2019年四川省阿坝州中考数学真题及答案

这是一份2019年四川省阿坝州中考数学真题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分150分，考试时间120分钟）
A卷（100分）
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出代号为A，B，C，D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各数当中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（ ）
A．2.35×106 B．2.35×107 C．2.35×108 D．2.35×109
3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：
89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．95，95 B．96，96 C．95，96 D．96，95
6．下列计算结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x2•x3 C．（x2）3 D．x6﹣x
7．方程﹣＝0的解为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（ ）
A．6πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．18πcm2
9．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC
10．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
11．分解因式：x2﹣4＝ ．
12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为 ．
13．如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为 ．
14．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为 度．
三、解答题：本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（12分）（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cs45°；
（2）计算：（1+）÷．
16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
17．（8分）小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）
18．（8分）某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．
请结合图表信息，解答下列问题：
（1）该年级学生共有多少人？
（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；
（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A和点B（6，2），与x轴交于点C．
（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）求△AOC的面积．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若B为DH的中点，求tanD的值．
B卷（50分）
一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上.
21．已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为 ．
22．口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是 ．
23．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为 ，点E到CF的距离为 ．
24．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，Sn＝1﹣Sn﹣1，当n为大于1的偶数时，Sn＝1+），按此规律，S2019＝ ．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为 ．
二、解答题：本大题共3小顺，共30分，解应写出必要的文字说明、证明过程或算步骤.
26．（8分）某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；
（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．
27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．
（1）求证：AB＝BF；
（2）求∠AEB的度数；
（3）当∠A＝60°时，求的值．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边
形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
A卷（100分）
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出代号为A，B，C，D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各数当中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【知识考点】有理数大小比较．
【思路分析】在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．
【解题过程】解：如图所示，
，
故选：A．
【总结归纳】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．
2．2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（ ）
A．2.35×106 B．2.35×107 C．2.35×108 D．2.35×109
【知识考点】科学记数法—表示较大的数．
【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解题过程】解：将235000000用科学记数法表示为2.35×108．
故选：C．
【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【知识考点】简单组合体的三视图．
【思路分析】俯视图就是从几何体的上面看到的图形，从上面看得到的是两个横着排列的小正方形，因此可得选项C是正确的．
【解题过程】解：根据俯视图的意义可知，从上面看到的是选项C的图形，
故选：C．
【总结归纳】考查简单几何体的俯视图意义，俯视图就是从几何体的上面对该几何体正投影所得到的图形．
4．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识考点】平行线分线段成比例．
【思路分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解题过程】解：∵DE∥BC，
∴＝，
又∵AD＝2，DB＝1，AE＝4，
∴＝，
∴EC＝2，
故选：B．
【总结归纳】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
5．在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：
89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．95，95 B．96，96 C．95，96 D．96，95
【知识考点】中位数；众数．
【思路分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解题过程】解：将数据重新排列为89，93，94，95，96，96，97，
所以这组数据的众数为96分，中位数为95（分），
故选：D．
【总结归纳】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．下列计算结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x2•x3 C．（x2）3 D．x6﹣x
【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【思路分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方的性质，以及合并同类项法则进行计算．
【解题过程】解：A、x10÷x2＝x8，故此选项不合题意；
B、x2•x3＝x5，故此选项符合题意；
C、（x2）3＝x6，故此选项不合题意；
D、x6和x不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；
故选：B．
【总结归纳】此题主要考查了同底数幂的乘除，关键是掌握整式的计算的各运算法则．
7．方程﹣＝0的解为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【知识考点】解分式方程．
【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解题过程】解：去分母得：2﹣x+4＝0，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解，
故选：D．
【总结归纳】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8．如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（ ）
A．6πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．18πcm2
【知识考点】扇形面积的计算．
【思路分析】将所给数据直接代入扇形面积公式S扇形＝进行计算即可得出答案．
【解题过程】解：由题意得，n＝120°，R＝6cm，
故＝12π．
故选：C．
【总结归纳】此题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义，难度一般．
9．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC
【知识考点】全等三角形的判定．
【思路分析】由EB＝CF，可得出EF＝BC，又有∠A＝∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．
【解题过程】解：A．添加∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意．
B．添加DE＝AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故B选项符合题意；
C．添加AB∥DE，可得∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项不符合题意；
D．添加DF∥AC，可得∠DFE＝∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意；
故选：B．
【总结归纳】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【知识考点】一次函数的性质；二次函数的图象．
【思路分析】先由二次函数的图象确定b、c的符号，再求出一次函数的图象所过的象限，即可得出答案．
【解题过程】解：由图象可知：
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴一次函数y＝bx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【总结归纳】此题考查了二次函数图象与系数的关系，本题将二次函数与一次函数综合在一起进行考查，增加了题目的研究性，也是中考中的热点题型．
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
11．分解因式：x2﹣4＝ ．
【知识考点】因式分解﹣运用公式法．
【思路分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解题过程】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【总结归纳】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为 ．
【知识考点】关于原点对称的点的坐标．
【思路分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．
【解题过程】解：点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为：（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
【总结归纳】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
13．如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为 ．
【知识考点】勾股定理；垂径定理．
【思路分析】连接OA，根据垂径定理的推论得到OM⊥AB，根据勾股定理求出AM，得到答案．
【解题过程】解：连接OA，
∵M为弦AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴AM＝＝＝3，
∴AB＝2AM＝6，
故答案为：6．
【总结归纳】本题考查的是垂径定理，掌握垂径定理的推论、勾股定理是解题的关键．
14．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为 度．
【知识考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．
【思路分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质可得∠AEB＝55°，根据翻折变换的性质得到∠AEF＝110°，再根据平行线的性质即可求解．
【解题过程】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵∠ABE＝35°，
∴∠AEB＝55°，
由翻折变换可得∠AEF＝110°，
∴∠BFE＝70°．
故答案为：70．
【总结归纳】考查了翻折变换，长方形的性质，平行线的性质，关键是求得∠AEF＝110°．
三、解答题：本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（12分）（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cs45°；
（2）计算：（1+）÷．
【知识考点】实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【思路分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案；
（2）首先将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解题过程】解：（1）（π﹣2019）0+|﹣1|+2cs45°
＝1+﹣1+2×
＝1+﹣1+
＝2；
（2）（1+）÷
＝•
＝x+1．
【总结归纳】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【知识考点】根的判别式．
【思路分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，然后解不等式即可．
【解题过程】解：根据题意得△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，
解得k＞﹣2．
【总结归纳】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
17．（8分）小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）
【知识考点】解直角三角形的应用．
【思路分析】根据题意可得四边形ABED是矩形，再根据特殊角三角函数值即可求出CD的长，进而可求这棵树大约有多高．
【解题过程】解：根据题意可知：
∠ABE＝90°，AB∥DE，AB＝DE＝1.75m，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE＝6m，
∠CDA＝90°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD•tan30°＝6×＝2（m），
∴CD+DE＝2+1.75≈5.2（m）．
答：这棵树大约有5.2m高．
【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
18．（8分）某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．
请结合图表信息，解答下列问题：
（1）该年级学生共有多少人？
（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；
（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【知识考点】频数（率）分布表；条形统计图；列表法与树状图法．
【思路分析】（1）根据C等级的人数除以该组频率进而得出该年级的学生数；
（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案，从而补全统计图；
（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【解题过程】解：（1）该年级学生共有的人数是：105÷0.35＝300（人）；
（2）a＝＝0.25，b＝300×0.4＝120（人），补图如下：
（3）根据题意画图如下：
∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴P（抽到甲和乙）＝＝．
【总结归纳】此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用，根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键．
19．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A和点B（6，2），与x轴交于点C．
（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）求△AOC的面积．
【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路分析】（1）把B点坐标代入y＝﹣2x+b中求出b得到一次函数解析式，把B点坐标代入y＝中求出k得到反比例函数解析式；
（2）先利用一次函数解析式得到C点坐标为（7，0），再解方程组得A（1，12），然后根据三角形面积公式计算△AOC的面积．
【解题过程】解：（1）把B（6，2）代入y＝﹣2x+b得﹣12+b＝2，解得b＝14，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+14，
把B（6，2）代入y＝得k＝6×2＝12，
∴反比例函数解析式为y＝（x＞0）；
（2）当y＝0时，﹣2x+14＝0，解得x＝7，
∴C点坐标为（7，0），
解方程组得或，
∴A（1，12），
∴△AOC的面积＝×7×12＝42．
【总结归纳】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若B为DH的中点，求tanD的值．
【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形．
【思路分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠HCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BD＝BH＝x，得到BH＝2x，根据相似三角形的性质得到CH＝＝，由三角函数的定义即可得到结论．
【解题过程】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∠A＝∠ACO，
∴∠A+∠BCO＝90°，
∵∠A＝∠BCH，
∴∠BCH+∠BCO＝90°，
∴∠HCO＝90°，
∴CH是⊙O的切线；
（2）解：∵B为DH的中点，
∴设BD＝BH＝x，
∴BH＝2x，
∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，
∴∠D＝∠BCH，
∵∠H＝∠H，
∴△DCH∽△CBH，
∴＝，
∴CH＝＝，
∵∠H＝90°，
∴tanD＝＝＝．
【总结归纳】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
B卷（50分）
一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上.
