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九年级数学下册同步压轴 专题01 反比例函数K的三种考法（学生版+教师版）11
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这是一份九年级数学下册同步压轴 专题01 反比例函数K的三种考法（学生版+教师版）11，文件包含专题01反比例函数K的三种考法-2023年初中数学9年级下册同步压轴题教师版含解析docx、专题01反比例函数K的三种考法-2023年初中数学9年级下册同步压轴题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
例1．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值是( )
A．－B．－C．－D．－
【答案】A
【详解】解：连接、，
∵四边形是菱形，
∴．
∵菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，
∴与、与关于原点对称，
∴、经过点，
∴．
∵，
∴．
作轴于，轴于，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
例2.如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=( )
A．3B．3C．6D．9
【答案】C
【详解】解：设点坐标为．
轴，，，
，，
，
，．
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【变式训练1】如图，函数的图象过矩形OBCD一边的中点，且图象过矩形OAPE的顶点P，若阴影部分面积为6，则k的值为______．
【答案】6
【详解】解：设函数图象过BC的中点，中点坐标为(m，)，则C(m，)，
∴S阴影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，
∴k=6；
若函数图象过CD的中点，中点坐标为(m，)，则C(2m，)，
∴S阴影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，
∴k=6．
综上，k的值为6．
故答案为：6．
【变式训练2】如图，点，分别在函数与的图象上，线段的中点在轴上．若的面积为，则的值是______．
【答案】4
【详解】解：如图，作轴于，轴于，
设，则，，
线段的中点在轴上，
点的横坐标为，
设，则，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练3】如图，在中，，点A在反比例函数的图像上，点B，C在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于，则的值为______．
【答案】6
【详解】解：如图，连接AO，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠AEC=∠DOC=90°，∠OCD=∠ECA，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，∴，∴，
∵，
∴．故答案为：6．
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴，y轴的正半轴上，双曲线(x＞0)分别与边AB，BC相交于点E，F，且点E，F分别为AB，BC的中点，连接EF．若△BEF的面积为5，则k的值是_____．
【答案】20
【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为(a，b)，
∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，
∴E(a，b)，F(a，b)，
∵E、F在反比例函数的图象上，∴ab＝k，
∵S△BEF＝5，∴×a×b＝5，即ab＝5，
∴ab＝40，∴k＝ab＝20．
故答案为：20．
【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，点A，B是反比例函数(，k为常数)的图像上两点(点A在第一象限，点B在第三象限)，线段交x轴于点C，若，的面积分别为：和，则______________．
【答案】12
【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示：
∵，，∴，
设点A的纵坐标为，则点B的纵坐标为-2m，
∴点A的横坐标为，点B的横坐标为：，
设点C的坐标为：，，则，，
∵，，∴，∴，即，
整理得：，则，∴，解得：．
故答案为：12．
【变式训练6】如图，直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点重合，点为轴上一点，连接，为的中点，反比例函数的图像经过，两点，若平分，的面积为6，则的值为_____________．
【答案】4
【详解】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，为的中点，，
∴MN=ME，
∴FM=AN，
∵A，F在反比例函数的图像上，
∴S△AON=S△FOM=k，
∴•ON•AN=•OM•FM，
∴ON=OM，
∴ON=MN=EM，
∴ME=OE，
∴S△FME=S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ADE=S△AOE，
∴S△AOE=6，
∵AF=EF，
∴S△EOF=S△AOE=3，
∴S△FME=S△EOF=1，
∴S△FOM=S△FOE-S△FME=2=k，
∴k=4．
故答案为：4．
类型二、求面积
例1．在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上如图，若反比例函数y=(x>0)的图象与CD交于点M，与BC交于点N，CM=2DM，连接OM，ON，MN，则( )
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】解：如图，过点M作ME⊥x轴于点E，
∵点M、N是反比例函数y=图象上的点，
∴，
∴，
设点M(t，)，则C(3t，)，E(t，0)，B(3t，0)，N(3t，)，
