四川省成都市锦江区金苹果锦城一中2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份四川省成都市锦江区金苹果锦城一中2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x＝1B．3x2﹣2y＝1
C．D．ax2+bx+c＝0
2．（4分）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°，▱ABCD是矩形
B．当AB＝BC，▱ABCD是菱形
C．当AC⊥BD，▱ABCD是菱形
D．当AC＝BD，▱ABCD是正方形
4．（4分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为200cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．90cm2B．80cm2C．70cm2D．60cm2
5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
6．（4分）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96B．150（1﹣x）2＝96
C．150（1﹣x）＝96D．150（1﹣2x）＝96
7．（4分）在反比例函数（k为常数）上有三点A（x1，y1）B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1
8．（4分）如图，边长为的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分。共20分）
9．（4分）如果＝，那么＝ ．
10．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的值是 ．
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（4，4）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（6，2）．则木杆AB在x轴上的影长CD为 ．
12．（4分）如图，直线y＝mx（m＜0）与双曲线交于A，B两点，AH⊥y轴于点H，若△AHB的面积为5，则k的值为 ．
13．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E：分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G．若CD＝4DE，则的值为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣3＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
15．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个标有﹣1，﹣2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．
（1）从布袋中随机取出一个小球，小球上标的数字为奇数的概率为 ；（直接写出结果）
（2）甲从布袋中随机取出一个小球，记下上面的数字为p，乙在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下上面的数字为q，这样确定了点M的坐标（p，q）．用树状图或列表法求点M（p，q）在双曲线上的概率．
16．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
17．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，作AE⊥CD于点E，EF∥CB交BD于点F．
（1）求证：△ACE∽△BAC；
（2）若，CE＝1，求BD及EF的长．
18．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与双曲线相交于A（1，n），B两点，与y轴相交于点C．
（1）求n，k的值；
（2）连接OB，在位于直线AB下方的双曲线上找一点D，使得△ABD的面积为△OBC的面积的3倍，求点D的坐标；
（3）点E是y轴上使得|EB﹣EA|的值最大的点，点P在线段CE上运动，过点P的直线y＝ax+b与双曲线相交于M，N两点，其中M为线段PN的中点，求a的取值范围．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知，b+d+f＝3，那么a+c+e的值是 ．
20．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根x1，x2满足x1+x2+x1x2＝2，则实数m的值为 ．
21．（4分）在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在水平地面上的影子如图中线段BC所示，小亮的身高如图中线段DE所示，路灯灯泡在射段OM上（B，O，E三点共线）．若两人的身高均为1.5m，他们相距12m，灯光下的影子长分别为2m和4m，则灯泡的高度为 m．
22．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx（m＞0）与双曲线交于A，C两点（点A在第一象限），直线y＝nx（n＜0）与双曲线交于B，D两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD的面积为10时，点A的坐标为 ．
23．（4分）有三角形纸片ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，按如下方式操作：第一步，将纸片沿折痕MN折叠，使点C落在线段AM上的C'点处，点B的对应点为点B'（如图①）；第二步，继续将纸片沿折痕AP折叠，使点M落在线段AN的点M'处（如图②）．连接B'P，若B'P＝2AP，则的值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）重百商场有A、B两款电器．已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台．
（1）求每台B款电器的售价为多少元？
（2）经统计，商场每月卖出A款电器100台，每台A款电器的利润为100元．为了尽快减少库存，重百商场决定采取适当的降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台．重百商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？
25．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A，D的坐标分别为（﹣4，0），（0，3），以AD为边作菱形ABCD，点B在x轴上，点C在第一象限．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转90°得到点N，连接CN，DN．
①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得∠PDC＝∠NDC，求点P的坐标；
②试探究CN+DN的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
26．（12分）在正方形ABCD中，E为CD边上一动点，将△ADE沿AE折叠，得到△AEF，过点F作直线MN∥AD，分别交CD，AB于点M，N．
（1）如图①，试探究当∠DAE的度数为多少时，M为CD的中点？说明理由；
（2）如图②，当DE＝5时，若MF•FN＝24，求正方形ABCD的边长；
（3）如图③，延长EF交CB边于点P，连接AP交MN于点Q，记正方形的面积为S，△AEP的面积为S'，当MF+NQ＝QF时，求的值．
2023-2024学年四川省成都市锦江区金苹果锦城一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）下列是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x＝1B．3x2﹣2y＝1
C．D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A．x2﹣2x＝1是一元二次方程，所以A选项符合题意；
B．3x2﹣2y＝1是二元二次方程，所以B选项不符合题意；
C．x2+是分式方程，所以C选项不符合题意；
D．ax2+bx+c＝0，只有当a≠0时它是一元二次方程，所以D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．（4分）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，可得图形如下：
．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．
3．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°，▱ABCD是矩形
B．当AB＝BC，▱ABCD是菱形
C．当AC⊥BD，▱ABCD是菱形
D．当AC＝BD，▱ABCD是正方形
【分析】根据矩形、正方形、菱形的定义进行判断即可．
【解答】解：A．有一个直角的平行四边形是矩形，故A对；
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B对；
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C对；
D．对角线相等的平行四边形是长方形或正方形，故D错；
故选：D．
【点评】本题考查特殊平行四边形的判定定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
4．（4分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为200cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．90cm2B．80cm2C．70cm2D．60cm2
【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解答】解：假设不规则图案面积为x cm2，
由已知得：长方形面积为200cm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：＝0.35，
解得：x＝70，
所以估计不规则图案的面积大约为70cm2．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率以及用频率估计概率；本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35．
5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，得出△OBC∽△OEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．（4分）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96B．150（1﹣x）2＝96
C．150（1﹣x）＝96D．150（1﹣2x）＝96
【分析】根据“连续两次降价后，该种商品每件售价为96元”列方程求解．
【解答】解：根据题意得：150（1﹣x）2＝96，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
7．（4分）在反比例函数（k为常数）上有三点A（x1，y1）B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1
【分析】根据偶次方的非负性，得k2+1＞0，再根据反比例函数的图象的特点解决此题．
【解答】解：∵k2≥0，
∴k2+1＞0．
∴反比例函数y＝（k为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，y随着x的增大而减小；在第三象限内，y随着x的增大而减小．
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＞0，y2＜y1＜0，即y2＜y1＜y3．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键．
8．（4分）如图，边长为的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，由正方形ABCD边长为，可知A（0，），D（，），C（，0），进而求得直线AM解析式为y＝x+；求出点P的坐标（，），利用两点间的距离公式得方程（m﹣）2+（m﹣）2＝（）2，解得：m＝﹣，得到M（﹣，﹣），利用两点间距离公式求得AM即可．
