，其余都相同的4个红球和若干个绿球，袋中的球已被搅匀，若从中任意取出一个小球为绿球的概率是，则口袋里绿球个数是 2 个．
【分析】首先设袋中的绿球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，解方程即可求得答案；
【解答】解：设袋中的绿球个数为x个，
∴＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
∴袋中绿球的个数2个；
故答案为：2．
【点评】考查了概率公式的知识，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，难度不大．
13．（4分）关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是 ﹣2 ．
【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到a+1≠0且△＝b2﹣4×（a+1）＝0，则b2﹣4a＝4，再将代数式8a﹣2b2+6变形后把b2﹣4a＝4代入计算即可．
【解答】解：根据题意得a+1≠0且△＝b2﹣4×（a+1）＝0，即b2﹣4a﹣4＝0，
∴b2﹣4a＝4，
所以原式＝﹣2（b2﹣4a）+6＝﹣2×4+6＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
14．（4分）一机器人在平地上按如图设置的程序行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为 32m ．
【分析】该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，即所行走的路程．
【解答】解：该机器人所经过的路径是一个正多边形，
360°÷45°＝8，
则所走的路程是：4×8＝32（m）．
故答案为：32m．
【点评】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D是AB的中点，连接CD，将△BCD沿射线CA方向平移，在此过程中，△BCD的边CD与Rt△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，当△AEF的面积是Rt△ABC面积的时，则△BCD平移的距离是 2﹣ ．
【分析】根据三角形中线把三角形的面积分成相等的两部分得到S△ACD＝S△ABC，根据题意得到△AEF的面积是△ADC面积的，通过证得△AEF∽△ADC求得AF，即可求得CF．
【解答】解：∵D是AB的中点，
∴S△ACD＝S△ABC，
∵△AEF的面积是Rt△ABC面积的，
∴△AEF的面积是△ADC面积的，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴＝（）2＝，即＝，
∴AF＝，
∴CF＝2﹣，
∴△BCD平移的距离是2﹣，
故答案为2﹣．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的面积，平移的性质，三角形相似的判定和性质，求得CF的长是解题的关键．
16．（4分）如图，一次函数y＝2x+2的图象为直线l，菱形AOBA1，A1O1B1A2，A2O2B2A3，…按图中所示的方式放置，顶点A，A1，A2，A3，…均在直线l上，顶点O，O1，O2，…均在x轴上，则点Bn的坐标是 （3×2n﹣1﹣1，2n） ．
【分析】首先求得直线的解析式与x、y轴的交点，然后根据菱形的性质求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+2，
∴M（﹣1，0），A1（0，2），
∵四边形AOBA1是菱形，
∴A1O1与A1M关于y轴对称，OA1与AB互相垂直平分，
∴O1（1，0），AB∥x轴，且AB是△MA1O1的中位线，
∴B（，1），
同理，O1A2与A1B1互相垂直平分，
把x＝1代入y＝2x+2得y＝4，
∴A2（1，4），
∵O1A2垂直平分A1B1，
∴O2（3，0），B1（2，2），
把x＝3代入y＝2x+2得y＝8，
∴A3（3，8），
∵O2A3垂直平分A2B2，
∴B2（5，4），
∴Bn的横坐标是：3×2n﹣1﹣1，纵坐标是：2n．
∴Bn的坐标是（3×2n﹣1﹣1，2n）．
故答案为：（3×2n﹣1﹣1，2n）．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质，一次函数图形上点的坐标特征，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（9分）化简求值：（﹣1）÷，其中a＝+1．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（﹣1）÷
＝•
＝•
＝﹣（a﹣1）
＝1﹣a，
当a＝+1时，原式＝1﹣（+1）＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18．（10分）某市为了解垃圾分类投放工作的落实情况，在全市范围内对部分社区进行抽查，抽查结果分为：A（优秀）、B（良好）、C（一般）、D（较差）四个等级，现将抽查结果绘制成如图所示的统计图．（注：该市将垃圾分为干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾共四类）
