2023-2024学年安徽省名校数学九年级第一学期期末监测模拟试题含解析

这是一份2023-2024学年安徽省名校数学九年级第一学期期末监测模拟试题含解析，共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，在，，，则的值是，下列运算中，计算结果正确的是，按下面的程序计算，抛物线的项点坐标是等内容，欢迎下载使用。

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（ ）
A．B．C．D．
2．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（ ）
A．B．C．D．
3．入冬以来气温变化异常，在校学生患流感人数明显增多，若某校某日九年级8个班因病缺课人数分别为2、6、4、6、10、4、6、2，则这组数据的众数是（ ）
A．5人B．6人C．4人D．8人
4．在，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A．a4•a＝a4B．a6÷a3＝a2C．（a3）2＝a6D．（ab）3＝a3b
6．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
7．按下面的程序计算:
若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则开始输入的值可以为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（ ）
A．B．C．D．
9．抛物线的项点坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤b＜c．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
12．小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为，长为，左侧图片的长比宽多. 若，则右侧留言部分的最大面积为_________.
13．已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
14．已知线段c是线段、的比例中项，且，，则线段c的长度为______．
15．某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_____．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为______度．
17．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系：h=20t-5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为第_________秒时．
18．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=_______度．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）连接，证明：．
20．（6分）如图，已知l1∥l2，Rt△ABC的两个顶点A，B分别在直线l1，l2上，，若l2平分∠ABC，交AC于点D，∠1=26°，求∠2的度数．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=25，AC=39，，求tanC和BC的长.

22．（8分）解方程
（1）7x2－49x＝0； （2）x2－2x－1＝0.
23．（8分）已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点（3，﹣3）.
（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标;
（2）将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，如图，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值;若不是，请说明理由.
24．（8分）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC，将△ABC沿AB翻折后得到△ABD
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE，求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.
25．（10分）（1）3tan30°-tan45°+2sin60°
（2）
26．（10分）如图在完全相同的四张卡片中，分别画出边长相等的正方形和等边三角形，然后放在盒子里搅匀，闭上眼睛任取两张，看纸片上的图形能拼成长方形或拼成菱形或拼成小房子，预测一下能拼成“小房子”的概率有多大．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】连接AG并延长交BC于H，如图，利用三角形重心的性质得到AG=2GH，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，然后根据比例的性质得到△ADE与四边形DBCE的面积比.
【详解】解：连接AG并延长交BC于H，如图，
∵点G为△ABC的重心，
∴AG＝2GH，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝（）2＝，
∴△ADE与四边形DBCE的面积比＝．
故选：A．
本题考查了三角形的重心与相似三角形的性质与判定. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
2、A
【解析】根据黄金分割的定义得到，则，同理得到，，根据此规律得到．据此可得答案．
【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
，
．
所以线段的长度是，
故选：．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点；其中，并且线段的黄金分割点有两个．
3、B
【解析】找出这组数据出现次数最多的那个数据即为众数.
【详解】解：∵数据2、6、4、6、10、4、6、2，中数据6出现次数最多为3次，
∴这组数据的众数是6.
故选：B.
本题考查众数的概念，出现次数最多的数据为这组数的众数.
4、B
【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答．
【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90，
∴∠A+∠B=90，
∴sin2A+sin2B=1，sinA>0，
∵sinB=，
∴sinA==.
故选B.
本题考查互余两角三角函数的关系.
5、C
【分析】根据幂的运算法则即可判断.
【详解】A、a4•a＝a5，故此选项错误；
B、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
C、（a3）2＝a6，正确；
D、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；
故选C．
此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式.
6、C
【分析】先根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△>0，即4-4××（-1）>0，则m的取值范围为且．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是一元二次方程.
∴△>0,即4-4××（-1）>0，.
∴且.
故选择C.
本题考查根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根的判别式和一元二次方程的定义.
7、B
【分析】由3x+1=22，解得x=7，即开始输入的x为111，最后输出的结果为556；当开始输入的x值满足3x+1=7，最后输出的结果也为22，可解得x=2即可完成解答.
【详解】解：当输入一个正整数，一次输出22时，
3x+1=22，解得：x=7；当输入一个正整数7，
当两次后输出22时，
3x+1=7，解得：x=2；
故答案为B.
本题考查了一元一次方程的应用，根据程序框图列出方程和理解循环结构是解答本题的关键.
8、D
【分析】根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由旋转变换的性质可知，，
∴正方形的面积＝四边形的面积，
∴，，
∴，，
∴．
故选D．
本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键．
9、D
【分析】由二次函数顶点式：，得出顶点坐标为，根据这个知识点即可得出此二次函数的顶点坐标．
【详解】解：由题知：
抛物线的顶点坐标为：
故选：D．
本题主要考查的二次函数的顶点式的特点以及顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
10、B
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质依次进行判断即可求解.
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），
∴x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的2个交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④正确；
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，
即b＜c，所以⑤正确．
故选B．
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像性质特点.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、且
【分析】根据根的判别式和一元一次方程的定义得到关于的不等式，求出的取值即可．
【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∵，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键．
12、320
【分析】先求出右侧留言部分的长，再根据矩形的面积公式得出面积与x的函数解析式，利用二次函数的图像与性质判断即可得出答案.
【详解】根据题意可得，右侧留言部分的长为(36-x)cm
∴右侧留言部分的面积
又14≤x≤16
∴当x=16时，面积最大(
故答案为320.
本题考查的是二次函数的实际应用，比较简单，解题关键是根据题意写出面积的函数表达式.
13、（6﹣2）cm．
【解析】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB=AB，代入数据即可得出BP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP＜BP，
则BP=×4=（2 -2）cm．
∴AP=4-BP=
故答案为：()cm．
【点评】
本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的 ．
14、6
【解析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积.所以c2=4×9,解得c=±6(线段是正数,负值舍去)，
故答案为6.
15、110m1．
【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
【详解】解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×2+0.25×4+0.1×6+0.4×7+0.5×1）÷20＝0.125（m1），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：
400×0.125＝110（m1），
故答案为：110m1．
此题考查的是根据样本估计总体，掌握样本平均数的公式是解决此题的关键．
16、1
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝1°，
故答案为：1．
本题考查了圆内接四边形的问题，掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形外角的性质是解题的关键．
17、1
【解析】h=10t-5t1=-5（t-1）1+10，
∵-5＜0，∴函数有最大值，
则当t=1时，球的高度最高．
故答案为1．
18、3．
【解析】试题分析：解：连接OD．∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=3°，∴∠C=∠A=3°．故答案为3．
考点：3．切线的性质；3．平行四边形的性质．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC，∠DAG=∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；
（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB=FB．
【详解】证明：（1）四边形是正方形，
，
又，
，
，
（2）如图所示，延长交的延长线于，
是的中点，
，
又，
，
，
即是的中点，
又，
中，．
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20、38°
【解析】试题分析：根据平行线的性质先求得∠ABD=26°，再根据角平分线的定义求得∠ABC=52°，再根据直角三角形两锐角互余即可得.
试题解析：∵l1∥l2，∠1=26°，
∴∠ABD=∠1=26°，
又∵l2平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=52°，
∵∠C=90°，
∴Rt△ABC中，∠2=90°﹣∠ABC=38°．
21、tanC=；BC=1
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据已知条件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，进而得出tanC；在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD=8，结合CD的长度，即可得出BC的长．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，AB=25，sinB=，
∴AD=AB·sinB =15，
在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2=AC2-AD2，
∴CD2=392-152，∴CD=36，
∴tanC==.
在Rt△ABD中，AB=25，AD=15，
∴由勾股定理得BD=20，
∴BC=BD+CD=1．
本题考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系．
22、（1）x1＝0,x2＝7；（2），
【解析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用配方法求解即可.
【详解】（1）∵7x2－49x＝0，
∴x2－7x＝0，
∴.
解得x1＝0，x2＝7
（2）移项,得,
配方,得,
开平方,得
.
解得，
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
23、（1）y=﹣x2+2x，顶点A的坐标是（1，1）；（2）CD长为定值.
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据平移规律，可设出新抛物线解析式，联立抛物线与直线OA，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．
【详解】解：（1）把（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m-2得：﹣3=﹣32+3m+m-2，
解得m=2，
∴y=﹣x2+2x，
∴y=﹣x2+2x=﹣（x-1）2+1，
∴顶点A的坐标是（1，1）；
（2）易得直线OA的解析式为y=x，
平移后抛物线顶点在直线OA上，设平移后顶点为（a，a），
∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，
联立
解得：x1=a，x2=a﹣1，
∴C（a-1，a-1），D(a，a)，
即C、D两点间的横坐标的差为1，纵坐标的差也为1，
∴CD=
∴CD长为定值．
本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，再利用解析式确定顶点坐标；根据平移规律确定抛物线解析式，通过联立解析式确定交点坐标，利用勾股定理求解．
24、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=
【解析】分析：（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB=∠C=90°，据此即可得；
（2）由AB=AD知AB2=AD•AE，即，据此可得△ABD∽△AEB，即可得出∠ABE=∠ADB=90°，从而得证；
（3）由知DE=1、BE=，证△FBE∽△FAB得，据此知FB=2FE，在Rt△ACF中根据AF2=AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得．
详解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠ADB=∠C=90°，
∴点D在以AB为直径的⊙O上；
（2）∵△ABC≌△ABD，
∴AC=AD，
∵AB2=AC•AE，
∴AB2=AD•AE，即，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴∠ABE=∠ADB=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°，
∴AB=，
∵，
∴，
解得：DE=1，
∴BE=，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC，
又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠DBE=∠BAE，
∴∠FBE=∠BAC，
又∠BAC=∠BAD，
∴∠FBE=∠BAD，
∴△FBE∽△FAB，
∴，即，
∴FB=2FE，
在Rt△ACF中，∵AF2=AC2+CF2，
∴（5+EF）2=42+（2+2EF）2，
整理，得：3EF2-2EF-5=0，
解得：EF=-1（舍）或EF=，
∴EF=．
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、翻折的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
25、（1）；（2）
【分析】（2）根据特殊角的三角函数值，代入求出即可．
（2）根据特殊角的三角函数值，零指数幂求出每一部分的值，代入求出即可．
【详解】（1）
（2）
本题考查了实数的运算法则，同时也利用了特殊角的三角函数值、0指数幂的定义及负指数幂定义解决问题．
26、．
【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【详解】画树状图如图：
∵所有机会均等的结果有12种，能组成小房子的结果有8种，
∴P（所抽出的两张卡片能拼成“小房子”）＝．
本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；根据树状图得到能组成小房子的情况数是解题关键．
节水量/m3
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
家庭数/个
2
4
6
7
1