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：
∵正方形ABCD边长为，
∴A（0，），D（，），C（，0），
由B（0，0），D（，）可得直线BD解析式为y＝x，
设M（m，m），AM解析式为y＝kx+b，代入得：
，
解得：，
∴直线AM解析式为y＝x+，
在y＝x+中，令x＝得y＝，
∴P（，），
∵PM＝PC，
∴（m﹣）2+（m﹣）2＝（）2，
整理得（m﹣）2＝，
解得：m＝+（不符合题意，舍去）或m＝﹣，
∴M（﹣，﹣），
∴AM＝＝＝3﹣．
故选：D．
【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出M的坐标．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分。共20分）
9．（4分）如果＝，那么＝ 3 ．
【分析】由＝，即可设a＝3k，b＝2k，然后将其代入，即可求得答案．
【解答】解：∵＝，
设a＝3k，b＝2k，
∴＝＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握由＝，设a＝3k，b＝2k的解题方法．
10．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的值是 ﹣1 ．
【分析】根据关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2﹣1＝0的一个根是0，可以得到（k﹣1）×02+0+k2﹣1＝0且k﹣1≠0，然后求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2﹣1＝0的一个根是0，
∴（k﹣1）×02+0+k2﹣1＝0且k﹣1≠0，
解得k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，写出关于k的方程，注意二次项系数不等于0．
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（4，4）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（6，2）．则木杆AB在x轴上的影长CD为 12 ．
【分析】利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长．
【解答】解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，
∵P（4，4），A（0，2），B（6，2）．
∴PM＝2，PE＝4，AB＝6，
∵AB∥CD，
∴＝．
∴＝，
∴CD＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
12．（4分）如图，直线y＝mx（m＜0）与双曲线交于A，B两点，AH⊥y轴于点H，若△AHB的面积为5，则k的值为 ﹣5 ．
【分析】根据反比例函数的对称性、函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|解答．
【解答】解：根据反比例函数的对称性可知S△AOH＝S△BOH，
∵△AHB是面积为5，
∴△AOH的面积是2.5，
∴|k|＝2.5，
∵双曲线位于二、四象限，
∴k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
13．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E：分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G．若CD＝4DE，则的值为 ．
【分析】先根据作图得出AE平分∠ABC，MN垂直平分AE，再根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4DE，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
由作图得：AE平分∠ABC，MN垂直平分AE，
∴∠ABE＝∠CBE，AF＝EF，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝CD＝4ED，
∴EF＝2DE，
∴BC＝AD＝5DE，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了基本作图，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣3＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵x2+4x﹣3＝0，
∴x2+4x＝3，
∴x2+4x+4＝3+4，
∴（x+2）2＝7，
∴x+2＝±，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9，
2（x﹣3）2﹣（x﹣3）（x+3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，
∴x1＝3，x2＝9．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
15．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个标有﹣1，﹣2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．
（1）从布袋中随机取出一个小球，小球上标的数字为奇数的概率为 ；（直接写出结果）
（2）甲从布袋中随机取出一个小球，记下上面的数字为p，乙在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下上面的数字为q，这样确定了点M的坐标（p，q）．用树状图或列表法求点M（p，q）在双曲线上的概率．
【分析】（1）利用概率公式求解即可求得答案；
（2）根据题意画出表格，即可得到M点坐标，然后由表格求得所有等可能的结果与数字p、q满足y＝的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）从布袋中随机取出一个小球有四种可能的情况，小球上标的数字为奇数的两种情况，
所以小球上标的数字为奇数的概率为：＝．
故答案为：；
（2）列表得：
点M的坐标所有可能的坐标共12种；其中在双曲线上的有2种，即：（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1），
∴点M（p，q）在双曲线上的概率为：P＝＝．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）直接利用根的判别式结合完全平方式得出答案；
（2）直接利用勾股定理结合根与系数的关系得出答案．
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
则k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴a2＝b2+c2，
则9＝（b+c）2﹣2bc，
9＝（k+2）2﹣2×2k，
解得：k＝，
由b+c＝2+k＝2+（不可能取负数），
故△ABC的周长C＝5+．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及根与系数的关系和根的判别式，正确将原式变形是解题关键．
17．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，作AE⊥CD于点E，EF∥CB交BD于点F．
（1）求证：△ACE∽△BAC；
（2）若，CE＝1，求BD及EF的长．
【分析】（1）由CD是△ABC的中线可得AD＝CD，即∠CAD＝∠ACD，结合∠ACD+∠CAE＝90°＝∠CAD+∠B可得∠CAE＝∠B从而得证；
（2）由（1）可得对应边成比例，从而求出AB，AD，CD，BD，DE，根据勾股定理即可求出BC，再由EF∥BC可得，代入数据即可求出EF．
【解答】（1）证明：∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，即∠CAD＝∠ACD，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAE＝90°＝∠CAD+∠B，
∴∠CAE＝∠B，
∴△ACE∽△BAC；
（2）∵△ACE∽△BAC，
∴，即，
解得AB＝5，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝，
∴BC＝＝2，DE＝，
∵EF∥BC，
∴△DEF∽△DCB，
∴，即，
解得EF＝．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
18．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与双曲线相交于A（1，n），B两点，与y轴相交于点C．
（1）求n，k的值；
（2）连接OB，在位于直线AB下方的双曲线上找一点D，使得△ABD的面积为△OBC的面积的3倍，求点D的坐标；
（3）点E是y轴上使得|EB﹣EA|的值最大的点，点P在线段CE上运动，过点P的直线y＝ax+b与双曲线相交于M，N两点，其中M为线段PN的中点，求a的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）过点D作DE∥y轴，交直线y＝x+1于E，设D（m，），则DE＝m+1﹣，根据S△ABD＝3S△OBC，建立方程求解即可得出答案；
（3）作点A关于y轴的对称点A′（﹣1，2），连接BA′，延长BA′交y轴于点E，此时|EB﹣EA|的值最大，可得直线BA′的解析式为y＝3x+5，E（0，5），设N（n，），则M（n，），可得，求得b＝，a＝﹣，再利用不等式性质即可求得答案．
【解答】解：（1）把A（1，n）代入y＝x+1，得n＝1+1＝2，
∵双曲线经过点A（1，2），
∴k＝1×2＝2；
（2）如图1，过点D作DE∥y轴，交直线y＝x+1于E，
设D（m，），则E（m，m+1），
∴DE＝m+1﹣，
∵S△ABD＝3S△OBC，
∴（m+1﹣）×3＝3××1×2，
解得：m1＝﹣1，m2＝2，
∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（2，1）；
（3）联立方程组得，
解得：，，
∴B（﹣2，﹣1），
如图2中，作点A关于y轴的对称点A′（﹣1，2），连接BA′，延长BA′交y轴于点E，此时|EB﹣EA|的值最大．
∵B（﹣2，﹣1），A′（﹣1，2），
∴直线BA′的解析式为y＝3x+5，
∴E（0，5），
∵点P在线段CE上运动，过点P的直线y＝ax+b与双曲线相交于M，N两点，且M为线段PN的中点，
∴P（0，b），且1≤b≤5，
设N（n，），则M（n，），
∴，
解得：b＝，a＝﹣，
∵1≤b≤5，
∴≤n≤6，
∴﹣≤a≤﹣．
【点评】本题是反比例函数综合题，看出来待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，三角形面积，解方程组，不等式性质等．注意点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知，b+d+f＝3，那么a+c+e的值是 ．
【分析】利用等比的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，b+d+f＝3，
∴＝，
∴a+c+e＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
20．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根x1，x2满足x1+x2+x1x2＝2，则实数m的值为 3 ．
【分析】先利用根的判别式的意义得到m≥2，再利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2﹣m+2，由于x1+x2+x1x2＝2，所以﹣2m+m2﹣m+2＝2，然后解关于m的方程后利用m的取值范围得到满足条件的m的值．
【解答】解：根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2﹣m+2）≥0，
解得m≥2，
根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2﹣m+2，
∵x1+x2+x1x2＝2，
∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，
整理得m2﹣3m＝0，
解得m1＝0，m2＝3，
∵m≥2，
∴m的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