∴=CM•CN=•2t•(-)=；
=(ME+BN)•BE=(+)•2t=，
∴．
故选：C．
例2．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为( )
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【详解】
作BG丄x轴于G点，
设A(m，)，B(n，)，
由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º，∴∠BCG=45º，∴∠CBG=45º，∴GB=CB=
∵AE丄x轴，∴OE=m，
∵A、B两点都在上，
由k的几何意义可知，S△AOE=S△BOG=，
∵S△OAF+S四边形EFBC=4，
即S△OAE-S△OEF+S△OBG-S△OEF+S△BCG=4，
2-2S△OEF+2+S△BCG=4，∴S△BCG=2S△OEF，
由轴，BG丄x轴，得AE∥BG，
∴△OEF∽△OGB，∴，∴，∴，
∴，
∴，得 ， ，
∵m＞0，∴ ，
故选B．
例3．如图，四边形OABC为平行四边形，A在x轴上，且∠AOC＝60°，反比例函数(k＞0)在第一象限内过点C，且与AB交于点E．若E为AB的中点，且S△OCE＝8，则OC的长为( )
A．8B．4C．D．
【答案】D
【详解】过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，如图，
∵四边形OABC为平行四边形，∴OC=AB，，∴∠EAF=∠AOC=60°，
∵在Rt△COD中，∠DOC=60°，∴∠DCO=30°，
设OD=t，∴CD=，OC=AB=2t，
∵在Rt△EAF中，∠EAF=60°，AE=AB=t，∴AF=t，EF=AF=，
∵点C与点E都在反比例函数的图像上，∴OD×CD=OF×EF，
∴，∴OA=OF-EF=2t-t=t，
∵平行四边形OABC的面积为，∴，，
解得，(负值舍去)，∴OC=2t=，
故选：D．
【变式训练1】如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，OE，若，则△ADE的面积为( )
A．B．C．8D．
【答案】B
【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数(k＞0)的图象交于A、B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
设点A(m，)，
∵AD＝2DC，DH∥AF，∴3DH＝AF，∴D(3m，)，
∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴S△HDC＝S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝×4+(DH+AF)×FH+S△HDC＝×4+××2m+××2m＝8，
∵AD＝2DC，∴△ADE的面积为，
故选：B．
【变式训练2】如图平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的交点，且与边交于点，点的坐标为，则的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形OBCD是菱形，
∴OA＝AC，
∵C(8，4)，
∴A(4，2)，
把点A(4，2)代入，反比例函数y＝(x＞0)得，，解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，
在Rt△CNB中，x2﹣(8﹣x)2＝42，
解得：x＝5，
∴点B的坐标为B(5，0)，
设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B(5，0)，C(8，4)，
∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
联立方程组得，解得：或，
∴点F的坐标为F(6，)，
作FH⊥x轴于H，连接OF，
∴S△OBF＝OB•FH＝×5×＝，
故选：A．
【变式训练3】如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，，分别交轴于点、F，则阴影部分的面积为( )
A．3B．5C．6D．9
【答案】B
【详解】解：设点A的坐标为(a，)，a＞0．则OD＝a，OE＝．
∴点B的纵坐标为．∴点B的横坐标为﹣．∴OC＝．∴BE＝．
∵AB∥CD，∴，∴＝．
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝．
∴＝1．
＝4．
∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．
故选：B．
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点A在反比例函数的图像上，顶点B在反比例函数的图像上，顶点C在x轴的正半轴上，则的面积是______________．
【答案】
【详解】解：延长交轴于点，过点作轴于点，轴于点，
的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，
，，，
在平行四边形中，，，故答案为：6．
【变式训练5】如图，点M在函数(x＞0)的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数(x＞0)的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为_________．
【答案】2.1
【详解】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，
∵MB∥x轴，MC∥y轴，∴MB⊥y轴，MC⊥x轴，∴∠MEO=∠MDO=90°，
∵∠EOD=90°，∴四边形EODM是矩形，
设，则，，
∴=2.1．
故答案为：2.1．
【变式训练6】如图，分别位于反比例函数，在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且．过点A作x轴的平行线交的图象于点C，连接BC，则的面积为________．
【答案】8
【详解】作AE，BF分别垂直于x轴，垂足为E，F，
∴AE∥BF，
∴△AOE∽△BOF，
∴＝＝＝.
由点A在函数y＝的图象上，
设A的坐标是，
∴＝＝，＝＝，
∴OF＝3m，BF＝，
即B的坐标是.
又点B在y＝的图象上，
∴＝，解得k＝9，
则反比例函数y＝的表达式是y＝.
∵A，B，
又已知过A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，
∴C的纵坐标是.
把y＝代入y＝得x＝9m，∴C的坐标是，∴AC＝9m－m＝8m.
∴S△ABC＝×8m×＝8，
故答案为：8
【变式训练7】如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为2，4，6，8，…分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，则_______，_______(用含的代数式表示，为正整数)．
【答案】 7.5
【详解】解：∵在反比例函数的图象上，有点P1，它的横坐标为2，
∴当x=2时，y=5，∴点P1的坐标为(2，5)．
由题意，可知点P2、P3、P4坐标分别为：(4，)，(6，)，(8，)，
∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴阴影部分的面积和S1+S2+S3=2×5-2×=7.5．
∴S1+S2+S3+…+Sn=故答案为 7.5，．
类型三、求点的坐标
例1．如图，平行四边形的项点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是6，则点的坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵点D(2，1)在反比例函数上，
∴k=2×1=2，∴反比例函数解析式为：，
设直线OB的函数解析式为y=mx，∵点D(2，1)在对角线OB上，
∴2m=1，即，∴OB的解析式为：,
∵点C在反比例函数图象上，∴设点C坐标为(a，)，
∵四边形OABC为平行四边形，∴BCOA，∴点B的纵坐标为，
将y=代入，解得：x=，
∴点B坐标为(，)，∴BC=，
∵平行四边形OABC的面积是6，
∴()×=6，解得：a=1或a=-1(舍去)，
∴，，∴点B坐标为：，
故选：B．
例2．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为( )
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【详解】
作BG丄x轴于G点，设A(m，)，B(n，)，
由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º，
∴∠BCG=45º，∴∠CBG=45º，∴GB=CB=
∵AE丄x轴，∴OE=m，
∵A、B两点都在上，
由k的几何意义可知S△AOE=S△BOG=，
∵S△OAF+S四边形EFBC=4，
即S△OAE-S△OEF+S△OBG-S△OEF+S△BCG=4，
2-2S△OEF+2+S△BCG=4，∴S△BCG=2S△OEF，
由轴，BG丄x轴，得AE∥BG，
∴△OEF∽△OGB，
∴，∴，
∴，∴，
∴，得 ， ，
∵m＞0，∴ ，
故选B．
例3．如图，点A，D分别在函数和的图象上，点B，C在x轴上，若四边形为正方形，点D在第一象限，则D的坐标是__________．
【答案】(，4)
【详解】如图，设AD与y轴交于点P，
根据反比例函数k的几何意义可知:，
∴．
∵，
∴，
∴．
将代入，得，
解得：，
∴D(，4)．
【变式训练1】如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D在反比例函数图象上，且EDOB，则点E的坐标是_______．
【答案】(2，4)
【详解】解：连接OE，
∵反比例函数的图象与AB、BC分别交于点E、F，
∴，
设D(m，n)
∵矩形对角线的交点D在反比例函数的图象上，∴mn=，n=，
∵矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，
∴B(2m，2n)，∴A=2n，AB=2m，
∴，∴AE=，
∴BE，E(，)，∴OA=，
∵OD=BD，EDOB，∴OE=BE=，
在RtAOE中，，
∴
整理得
∵m0，∴m=4，∴E(2，4)，
故答案为：(2，4)．
【变式训练2】如图，点A在函数的图像上，点B，C在函数的图像上，若AC∥y轴，AB∥x轴，且AB＝AC，则BC＝________．
【答案】
【详解】解：延长CA、BA交坐标轴于F、E，作CD⊥y轴于D，BG⊥x轴于G，
设A(m，n)，
∵点A在函数的图像上，点B、C在函数的图像上，AC∥y轴，AB∥x轴，
∴S四边形CDOF=S四边形BEOG=18，mn=12，
∴S四边形AEDC=S四边形ABGF，∴AC•m=AB•n，
∵AB=AC，∴m=n，∴n•n=12，∴，∴，∴C点的横坐标为，∴，
∴，∴，∴，∴，
