吉林省长春市长春外国语学校2023-2024学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

这是一份吉林省长春市长春外国语学校2023-2024学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题，共5页。试卷主要包含了设F1，F2是椭圆E，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

出题人 ：张宏欣 审题人：王先师
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列函数中，与函数y=x-1相同的是( )
A. y= x2-2x+1B. y=x2-1x+1
C. y=t-1D. y=- x-12
2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层随机抽样的方法从A，B，C三所学校中抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的教师人数为( )
A. 10B. 12C. 18D. 24
3.已知函数f(x)=2x+x，f(x)一定有零点的区间为( )
A. (2,3)B. (1,2)C. (-1,0)D. (-3,-2)
4.已知a=lg0.50.4，b=0.40.6，c=0.40.5，则( )
A. a5.已知圆C1:(x+2)2+y2=254,C2:(x-2)2+y2=14，动圆P与圆C1,C2都外切，则动圆圆心P的轨迹方程为( )
A. x2-y23=1(x>0)B. x2-y23=1(x<0)
C. x2-y25=1(x>0)D. x2-y25=1(x<0)
6.已知M是抛物线x2=16y上任意一点，A(0,4)，B(-1,1)，则|MA|+|MB|的最小值为( )
A. 10B. 3C. 8D. 5
7.设F1，F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，P为直线x=a2c上一点，若△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
8.P是双曲线x29-y216=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和
(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9.设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//n
B. 若m⊥α，n⊥α，则m//n
C. 若m//α，m⊂β，则α//β
D. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
10.已知抛物线C：y ​2=4x的焦点为F，点M(x ​0，y ​0)在抛物线C上，若|MF|=4，则 ( )
A. x ​0=3B. y 0=3
C. |OM|= 21D. F的坐标为(0,1)
11.已知曲线C：mx2+ny2=1.则下列选项正确的是( )
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 n
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=± -mnx
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P( 2,1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则( )
A. 椭圆C的离心率的取值范围是(0, 22)
B. 当椭圆C的离心率为 32时，QF1的取值范围是[2- 3,2+ 3]
C. 存在点Q使得QF1⋅QF2=0
D. 1QF1+1QF2的最小值为1
第 Ⅱ 卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知tanα=2，则tanα+π4= ．
14.已知向量a，b满足a=b=1，=π3，则2a-b= ．
15.椭圆x24+y2=1的右焦点到直线y= 3x的距离是 ．
16.如图，过抛物线y2=2pxp>0的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且AF=4，则线段AB的长为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)以直线y=± 3x为渐近线，焦点是(-4,0)，(4,0)的双曲线；
(2)中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率为35，短轴长为8的椭圆．
18.(本小题12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AC、PB的中点．
(1)求证：EF//平面PCD；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x+3x-4．
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)用单调性定义证明函数f(x)在区间( 3,+∞)上是增函数．
20.(本小题12分)
已知双曲线C:x22-y2=1．
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(-​2,​2)的双曲线的标准方程；
(2)若直线l与双曲线C交于A、B两点，且A、B的中点坐标为(1,1)，求直线l的斜率．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3cs(2x-π3)-2sinxcsx．
(1)求f(x)的最小正周期、最大值、最小值；
(2)求函数的单调区间．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，椭圆C的下顶点和上顶点分别为B1，B2，且|B1B2|=2.过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当k=2时，求△OMN的面积；
(3)求证：不论k为何值，直线B1M与直线B2N的交点T恒在一条定直线上．
答案
1. C 2. A 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B
8. D
9. BD 10. AC 11. ACD 12. BCD
13. -3
14. 3
15. 32
16. 163
17. 解：(1)由题意设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，
由焦点坐标可得a2+b2=42，
双曲线的渐近线方程为y=± 3x，可得ba= 3，
解得a=2，b=2 3，
所以双曲线的方程为x24-y212=1．
(2)当焦点在x轴时，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由题可得ca=352b=8a2=b2+c2，解得a=5，b=4，
所以椭圆方程为x225+y216=1；
当焦点在y轴时，设椭圆方程为y2a'2+x2b'2=1(a'>b'>0)，
由题可得c'a'=352b'=8a'2=b'2+c'2，解得a'=5，b'=4，
所以椭圆方程为y225+x216=1；
所以综上可得椭圆方程为x225+y216=1或y225+x216=1．
18. 解：(1)如图，连接BD，则E是BD的中点，
又F是PB的中点，∴EF/​/PD．
又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴EF/​/平面PCD．
(2)∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC．
又BD⊂平面PBD，
故平面PBD⊥平面PAC．
19. 解：(1)f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
设x<0，则-x>0，
由x>0时，f(x)=x+3x-4可知，f(-x)=-x-3x-4，
又f(x)为奇函数，故f(x)=x+3x+4(x<0)，
∴函数f(x)在R上的解析式为f(x)=x+3x+4,x<00,x=0x+3x-4,x>0；
(2)证明：设 3∵ 3∴x1-x2<0,1-3x1x2>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在区间( 3,+∞)上是增函数，得证．
20. 解：(1)设所求双曲线方程为x22-y2=k(k≠0)，
代入(- 2, 2)，得k=-1，
所以所求双曲线方程为y2-x22=1;
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为A、B在双曲线上，
∴x122-y12=1①x222-y22=1②,
①-②得(x1-x2)(x1+x2)2=(y1-y2)(y1+y2)，
∴k1=y1-y2x1-x2=x1+x22(y1+y2)=12．
21. 解：(Ⅰ)f(x)= 32cs2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+ 32cs2x=sin(2x+π3)．
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π，最大值为1，最小值为-1．
(Ⅱ)由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z可解得：kπ-5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z．
故函数单调递增区间是[kπ-5π12,kπ+π12]，k∈Z．
由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z可解得：kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z．
故函数单调递减区间是[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z．
22. 解：(Ⅰ)由|B1B2|=2b=2，得b=1，
由e=ca= 1-b2a2= 22得a= 2，
所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1．
(Ⅱ)当k=2时，直线l的方程为y=2x+2，
联立方程y=2x+2x22+y2=1得9x2+16x+6=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则有x1+x2=-169,x1x2=23，
所以|MN|= 5[(-169)2-83]=10 29，
点O到直线l的距离为2 5=2 55，
所以S△OMN=12×10 29×2 55=2 109，
(Ⅲ)证明：直线l的方程为y=kx+2，
由y=kx+2x22+y2=1得(2k2+1)x2+8kx+6=0，
由△=64k2-4(2k2+1)×6>0得k2>32，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则有x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1，
因为B2(0,1)，B1(0,-1)，设T(m,n)，
由T，M，B1三点共线得n+1m=y1+1x1=kx1+3x1=k+3x1，①
由T，N，B2三点共线得n-1m=y2-1x2=kx2+1x2=k+1x2，②
由①+②×3得n+1m+3n-3m=4k+3(x1+x2)x1x2=4k+3×-8k2k2+162k2+1=0，
所以可得4n-2=0，即n=12，
故可得点T恒在直线y=12上．