21．（4分）在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在水平地面上的影子如图中线段BC所示，小亮的身高如图中线段DE所示，路灯灯泡在射段OM上（B，O，E三点共线）．若两人的身高均为1.5m，他们相距12m，灯光下的影子长分别为2m和4m，则灯泡的高度为 m．
【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB⊥CN，OM⊥CN，DE⊥CN，
∴AB∥OM∥DE，
∴△ABC∽△MCO，△DNE∽MNO，
∴＝，＝，
∵AB＝DE＝1.5m，BC＝2m，NE＝4m，BE＝OB+OE＝12m，
∴OE＝12﹣OB，
∴＝，＝，
∴OB＝OM﹣2，OB＝16﹣OM，
∴OM﹣2＝16﹣OM，
∴OM＝（m），
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx（m＞0）与双曲线交于A，C两点（点A在第一象限），直线y＝nx（n＜0）与双曲线交于B，D两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD的面积为10时，点A的坐标为 （，2）或（2，） ．
【分析】利用菱形的性质和面积公式得到OA2×OB2＝25，两次联立方程组得到OA2×OB2＝（）（）＝25，解出m值代入A（，2）求出坐标即可．
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵四边形ABCD的面积为10，
∴，
∵AC＝2OA，BD＝2OB，
∴，
即OA•OB＝5，
∴OA2•OB2＝25，
联立，
整理得：mx2﹣4＝0，
∴A（，2），
OA2＝（）2+（2）2＝，
∵直线y＝nx（n＜0）与双曲线交于B，D两点，AC⊥BD（令B点在第二象限），
∴mn＝﹣1，即n＝﹣，
联立，
整理得：﹣x2+1＝0，
∴B（，﹣），
∴OB2＝（）2+（﹣）2＝，
∴OA2•OB2＝（）（）＝25，
整理得：，
解得m＝2或（去掉负值），
∴A（，2）或（2，）．
故答案为：（，2）或（2，）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
23．（4分）有三角形纸片ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，按如下方式操作：第一步，将纸片沿折痕MN折叠，使点C落在线段AM上的C'点处，点B的对应点为点B'（如图①）；第二步，继续将纸片沿折痕AP折叠，使点M落在线段AN的点M'处（如图②）．连接B'P，若B'P＝2AP，则的值为 ．
【分析】如图②中，连接PB．设PM＝PM′＝a，则AP＝PN＝2a，由B'P＝2AP，推出PB＝PB′＝2AP＝4a，根据MN＝MP+PM，可得MN＝3a，根据BC＝AB•cs30，求出BC，可得结论．
【解答】解：如图②中，连接PB．
∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝60°，
设PM＝PM′＝a，则AP＝PN＝2a，PB＝PB′＝2AP＝4a，
∵PM′⊥AB，
∴BM′＝＝a，
∵∠PAM＝∠PAM′＝30°，
∴AM＝AM′＝a，
∴AB＝AM′+BM′＝a+a，
∴BC＝AB•cs30°＝a+a，
∵MN＝PM+PN＝3a，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）重百商场有A、B两款电器．已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台．
（1）求每台B款电器的售价为多少元？
（2）经统计，商场每月卖出A款电器100台，每台A款电器的利润为100元．为了尽快减少库存，重百商场决定采取适当的降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台．重百商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？
【分析】（1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为x元，根据顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台．列出分式方程，解方程即可；
（2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【解答】解：（1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为x元，
由题意得：＝﹣1，
解得：x＝240，
经检验，x＝240是原方程的解，且符合题意，
答：每台B款电器的售价为240元；
（2）设每台A款电器应降价m元，
由题意得：（100﹣m）（100+×20）＝10800，
整理得：m2﹣50m+400＝0，
解得：m1＝40，m2＝10（不符合题意，舍去），
答：每台A款电器应降价40元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键．
25．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A，D的坐标分别为（﹣4，0），（0，3），以AD为边作菱形ABCD，点B在x轴上，点C在第一象限．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转90°得到点N，连接CN，DN．
①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得∠PDC＝∠NDC，求点P的坐标；
②试探究CN+DN的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出B、C两点坐标，设解析式，代入B、C两点坐标，可得；
（2）①考虑点P在MC上、在MC延长线上两种情况；
②点M在x轴运动，DM＝NM，运动到点N在DC延长线上时，CN+DN的值最小．
【解答】解：（1）由题意得，AO＝4，DO＝3，AD＝＝5，
由菱形ABCD得，AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∴点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（5，3），
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，代入B、C两点坐标，
，
解得：k＝，b＝﹣，
∴直线BC的函数解析式为y＝x﹣；
（2）①
点M与点B重合，即MN＝DM＝BD，
∵BO＝AB﹣AO＝1，DO＝3，
∴在Rt△DBO中，BD＝＝，即MN＝DM＝BD＝，
过点N作NE⊥x轴于点E，
∴∠NEM＝90°，
点D绕点M顺时针旋转90°得到点N，即∠DMN＝90°，
∴∠DMO+∠NME＝90°，
∵∠ODM+∠DMO＝90°，
∴∠ODM＝∠NME，
∵∠DOM＝∠NEM，DM＝NM，
∴△DOM≌△MEN，
∴EM＝OD＝3，EN＝BO＝1，
∴点N的坐标为（4，1），
设直线DN的函数解析式为y1＝k1x+b1，代入D、N两点坐标，
，
解得：b1＝3，k1＝﹣，
直线DN的函数解析式为y1＝﹣x+3，
∵∠PDC＝∠NDC，
∴点P在如图所示两种情况，
图1：点P即为y＝x﹣与y1＝﹣x+3的交点，
，
解得：x＝3，y＝，即点P的坐标为（3，），
图2：设直线DP的函数解析式为y2＝k2x+b2，
∵∠PDC＝∠NDC，
∴k2＝﹣k1＝，
∵过点D，
∴b2＝3，
∴y2＝x+3，
此时y2＝x+3与y＝x﹣的交点即为点P，
，
解得：x＝15，y＝，即点P的坐标为（15，），
综上所述，点P的坐标为（3，）或（15，），
②
如图所示，M运动到x轴负半轴M1、原点M2、正半轴M3处，CN1+DN1＞CN2+DN2＞CN3+DN3，
M运动到正半轴M3、M4处，CN4+DN4＞CN3+DN3，
由此可见，点M运动到M3处时，点N在DC延长线上时，CN+DN的值最小，
过N点作NE⊥x轴于点E，即∠NEM＝90°，
设点M的坐标为（a，0），则MO＝a，
由题意得，DM＝NM，∠DMN＝90°，
∴∠MDN＝∠DNM＝45°，
∵DN∥OE，
∴∠DMO＝∠NME＝45°，
∵DM＝NM，∠DOM＝∠NEM，
∴△DOM≌△NEM（AAS），
∴EM＝OM＝a，即OE＝2a，DN＝2a，
∵DO＝3，OM＝a，
∴在Rt△ODM中，DM＝＝，
∴MN＝，
在Rt△DMN中，DN＝＝，
∴＝2a，
解得：a＝±3，
∵M在x轴正半轴，
∴a＝﹣3，舍去，
∴点M运动到（3，0）处，CN+DN的值最小，
DN＝2a＝6，CN＝DN﹣DC＝6﹣5＝1，
CN+DN的值为6+1＝7，
∴CN+DN存在最小值，最小值为7．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中的几何问题，关键是注意分类讨论和动点问题．
26．（12分）在正方形ABCD中，E为CD边上一动点，将△ADE沿AE折叠，得到△AEF，过点F作直线MN∥AD，分别交CD，AB于点M，N．
（1）如图①，试探究当∠DAE的度数为多少时，M为CD的中点？说明理由；
（2）如图②，当DE＝5时，若MF•FN＝24，求正方形ABCD的边长；
（3）如图③，延长EF交CB边于点P，连接AP交MN于点Q，记正方形的面积为S，△AEP的面积为S'，当MF+NQ＝QF时，求的值．
【分析】（1）由正方形的性质得AD＝CD，∠D＝∠DAN＝90°，而MN∥AD，可证明四边形ADMN是矩形，则AN＝DM，由折叠得AF＝AD，∠FAE＝∠DAE，当∠DAE＝15°，则∠AFN＝∠DAF＝30°，所以AN＝AF，所以DM＝CD，则当∠DAE＝15°时，M为CD的中点；
（2）先证明△FME∽△ANF，得＝，则EM•NA＝MF•FN＝24，而FE＝DE＝5，所以NA＝DM＝EM+5，则EM（EM+5）＝24，求得EM＝3，则NA＝DM＝8，再根据勾股定理求得MF＝＝4，所以FN＝＝6，则AD＝MN＝10，所以正方形ABCD的边长为10；
（3）先根据“HL”证明Rt△APF≌Rt△APB，得PF＝PB，再证明∠APF＝∠PQF，得QF＝PF＝PB，由MF+NQ＝QF，得QF＝MN＝AD＝BC，则BP＝BC，所以P为BC的中点，设AD＝AB＝BC＝CD＝a，FE＝DE＝x，由勾股定理得（a）2+（a﹣x）2＝（a+x）2，求得x＝a，则S′＝S△AEF+S△APF＝S△ADE+S△APB＝a2，所以＝．
【解答】解：（1）当∠DAE＝15°时，M为CD的中点，
理由：如图①，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝∠DAN＝90°，
∵MN∥AD，
∴∠ANM＝180°﹣∠DAN＝90°，
∴四边形ADMN是矩形，
∴AN＝DM，
由折叠得AF＝AD，∠FAE＝∠DAE＝15°，
∴AF＝CD，∠AFN＝∠DAF＝15°+15°＝30°，
∴AN＝AF，
∴DM＝CD，
∴当∠DAE＝15°时，M为CD的中点．
（2）如图②，∵∠FME＝∠ANF＝90°，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN＝90°﹣∠AFN，
∴△FME∽△ANF，
∴＝，
∴EM•NA＝MF•FN＝24，
∵FE＝DE＝5，
∴NA＝DM＝EM+5，
∴EM（EM+5）＝24，
解得EM＝3或EM＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴NA＝DM＝3+5＝8，MF＝＝＝4，
∴FN＝＝＝6，
∴AD＝MN＝MF+FN＝4+6＝10，
∴正方形ABCD的边长为10．
（3）如图③，∵AF＝AD，AB＝AD，∠AFE＝∠D＝∠C＝90°，
∴AF＝AB，∠AFP＝∠B＝90°，
在Rt△APF和Rt△APB中，
，
∴Rt△APF≌Rt△APB（HL），
∴PF＝PB，∠APF＝∠APB，
∵MN∥AD，BC∥AB，
∴MN∥BC，
∴∠PQF＝∠APB，
∴∠APF＝∠PQF，
∴QF＝PF＝PB，
∵MF+NQ＝QF，
∴QF＝MN＝AD＝BC，
∴BP＝BC，
∴P为BC的中点，
设AD＝AB＝BC＝CD＝a，FE＝DE＝x，则PF＝PB＝PC＝a，
∴CE＝a﹣x，PE＝a+x，
∵PC2+CE2＝PE2，
∴（a）2+（a﹣x）2＝（a+x）2，
∴解关于x的方程得x＝a，
∵△AEF≌△ADE，△APF≌△APB，
∴S△AEF＝S△ADE，S△APF＝S△APB，
∴S′＝S△AEF+S△APF＝S△ADE+S△APB＝×a2+×a2＝a2，
∵S＝a2，
∴＝＝，
∴的值为．
【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．（p，q）
﹣1
﹣2
3
4
﹣1

（﹣1，﹣2）
（﹣1，3）
（﹣1，4）
﹣2
（﹣2，﹣1）

（﹣2，3）
（﹣2，4）
3
（3，﹣1）
（3，﹣2）

（3，4）
4
（4，﹣1）
（4，﹣2）
（4，3）