第4章 几何图形初步考点训练-2023年初中数学7年级上册同步压轴题（学生版）

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第四章 几何图形初步考点训练 1．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2(MC-DN)；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是(    )A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【详解】解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，CN=NB.①∵AD=BM，∴AM+MD=MD+BD，∴AM=BD.∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，∴AB=3BD.②∵AC=BD，∴AM+MC=BN+DN.∵AM=MD，CN=NB，∴MD+MC=CN+DN，∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，∴MC=DN，∴AM=BN.③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.综上可知，①②③④均正确故答案为：D2．已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为(    )A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AM﹣AC==．④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC+AM==．综上所述：MC的长为或(a＞b)或(a＜b)，即MC的长为或．故选D．3．如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论：①；  ②；③；  ④其中正确的个数有(   )A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【详解】解：∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故①正确；∵，∵平分，平分，∴,∴，故②正确；∵，∴，∴，故③正确；∵不能证明，故④错误；∴正确的选项有3个；故选：C.4．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒()，当平分时，的值为(　 )A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】解：分两种情况：①如图平分时，，即，解得；②如图平分时，，即，解得．综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．故选：．5．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是(    )A．595 B．406 C．35 D．666【答案】B【详解】设锐角，第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为，第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为，第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为，设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同则，先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的，再看每两种分法重合情况第1种, 第2种, ，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，第2种,第3种, ,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角．故选择：B．6．如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为( )A． B． C．或 D．或【答案】C【详解】解：设∠DOE=x°，射线将分成了角度数之比为的两个角，当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=x°，=x°，∵平分，∴=x°，∵∠COD=180°，∴x+x+90+ x=180，解得，x=45；∠COF=2∠AOC=45°；当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，=2x°，同理， =2x°，2x+2x+90+ x=180，解得：x=18，∠COF=2∠AOC=72°；故选：C．7．如图，点O是钟面的中心，射线正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过___________分钟，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．【答案】6或【详解】设时针为OB，分针为OA． 当时针为OB为角平分线时，如图1所示：设经过x分钟，OB为角平分线，则∠AOB=60゜-6x゜+，∠BOC=30゜－，依题意得：60-6x+＝30－解得x=6；当时针为OC为角平分线时，如图2所示：设经过x分钟，OC为角平分线，则∠AOC=6x゜-90゜，∠BOC=30゜－，依题意得：6x-90＝30－解得x=；综合上述可得：经过6分钟或分钟时，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．故答案为：6或．8．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒(0≤m≤20)，当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝___．【答案】或【详解】平分，，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转，①如图1中，当平分时，解得，②如图2，当平分时，解得故答案为：或9．我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过__________分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°．【答案】或30【详解】解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，分两种情况：如图：此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°，解得x=；如图：此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x，则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，解得x=30；综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，故答案为：或3010．如图，AM、CM平分∠BAD和∠BCD，若∠B＝34°，∠D＝42°，则∠M＝_____．【答案】38°【详解】如下图，设∠MCD=x°，∠MAD=y°∵AM、CM平分∠BAD和∠BCD∴∠BAF=y°，∠MCF=x°∵∠B=34°，∠D=42°∴在△ABF中，∠BFA=180°－34°－y°=146°－y°在△CED中，∠CED=180°－42°－x°=138°－x°∴∠CFM=∠AFB=146°－y°，∠AEM=∠CED=138°－x°∴在△AME中，y°+∠M+138°－x°=180°在△FMC中，x°+146°－y°+∠M=180°约掉x、y得，∠M=38°故答案为：38°11．