（1）本次共抽查了 20 个社区，C（一般）所在扇形的圆心角的度数是 36 度，并补全直方图；
（2）若全市共有120个社区，请估计达到良好及以上的社区有多少个？
（3）小明和他的妈妈将分好类的四种垃圾每人各提两袋去分类投放，请用树状图或列表法求小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是多少？
【分析】（1）根据A（优秀）社区的个数和所占的百分比求出抽取的总个数，再用总个数减去其它等级的个数，求出C（一般）的社区的个数，再用360°乘以C（一般）所占的百分比，即可得出C（一般）所在扇形的圆心角的度数，最后补全统计图即可；
（2）用全市共有的社区个数乘以达到良好及以上的社区所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答．
【解答】解：（1）本次共抽查的社区有：10÷50%＝20（个），
C（一般）的社区有：20﹣10﹣6﹣2＝2（个），
C（一般）所在扇形的圆心角的度数是：360°×＝36°，
补全统计图如下：
故答案为：20，36；
（2）120×＝96（个），
答：达到良好及以上的社区有96个．
（3）将干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾分别用A、B、C、D表示，根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的有2种，
则小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（10分）如图，AB是⊙O的弦，直径CM⊥AB于点E，延长CM到点D，连接AD、CB，使∠BAD＝2∠BCD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若DE：OE＝5：1，且⊙O的半径是，求弦AB的长．
【分析】（1）连接OA，由圆周角定理及直角三角形的性质得出∠OAD＝∠AED＝90°，则可得出结论；
（2）证明△OAE∽△ODA，由相似三角形的性质得出，求出OA，OE的长，由勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵CE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴＝，
∴∠AOM＝2∠BCD，
又∵∠DAB＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠DAB，
又∵∠D＝∠D，
∴∠OAD＝∠AED＝90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AOE＝∠DOA，∠AEO＝∠OAD，
∴△OAE∽△ODA，
∴，
∴OA2＝OD•OE，
∵DE：OE＝5：1，
∴OD＝6OE，
又∵AO＝，
∴OE＝1，
∴AE＝＝＝，
∵AB是⊙O的弦，直径CM⊥AB，
∴AB＝2AE＝2．
【点评】本题综合考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
20．（10分）新冠肺炎疫情发生以来，国家紧急调拨了大量物资驰援武汉，全国各地的民间组织也积极捐赠，我市的民间组织捐赠了一批医用物资即将运往武汉，现有A、B两种车型，A种型的载重量比B种车型的载重量多5吨，2辆A种车型与4辆B种车型的总载重量为100吨．
（1）求A、B两种车型的载重量分别是多少吨？
（2）现有医用物资264吨，计划用A、B两种车型共15辆将这批医用物资一次性的运往武汉，那么至少安排A种车型多少辆？
【分析】（1）设1辆A型车的载重量是x吨，1辆B型车的载重量是y吨，由题意列出二元一次方程组可得出答案；
（2）设安排A种车型a辆，则B种种车型（15﹣a）辆，由题意列出一元一次不等式，则可得出答案．
【解答】解：（1）设1辆A型车的载重量是x吨，1辆B型车的载重量是y吨，
依题意，，
解得．
答：A种车型的载重量是20吨，B种车型的载重量是15吨；
（2）设安排A种车型a辆，则B种种车型（15﹣a）辆，
由题意得，20a+15（15﹣a）≥264，
解得a，
∵a为整数，
∴a的最小值为8，
答：至少安排A种车型8辆，才能将这批医用物资一次性的运往武汉．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准不等关系，正确列出一元一次不等式．
21．（11分）如图，平行四边形OABC中，AB＝2，OA＝2，它的边OC在x轴的负半轴上，对角线OB在y轴的正半轴上．反比例函数y＝的图象经过点A，一次函数y＝kx+b的图象经过A、C两点且与反比例函数图象的另一支交于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接BD，求△BDC的面积．
【分析】（1）由题意得OB＝4，即可得到A、C的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据S△BDC＝S△ABD﹣S△ABC求得即可．
