湖南省永州市冷水滩区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省永州市冷水滩区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了本试卷包括试题卷和答题卡，下列运算正确的是，以下命题中，属于真命题的是，如图，已知，，增加下列条件等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，所有题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．
2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，如有缺页，考生须声明．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．下列代数式，不是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．3B．
C．
D．0
3．在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边中垂线的交点
4．如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的2倍C．缩小为原来的D．缩小为原来的
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．以下命题中，属于真命题的是（ ）．
A．同位角相等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等D．等腰三角形底边中点到两腰的距离相等
7．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
8．如果等腰三角形的两边长是10cm和5cm，那么它的周长为（ ）
A．20cmB．25cmC．20cm或25cmD．15cm
9．如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，，则的周长是（ ）
A．18B．15C．14D．11
10．如图，，点A在上，且，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧，交于点A1，得到第1条线段．
以为圆心，1为半径向右画弧，交于点，得到第2条线段．
以为圆心，1为半径向右画弧，交于点，得到第3条线段．
……这样画下去，直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则（ ）

A．15B．14C．13D．12
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．新冠病毒是一种新的β冠状病毒，其粒子形状最大直径为220纳米，1纳米米，数字220纳米用科学记数法表示为 米．
12．已知，，则的值为 ．
13．写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并写成“如果…，那么…”的形式 ．
14．若分式方程有增根，则a的值为
15．如图，点在上，，，，，，则的长为 ．

16．= ．
17．一个三角形的两边长分别为3、5，则第三边上的中线a的范围是 ．
18．当x分别取值、、，…，、1、2，…，2019、2020、2021时，求出代数式的值，然后将所求得的这些结果相加，其和等于 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．计算：
(1)
(2)
20．解方程：
21．先化简，再求值：，从，0，1，2中选择一个合适的值代入求值．
22．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
23．某淘宝服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元．
(1)甲、乙两种款式的T恤衫各购进了多少件？
(2)该网店在两种服装进价的基础上都提高销售，一段时间后，甲种款式全部售完，乙种款式还剩一半，商家决定对余下的乙种款式按标价的五折出售，售完后共获利元，求m的值．
24．已知关于的方程．
(1)当，时求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解．
25．如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；
(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
26．在中，，，点D为上一动点．

(1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足，．求证：；
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)由（1）我们知道，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接AF．那么的度数是否发生变化？请证明你的结论．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是根据一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式叫做分式进行判断．
【详解】解：A、是分式，故不合题意；
B、是分式，故不合题意；
C、是分式，故不合题意；
D、是整式，故符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，须同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．D
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．
故选D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
4．C
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：x，y同时扩大为原来的2倍，
则有，
∴该分式的值是原分式值的，故C正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，给分子分母同时乘以一个整式（不为0），不可遗漏是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据负指数幂、分式的基本性质、零指数幂及幂的除法即可求解，解题的关键是熟知各自的运算法则．
【详解】A、，故错误；
B、正确；
C、，故错误；
D、，故错误；
故选：B．
6．D
【分析】利用平行线的性质以及全等三角形的判定方法得出即可．
【详解】A、两直线平行，同位角相等，故此选项错误；
B、两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误；
D、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等，正确．
故选：D．
【点睛】此题考查命题与定理，正确把握相关定义是解题关键．
7．B
【分析】由，可知，再加上后，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的邻边．
【详解】已知，可知，又，
添加①，就可以用判定；
添加③，就可以用判定；
添加④，就可以用判定；
添加②只是具备，不能判定三角形全等．
其中能使的条件有：①③④；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．
8．B
【分析】先根据三角形的三边关系定理可得第三边的取值范围，再根据等腰三角形的定义可得第三边长，然后根据三角形的周长公式即可得．
【详解】设这个等腰三角形的第三边长为，
则，即，
由等腰三角形的定义得：，
则它的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．
9．D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据“垂直平分线上的点到两端距离相等”得出，推出的周长，即可求解．
【详解】解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质“等边对等角”，三角形的外角定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，先求出，……得出，再根据直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，得出，即可求解．
【详解】解：当画出1条线段时：∵，
∴，
∴，
当画出2条线段时：∵，
∴，
∴，
同理可得：当画出3条线段时：，
……
当画出n条线段时：，
∵直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，
∴，即，
解得，
∴，
故选：B．
11．
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．先将米用科学记数法表示，即可将220纳米用科学记数法表示．
【详解】解：∵米用科学记数法表示为米，
∴1纳米米，
∴220纳米（米），
故答案为：．
12．12
【分析】根据幂的除法及幂的乘方逆运算即可求解，此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
【详解】∵，，
∴=，
故答案为：12．
13．如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上
【分析】本题考查了命题的相关知识点，找到题设和结论是解题关键．
【详解】解：逆命题为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
故：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上
故答案为：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上
14．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【详解】解∶去分母，得，
∵分式方程有增根，
∴，
∴，
把代入，
得，
解得．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．4
【分析】本题考查了三角形的全等，三角形的外角定理，线段的差.先利用三角形的外角性质证，再利用证明，根据全等三角形的性质求解即可.
【详解】解：∵，
∴，