如图所示：已知，，现有点和点分别从，两点出发相向运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向的运动过程中经过点时，速度变为，，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过____后的距离为．【答案】0.9或1.1或或．【详解】解：设经过t秒后PQ距离为0.5cm，①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，如图1所示：由题意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s，②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，如图2所示：由题意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s，③Q到达A所用时间为5÷3=s，当Q从A返回还未到B时，如图3所示：由题意得：，解得：t=4.5s，但此时AQ= cm>5cm，不符合题意；④当Q从A返回运动并超过B点时，如图4所示：此时Q从B-A-B用时为：s，由题意得：，解得：s；⑤当Q超过P时，如图5所示：由题意得：，解得：s，综上所述，当P、Q相距0.5cm时，经过的时间为0.9s或1.1s或或，故答案为：0.9或1.1或或．12．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．【答案】1或【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4(-t-a)，即：b=-4a，①若点M在点B的右侧时，如图1所示：由AM-BM=OM得，m-a-(m-b)=m，即：m=b-a；∴②若点M在线段BO上时，如图2所示：由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=m，即：m=a+b；∴③若点M在线段OA上时，如图3所示：由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=-m，即：∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；④若点M在点A的左侧时，如图4所示：由AM-BM=OM得，a-m-(b-m)=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，综上所述，的值为1或．13．已知：如图1，，．(1)求的度数；(2)如图2，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当时，试求的值；(3)如图3，若射线从开始绕点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？(请直接写出结果)【答案】(1)120°；(2)5或10或12.5或13.75；(3)60°或120°【解析】解：∠BOC=∠AOC，∠BOC+∠AOB=∠AOC，∴∠AOB=∠AOC，∵∠AOB=30°，∴∠AOC=120°；(2)由(1)知，∠AOC=120°，∠BOC=90°，①OP逆时针运动时，即0≤t≤12时，由OP，OQ的运动可知，∠AOP=10°t，∠BOQ=6°t，OP，OQ相遇前，如图2(1)，∠AOQ=∠AOP+∠POQ=∠AOB+∠BOQ，即10°t+10°=30°+6°t，解得t=5，OP，OQ相遇后，如图2(2)，∠AOP=∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t=30°+6°t+10°，解得t=10；②OP顺时针旋转时，∠COP=10°t-120°，∠BOQ=6°t，OP，OQ相遇前，如图(3)，∠BOC=∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t+10°，解得t=12.5，OP，OQ相遇后，如图(4)，∠BOC=∠COP+∠BOQ-∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t-10°，解得t=13.75，综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，∠POQ=10°．(3)由(1)知∠AOC=120°，根据射线OP的运动，需要分四种情况，①当射线OP与OA重合前，如图3(1)，∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP，∴∠MON=∠POM+∠PON=∠AOP+∠COP=∠AOC=60°；②当射线OP与OA重合后，∠AOP=180°前，如图3(2)，∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP，∴∠MON=∠POM-∠PON=∠AOP-∠COP=∠AOC=60°；③∠CON=180°前，如图3(3)，∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP，∴∠MON=∠POM+∠PON=∠AOP+∠COP=(360°-∠AOC)=120°；④OP与OQ重合前，如图3(4)，∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP，∴∠MON=∠PON-∠POM=∠COP+∠AOP=∠AOC=60°；综上，∠MON的度数为60°或120°．14．已知∠AOB=120°，∠COD=60°．(1)如图1，当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD=95°，求∠BOC的度数；(2)如图2，当射线OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使∠AOE =∠AOC，∠DOF=∠BOD，求∠EOF的度数．【答案】(1)85°(2)与互补，理由见解析(3)当或时，；当时，；当或时，或【解析】(1)解：∵，，∴，∵，∴；(2)与互补；理由如下： ∵，， ∴，∴与互补．(3)解：设，①当时，如图3，，，∵， ∴，∵，∴，∴， ∴；②当时，如图，点在的延长线上，  则，，，  ∴，， 此时与或重合，当与重合时，，当与重合时，，③当时，如图，，，∵，，，∴；④当时，如图，点在的延长线上，则，，∴，此时与或重合，当与重合时，，当与重合时，；⑤当时，如图，，，∵，，，∴，综上：当或时，；当时，；当或时，或．15．如图1，点O在直线上，过点O引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．(1)的度数是___________，图1中与它互补的角是___________．(2)三角尺旋转的度数可表示为___________(用含t的代数式表示)：当___________时，．【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒．(3)当t为何值时，，并说明理由？(4)试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)，秒或秒；(3)4秒或22秒，理由见解析；(4)存在，秒、秒、秒【详解】(1)∵，，∴，与互补的角是，故答案是：，；(2)旋转的速度是每秒，∴旋转的度数表示为，当时，①，∴，，解得，②旋转角为，，解得，故答案是：，或；(3)①如图①当在左侧时，度，度，∵，∴，由题意得，解得， ②如图②当在右侧时，三角尺旋转的角度为度，直尺旋转的角度为度，∵，∴，由题意得，解得，综上所述，当秒或22秒时，；(4)①当在左侧时，(ⅰ)，如图③，，解得；(ⅱ)，如图④，，解得；②当在右侧时，(ⅰ)，如图⑤，，解得；(ⅱ)，因为，所以不存在；∴综上所述，当秒、秒、秒时两个角其中一个是另一个的两倍．