【解答】解：（1）由题意得：OB＝4，
∴点A的坐标是（2，4），点C的坐标是（﹣2，0），
把点A代入y＝得m＝8，
∴反比例函数解析式是y＝，
又∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，4），点C（﹣2，0），
∴，解得，
∴一次函数解析式是：y＝x+2；
（2）联立解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△BDC＝S△ABD﹣S△ABC＝×2×6﹣×2×4＝2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积计算等知识，求得交点坐标是解题的关键．
22．（11分）”毗河引水工程”能解决我市大部分地区严重缺水的问题．如图中，BC是该工程修建的一条引水渡槽，为测量它的长度，某人将无人机放飞到点A处测得渡槽端点B的俯角是60°后，再沿俯角30°的方向飞行400米到达点D处，此时测得渡槽端点B和端点C的俯角分别为14°和45°（点A、B、C、D在同一平面内）．（参考数据：sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
（1）求无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度和水平距离（结果保留根号）；
（2）求渡槽BC的长度（计算结果精确到0.1米）．
【分析】（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点D作DE⊥AF于点E，利用特殊角三角函数值即可求出结果；
（2）过点D作DG⊥BC于点G，设DG＝x，根据锐角三角函数和矩形的性质即可求出结果．
【解答】解：（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点D作DE⊥AF于点E，
在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝400米，
∴AE＝AD•sin30°＝200米，
DE＝AD•cs30°＝200米．
答：无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度为200米，水平距离为200米；
（2）过点D作DG⊥BC于点G，设DG＝x，
∴CG＝DG＝x，
在Rt△DBG中，∠DBG＝14°，
∴BG＝＝≈＝4x，
∵四边形EFGD是矩形，
∴EF＝DG＝x，FG＝DE＝200，
∴BF＝200﹣4x，
AF＝AE+EF＝200+x，
在Rt△AFB中，∠ABF＝60°，
∴tan∠ABF＝＝，
∴x＝50.38，
∴BC＝5x≈251.9（米）．
答：渡槽BC的长度为251.9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
23．（12分）在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．
（1）如图1，当DE＝DA时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，点E在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折得到△HEF，连接DH交EF于点K，当AD＝2，CD＝2时，求KH的长．
【分析】（1）连接DF，证明Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），由全等三角形的性质得出AF＝EF；
（2）如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，证明△EAM∽△CAD，得出比例线段①，证明△DME∽△FNE，得出比例线段，由①②可得，则可得出结论；
（3）连接GH交EF于点I，由勾股定理求出DF的长，证明△AGF∽△CGD，由相似三角形的性质得出，则，由折叠的性质可知GI＝IH，GH⊥EF，证明△GFI∽△DFE，由相似三角形的性质得出，证明△DEK∽△HIK，由相似三角形的性质得出＝，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接DF，在矩形ABCD中，∠DAF＝90°，
又∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∵AD＝DE，DF＝DF，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），
∴AF＝EF；
（2）解：的值不变；
如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∴四边形ANEM是矩形，
∴EN＝AM，
∵∠EAM＝∠CAD，∠EMA＝∠CDA．
∴△EAM∽△CAD，
∴，即，
∵∠DEF＝∠MEN＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
又∵∠DME＝∠ENF＝90°，
∴△DME∽△FNE，
∴，
由①②可得，
∵AD与DC的长度不变，
∴的长度不变；