在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为4，
故答案为：4.
16．
【分析】本题考查了分式的除法运算，根据负整数指数幂公式先进行乘方运算，再进行除法运算即可得出答案，熟练应用负整数指数幂公式计算是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
．
17．##
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据题意作出图形，采用中线倍长法，构造，得到，然后在中利用三边关系找出的取值范围，进而得到的取值范围．熟练运用中线倍长法构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图所示，中，，， 边上的中线，延长到E，取，连接，
在与中，
∴
∴，
在中，，，
∴，
∴
∴
∴．
故答案为：．
18．####2020.5
【分析】先把和代入代数式，并对代数式化简，得到它们的和为1，然后把代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．
【详解】解：因为将一对倒数代入代数求和得，即当x分别取值，为正整数时，计算所得的代数式的值之和为1；而当时，．
所以，当x分别取值、、，…，、1、2，…，2019、2020、2021时， 计算所得各代数式的值之和为2020个1的和再加上即是．
故答案为．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为1，观察数据特征，找出各数据代入代数式求值后的关系是解题的关键．
19．(1)4
(2)
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算、零次幂、负整数指数幂、分式的乘除运算：
（1）根据含乘方的有理数的混合运算、零次幂、负整数指数幂的运算法则即可求解；
（2）根据分式的乘除的运算法则即可求解；
熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
．
（2）原式
．
20．x=3
【分析】先去分母，再去括号，接着移项，然后合并同类项，最后系数化为1，进行检验，即可求出答案.
【详解】解：
去分母得：x-3-(4-x)=-1
去括号得：x-3-4+x=-1
移项得：x+x=-1+3+4
合并同类项得：2x=6
系数化为1得：x=3
将x=3代入最简公分母4-x中，经检验，4-x≠0，
故此分式方程的解为x=3.
【点晴】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知解分式方程的步骤，注意解分式方程一定要进行检验.
21．，当时，原式为；当时，原式为．
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
；
∵当，或0时分式无意义，
∴当时，原式或当时，原式=．
22．(1)证明见解析；(2) △APQ是等边三角形．
【分析】(1)根据等边三角形的性质可得AB＝AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ;
(2)根据全等三角形的性质得到AP＝AQ ，再证∠PAQ ＝ 60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【详解】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中， ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)；
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴△APQ是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证，△ABP≌△ACQ是解题的关键．
23．(1)甲种款型的T恤衫购进件，乙种款型的T恤衫购进件
(2)
【分析】（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进件，根据“甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元”列出方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）分别求出甲种款式的T恤衫进价为元件，乙种款式T恤衫的进价为元件，根据售完后共获利元列出方程，解方程即可得到答案．
此题考查了分式方程和一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进件，
根据题意得，，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲种款型的T恤衫购进件，乙种款型的T恤衫购进件；
（2）∵，
，
∴甲种款式的T恤衫进价为元件，乙种款式T恤衫的进价为元件，
∴甲种款式的T恤衫获利元，
乙种款式的T恤衫获利元，
又∵售完后共获利元，
∴，
∴．
答：m的值为．
24．(1)
(2)当或3或9时原方程无解．
【分析】本题主要考查解分式方程．
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可．
【详解】（1）解：当，时，分式方程为，
去分母得：，
解得：，
经经验是原方程的解；
（2）解：当时，分式方程为，
去分母得：，
整理得，，
（1）当整式方程无解时，，，
（2）当分式方程产生增根时，增根为或，
①当时，，，
②当时，，，
综上所述，当或3或9时原方程无解．
25．(1)全等，理由见解析，线段与线段垂直；
(2)存在，或
【分析】（1）由速度和时间求得、，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得进而可得，即；
（2）已知，若还有个内角为60°则为等边三角形，则，，此时与不会全等，所以与全等时和为对应相等角，应分两种情况讨论：①时，，，②时，，；利用对应边相等的关系建立方程求解即可；
【详解】（1）解：当时，，，
又∵，在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，即线段与线段垂直；
（2）解：①若，
则，，
∴，
解得；
②若，则，，
∴，
解得；
综上所述，存在或使得与全等；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论的思想是解题关键．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)，不变化，理由见解析
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．
（1）根据，得出，即可根据证明；
（2）易得，根据，得出，则，进而得出，则，即可求证；
（3）过点A作的垂线交于点E，易得，，即可得出，通过求证得出，则是等腰直角三角形，即可求出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在和中
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，不变化，理由如下：

过点A作的垂线交于点E
∵
∴
∴
同理
∵
∴
同（1）理得
在和中
，
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴．