2019山东省济南市中考数学真题及答案

这是一份2019山东省济南市中考数学真题及答案，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣7的相反数是（ ）
A．﹣7B．C．7D．1
2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（ ）
A．0.1776×103B．1.776×102C．1.776×103D．17.76×102
4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．20°B．35°C．55°D．70°
5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5B．6a＞6bC．﹣a＞﹣bD．a﹣b＞0
6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
7．化简的结果是（ ）
A．x﹣2B．C．D．
8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A．9.7m，9.9mB．9.7m，9.8mC．9.8m，9.7mD．9.8m，9.9m
9．函数y＝﹣ax+a与y（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．93πB．92πC．189πD．186π
11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（ ）（参考数据：tan37°，tan53°）
A．225mB．275mC．300mD．315m
12．关于x的一元二次方程ax2+bx0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．tB．﹣1＜tC．tD．﹣1＜t
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．分解因式：m2﹣4m+4＝ ．
14．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于 ．
15．一个n边形的内角和等于720°，则n＝ ．
16．代数式与代数式3﹣2x的和为4，则x＝ ．
17．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于 ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cs60°
20．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．
22．（8分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．
（1）求A和B两种图书的单价；
（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？
23．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．
（1）求证；∠ABD＝∠CAB；
（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．
24．（10分）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：
4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2
5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2
4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1
4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？
（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
25．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y（x＞0）的图象经过点B．
（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．
26．（12分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
（一）猜测探究
在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ，NB与MC的数量关系是 ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用
如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
27．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2019年山东省济南市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．﹣7的相反数是（ ）
A．﹣7B．C．7D．1
【解答】解：﹣7的相反数为7，
故选：C．
2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选：D．
3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（ ）
A．0.1776×103B．1.776×102C．1.776×103D．17.76×102
【解答】解：177.6＝1.776×102．
故选：B．
4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．20°B．35°C．55°D．70°
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE∠ABC＝35°，
故选：B．
5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5B．6a＞6bC．﹣a＞﹣bD．a﹣b＞0
【解答】解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，
∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，
∴关系式不成立的是选项C．
故选：C．
6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
7．化简的结果是（ ）
A．x﹣2B．C．D．
【解答】解：原式，
故选：B．
8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A．9.7m，9.9mB．9.7m，9.8mC．9.8m，9.7mD．9.8m，9.9m
【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，
平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7＝9.8m，
故选：B．
9．函数y＝﹣ax+a与y（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y在一、三象限，无选项符合．
a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y（a≠0）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．93πB．92πC．189πD．186π
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE3，
∴S△AEB＝S△AEC6×34.5S△AFC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝π，
故选：A．
11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（ ）（参考数据：tan37°，tan53°）
A．225mB．275mC．300mD．315m
【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．
在Rt△ECB中，tan53°，即，
在Rt△AEC中，tan37°，即，
解得x＝180，y＝135，
∴AC300（m），
故选：C．
12．关于x的一元二次方程ax2+bx0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．tB．﹣1＜tC．tD．﹣1＜t
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx0有一个根是﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b0，
∴b＝a，t＝2a+b，
则a，b，
∵二次函数y＝ax2+bx的图象的顶点在第一象限，
∴0，0，
将a，b代入上式得：
0，解得：﹣1＜t，
0，解得：t，
故：﹣1＜t，
故选：D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．分解因式：m2﹣4m+4＝ （m﹣2）2 ．
【解答】解：原式＝（m﹣2）2，
故答案为：（m﹣2）2
14．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于 ．
【解答】解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，
所以指针指向每个扇形的可能性相等，
即有6种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，
所以指针落在红色区域的概率是；
故答案为．
15．一个n边形的内角和等于720°，则n＝ 6 ．
【解答】解：依题意有：
（n﹣2）•180°＝720°，
解得n＝6．
故答案为：6．
16．代数式与代数式3﹣2x的和为4，则x＝ ﹣1 ．
【解答】解：根据题意得：3﹣2x＝4，
去分母得：2x﹣1+9﹣6x＝12，
移项合并得：﹣4x＝4，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1
17．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 210 元．
【解答】解：设当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，
当x＝150时，y＝6×150﹣240＝660，
由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为150m3，需要缴费：150×3＝450（元），
660﹣450＝210（元），
即小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为：210．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于 ．
【解答】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，
CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，
∴NC＝MD＝8﹣5＝3，
在Rt△FNC中，FN4，
∴MF＝5﹣4＝1，
在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得，
12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x，
∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，
∴△FNC∽△PGF，
∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，
设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，
∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，
解得：m＝1，
∴PF＝5m＝5，
∴PE＝PF+FE＝5，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cs60°
【解答】解：（）﹣1+（π+1）0﹣2cs60°
＝2+1﹣23
＝3﹣1+3
＝5
20．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【解答】解：
解①得：x≤4；
解②得：x＞2；
∴原不等式组的解集为2＜x≤4；
∴原不等式组的所有整数解为3、4．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，
∵∠DAF＝∠BCE，
∴∠BAF＝∠DCE，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF＝DE．
22．（8分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．
（1）求A和B两种图书的单价；
（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？
【解答】解：（1）设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，
依题意，得：20，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝30．
答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．
（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．
答：共花费880元．
23．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．
（1）求证；∠ABD＝∠CAB；
（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）证明：∵AB、CD是⊙O的两条直径，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD，
即∠ABD＝∠CAB；
（2）连接BC．
∵AB是⊙O的两条直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE为⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵B是OE的中点，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BCAC＝4，
∴OB＝4，
即⊙O的半径为4．
24．（10分）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：
4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2
5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2
4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1
4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ 8 ，b＝ 0.15 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？
（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
【解答】解：（1）由题意知C等级的频数a＝8，
则C组对应的频率为8÷40＝0.2，
∴b＝1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）＝0.15，
故答案为：8、0.15；
（2）
D组对应的频数为40×0.15＝6，
补全图形如下：
（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有400×0.25＝100（人）；
（4）列表如下：
得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，
所以恰好选到1名男生和1名女生的概率．
25．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y（x＞0）的图象经过点B．
（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．
【解答】解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，
∴﹣2×0+b＝8，
∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，
∴a＝4，
∴B（2，4），
将B（2，4）在反比例函数解析式y（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；
（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，
∴反比例函数解析式为y，
当m＝3时，
∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D（2+3，4），
即：D（5，4），
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y的图象于点E，
∴E（5，），
∴DE＝4，EF，
∴；
②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A（0，8），B（2，4），
∴C（m，8），D（m+2，4），
∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，
∴Ⅰ、当BC＝CD时，
∴BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
Ⅱ、当BC＝BD时，
∵B（2，4），C（m，8），
∴BC，
∴m，
∴m＝5，
即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．
26．（12分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
（一）猜测探究
在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ∠NAB＝∠MAC ，NB与MC的数量关系是 NB＝CM ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用
如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
【解答】解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．
理由：如图1中，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，
∴∠NAB＝∠MAC，
∵AB＝AC，AN＝AM，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴BN＝CM．
故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．
（2）如图2中，①中结论仍然成立．
理由：∵∠MAN＝∠CAB，
∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，
∴∠NAB＝∠MAC，
∵AB＝AC，AN＝AM，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴BN＝CM．
（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．
∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，
∴∠QA1B1＝∠PA1N，
∵A1A＝A1P，A1B1＝AN，
∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），
∴B1Q＝PN，
∴当PN的值最小时，QB1的值最小，
在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，
∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，
∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，
∴A1C1＝4，
∴NC1＝A1C1﹣A1N＝48，
在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，
∴NH＝44，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，
∴QB1的最小值为44．
27．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得
解得
∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，
配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；
（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1
∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x
将A（﹣4，0）代入y＝kx中，得0＝﹣4k，解得k，
∴直线l解析式为yx，
设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，
∴OD＝OE
∵DE＝2EM
∴OM＝2OD，
过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，
∴∠OFD＝∠ORM，
∵∠DOF＝∠MOR
∴△ODF∽△OMR
∴2
∴OR＝2OF，RM＝2DF
∴M（﹣2m，2m2+8m）
∴2m2+8m•（﹣2m），
解得：m1＝﹣3，m2，
∵m＜﹣2
∴m的值为：﹣3；
（3）由（2）知：m＝﹣3，
∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，
如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20
∴AB2+BG2＝AG2
∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，
∴tan∠GAB，
∵∠DEP＝∠GAB
∴tan∠DEP＝tan∠GAB，
在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OHOE，
过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；
∵E（3，﹣3），
∴∠EOT＝45°
∵∠EOH＝90°
∴∠HOT＝45°
∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，
则，解得
∴直线EH解析式为yx，
解方程组，得，，
∴点P的横坐标为：或．
等级
视力（x）
频数
频率
A
x＜4.2
4
0.1
B
4.2≤x≤4.4
12
0.3
C
4.5≤x≤4.7
a
D
4.8≤x≤5.0
b
E
5.1≤x≤5.3
10
0.25
合计
40
1
等级
视力（x）
频数
频率
A
x＜4.2
4
0.1
B
4.2≤x≤4.4
12
0.3
C
4.5≤x≤4.7
a
D
4.8≤x≤5.0
b
E
5.1≤x≤5.3
10
0.25
合计
40
1

男
男
女
女
男
（男，男）
（女，男）
（女，男）
男
（男，男）
（女，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）