（3）连接GH交EF于点I，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝，
在Rt△ADF中，DF＝＝＝，
由（2）知＝，
∴DE＝EF，
在Rt△DEF中，EF＝，DE＝，
又∵AB∥DC，
∴△AGF∽△CGD，
∴，
∴，
由折叠的性质可知GI＝IH，GH⊥EF，
又∵DE⊥EF，
∴GH∥DE，
∴△GFI∽△DFE，
∴，
∴EI＝＝，GI＝IH＝，
又∵GH∥DE，
∴△DEK∽△HIK，
∴＝，
∴KI＝＝，
∴HK＝＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，矩形的性质等知识的综合运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点C的坐标是（6，﹣4），它的图象经过点A（4，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，且点E、F在运动过程中始终保持DF⊥OE，垂足为点N，连接CN，当CN最短时，求点N的坐标；
（3）连接AC（若点P是x轴下方抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2﹣4，再将点A（4，0）代入，解得a的值，则可求得该抛物线的解析式；
（2）由题意可得点N是以OD为直径的圆上的一动点，设以OD为直径的圆的圆心为点G，连接CG，交⊙G于点N'，此时CN'即为最短的CN，过点N'作N'B⊥x轴于点B，判定△GBN'∽△GDC，从而得比例式，解得N'B＝，GB＝，根据OB＝OG+GB，求得OB，则可得点N的坐标；
（3）存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．分情况讨论：①当点P在抛物线的对称轴的右侧时，PM＝2CM，△PCM∽△CAD，如图2，延长CP交x轴于点Q，设Q（m，0），则（m﹣4）2＝（m﹣6）2+42，解得m的值，则可得点Q的坐标，用待定系数法求得直线CQ的解析式，将其与抛物线的解析式联立，即可解得点P的坐标；②当点P在抛物线对称轴的左侧时，CM＝2PM，△PCM∽△ACD，如图3，过点A作AH⊥AC，交CP的延长线于点H，过点H作HK⊥x轴，交x轴于点K，判定△HCA∽△ACD，△AHK∽△CAD，用待定系数法求得直线CH的解析式，将其与抛物线的解析式联立，即可解得点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2﹣4，
∵图象经过点A（4，0），∴a（4﹣6）2﹣4＝0，∴a＝1，
∴y＝（x﹣6）2﹣4＝x2﹣12x+32，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣12x+32；
（2）如图1，
∵点E、F在运动过程中始终保持DF⊥OE，
∴点N是以OD为直径的圆上的一动点，
设以OD为直径的圆的圆心为点G，连接CG，交⊙G于点N'，此时CN'即为最短的CN，过点N'作N'B⊥x轴于点B，
由已知得OD＝6，CD＝4，
∴GD＝3，CG＝5，
∵N'B⊥x轴，CD⊥x轴，
∴N'B∥CD，
∴△GBN'∽△GDC，
∴，
∴N'B＝，GB＝，
∴OB＝OG+GB
＝3+
＝，
∴点N的坐标为（，﹣）；
（3）存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．
∵A（4，0），D（6，0），
∴AD＝2，
∵，∠ADC＝90°，
∴当PM、CM的长度是2倍关系时，△PCM与△ACD相似．
①当点P在抛物线的对称轴的右侧时，PM＝2CM，△PCM∽△CAD，
如图2，延长CP交x轴于点Q，此时∠QCA＝∠QAC，
∴QA＝QC，∴QA2＝QC2，
设Q（m，0），则（m﹣4）2＝（m﹣6）2+42，
解得m＝9，
∴Q（9，0），
设直线CQ的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（6，﹣4），Q（9，0）代入，得：
，解得，
∴y＝x﹣12，
联立，
解得（舍去），，
∴点P（，﹣）；
②当点P在抛物线对称轴的左侧时，CM＝2PM，△PCM∽△ACD，
如图3，过点A作AH⊥AC，交CP的延长线于点H，过点H作HK⊥x轴，交x轴于点K，
由勾股定理得AC＝＝2，
∵AH⊥AC，PM⊥AC，
∴AH∥PM，
∴△PCM∽△ACH，
∵△PCM∽△ACD，
∴△HCA∽△ACD，
∴＝，
∴，
∴AH＝，
∵HK⊥x轴，AH⊥AC，
∴∠HKA＝∠ADC＝∠HAC＝90°，
∴∠KAH+∠AHK＝90°，∠CAD+∠KAH＝90°，
∴∠AHK＝∠CAD，
∴△AHK∽△CAD，
∴，∴，
∴AK＝2，KH＝1，
∴H（2，﹣1），
设直线CH的解析式为y＝mx+n（m≠0），将C（6，﹣4），H（2，﹣1）代入，得：
，
解得，
∴直线CH的解析式为y＝﹣x+，
联立，
解得（舍去），，
∴点P（，﹣）；
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、圆的性质及定义、动点问题的存在性、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．