21．已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为 ．
【知识考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【思路分析】由点A在直线y＝﹣3x+5上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出3a+b＝5，将其代入6a+2b﹣1＝2（3a+b）﹣1中即可求出结论．
【解题过程】解：∵点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，
∴b＝﹣3a+5，
∴3a+b＝5，
∴6a+2b﹣1＝2（3a+b）﹣1＝9．
故答案为：9．
【总结归纳】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
22．口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是 ．
【知识考点】概率公式．
【思路分析】设黑球有2x个，则白球为3x个，根据概率公式得到：即可求解．
【解题过程】解：设黑球有2x个，则白球为3x个，
根据题意得：，
解得：x＝10，
∴白球有：3x＝30，
故答案为：30．
【总结归纳】考查了概率公式的知识，解题的关键是根据概率公式列出方程，难度不大．
23．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为 ，点E到CF的距离为 ．
【知识考点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质．
【思路分析】由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，由勾股定理得出BE＝3，同理DF＝3，得出AE＝AF＝1，则△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝；作EH⊥CF于H，由△CEF的面积＝CF×EH，求出EH的长即可．
【解题过程】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，
∴BE＝＝＝3，
同理DF＝3，
∴AE＝AF＝1，
∴△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝4×4﹣×1×1﹣2××4×3＝；
作EH⊥CF于H，如图：
∵△CEF的面积＝CF×EH＝3.5，
∴EH＝＝，
即点E到CF的距离为；
故答案为：；．
【总结归纳】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键．
24．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，Sn＝1﹣Sn﹣1，当n为大于1的偶数时，Sn＝1+），按此规律，S2019＝ ．
【知识考点】规律型：数字的变化类．
【思路分析】根据题意先计算出前五个数，发现每4个数一个循环，进而可求第2019个数的值．
【解题过程】解：S1＝1；
S2＝1+＝1+1＝2；
S3＝1﹣S2＝1﹣2＝﹣1；
S4＝1+＝1+（﹣1）＝0；
S5＝1﹣S4＝1﹣0＝1；
…
发现规律：
每4个数一个循环，
所以2019÷4＝504…3，
所以按此规律，S2019＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【总结归纳】本题考查了规律型﹣数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为 ．
【知识考点】勾股定理；旋转的性质．
【思路分析】当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出CP长即可．
【解题过程】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴A'B'＝AB＝10，
由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，
∵S△A'B'C＝×B'C×A'C＝×A'B'×CP，
∴CP＝＝4.8．
故答案为：4.8．
【总结归纳】本题考查旋转的性质、勾股定理、三角形的面积等知识；解题的关键是灵活运用旋转的性质．
二、解答题：本大题共3小顺，共30分，解应写出必要的文字说明、证明过程或算步骤.
26．（8分）某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；
（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．
【知识考点】二次函数的应用．
【思路分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；
（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．
【解题过程】解：（1）当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为200﹣10×（64﹣60）＝160（件）；
（2）设每件商品的售价为x元，销售该商品每天获得的利润为W，
则W＝（x﹣50）[200﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1300x﹣4000＝﹣10（x﹣65）2+2250，
∵a＝﹣10，
∴当x＝65时，W取得最大值，最大值为2250，
答：当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．
【总结归纳】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．
27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．
（1）求证：AB＝BF；
（2）求∠AEB的度数；
（3）当∠A＝60°时，求的值．
【知识考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【思路分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△FBD，可得AB＝BF；
（2）由全等三角形的性质可得AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，由角平分线的性质可求解；
（3）由直角三角形的性质可求解．
【解题过程】解：（1）∵∠ABC＝∠AED＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，∠A+∠ADE＝90°，
∴∠ACB＝∠ADE，且BC＝BD，∠ABC＝∠DBF＝90°，
∴△ABC≌△FBD（AAS）
∴AB＝BF；
（2）如图，过点B作BG⊥AC于点G，作BH⊥DF于点H，
∵△ABC≌△FBD，
∴AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，
∴AC×BG＝×DF×BH，
∴BG＝BH，且BG⊥AC，BH⊥DF，
∴∠AEB＝∠DEB＝45°，
（3）如图，过点B作BN⊥AC于N，
∵∠BEA＝45°，
∴∠EBN＝∠BEN＝45°，
∴BN＝EN，
∴BE＝BN，
∵∠A＝60°，
∴sin∠A＝＝，
∴AB＝BN，
∴BF＝BN，
∴＝．
【总结归纳】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边
形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．
【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A、O的坐标代入上式，即可求解；
（2）OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A关于x轴对称，即可求解；
（3）延长HM交直线OP于点R，利用解直角三角形的方法求解点M的坐标，即可求解．
【解题过程】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
将点A的坐标代入得，y＝a（x﹣2）2﹣4，
将O的坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x；
（2）点A（2，﹣4），则抛物线的对称轴为x＝2，
OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q（抛物线与x轴的右侧交点）与点A关于函数对称轴对称，
故点P和点A关于x轴对称，故点P（2，4）；
（3）存在，理由：
过点M分别作x轴、PO的垂线，垂足分别为H、G，延长HM交直线OP于点R，
点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等，则GM＝MH，
tan∠POH＝＝2，则tan∠ORH＝，
设GM＝MH＝m，则GR＝2m，则RM＝m，RH＝RM+MH＝m+m，
tan∠ORH＝＝，则OH＝RH＝m，
故点M（m，m），
设直线OM的表达式为y＝sx，
将点M坐标代入上式并解得：s＝＝，
故直线OM的表达式为y＝x．
【总结归纳】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
成绩等级
频数
频率
A
75
a
B
b
0.4
C
105
0.35
成绩等级
频数
频率
A
75
a
B
b
0.4
C
105
0.35