∴，故答案为：．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝(k≠0)的图象恰好过MN的中点，则k的值为 _____，点C'的坐标为 _____．
【答案】 ##
【详解】解：如图所示，连接OB交MN于Q，
由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，
∵四边形OABC是矩形，
∴，
∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，
又∵BQ=OQ，
∴△BMQ≌△ONQ(AAS)，
∴QM=QN，即点Q为OB的中点，
过点Q作QH⊥x轴于H，
∴，
∴△OHQ∽△OCB，
∴，
∵四边形OABC是矩形，
∴，
∵Q在反比例函数图象上，
∴；
过点作轴于G，
∵点M在反比例函数图象上，
∴，
又∵，
∴，
设AM=a，则BM=OM=3a，
∴，
∴，
解得(负值已经舍去)，
∴AB=OC=2，，
∵QM=QG，OQ=BQ，
∴四边形OMBN是平行四边形，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴点C的坐标为
故答案为：，．
【变式训练4】如图，已知直线y＝kx＋b与函数y＝(x＞0)的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为，则m的值为___．
【答案】27
【详解】过点A作AF⊥y轴于点F，连接AE，如图
∵AC⊥x轴，FO⊥OC
∴四边形ACOF是矩形
∵点D是AB的中点
∴CD、ED分别是△ABC、△ABE的边AB上的中线，∴，
∴，即
∵，，∴
∴根据反比例函数解析式中k的几何意义知，
∵反比例函数的图象在第一象限，∴m=27
故答案为：27．
【变式训练5】如图，直线与双曲线相交于A，B两点．平行四边形OCDE的顶点C在双曲线上，点E在x轴上且DE过点A，连接BC ．若的面积为5，则D点坐标为_______．
【答案】(，)
【详解】解：令，
解得：，
结合图像有A(-4,3)，B(4,-3)
根据反比例函数的对称性，有,
∴根据面积公式：，，
设D为(m，n)，则C(，n)，
又∵，∴E(，0)，
分别过C、B作垂直于坐标轴的垂线交于M如图示，
解得(舍)
又，
故答案为：(，)
例1．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值是( )
A．－B．－C．－D．－
【答案】A
【详解】解：连接、，
∵四边形是菱形，
∴．
∵菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，
∴与、与关于原点对称，
∴、经过点，
∴．
∵，
∴．
作轴于，轴于，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
例2.如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=( )
A．3B．3C．6D．9
【答案】C
【详解】解：设点坐标为．
轴，，，
，，
，
，．
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【变式训练1】如图，函数的图象过矩形OBCD一边的中点，且图象过矩形OAPE的顶点P，若阴影部分面积为6，则k的值为______．
【答案】6
【详解】解：设函数图象过BC的中点，中点坐标为(m，)，则C(m，)，
∴S阴影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，
∴k=6；
若函数图象过CD的中点，中点坐标为(m，)，则C(2m，)，
∴S阴影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，
∴k=6．
综上，k的值为6．
故答案为：6．
【变式训练2】如图，点，分别在函数与的图象上，线段的中点在轴上．若的面积为，则的值是______．
【答案】4
【详解】解：如图，作轴于，轴于，
设，则，，
线段的中点在轴上，
点的横坐标为，
设，则，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练3】如图，在中，，点A在反比例函数的图像上，点B，C在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于，则的值为______．
【答案】6
【详解】解：如图，连接AO，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠AEC=∠DOC=90°，∠OCD=∠ECA，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，∴，∴，
∵，
∴．故答案为：6．
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴，y轴的正半轴上，双曲线(x＞0)分别与边AB，BC相交于点E，F，且点E，F分别为AB，BC的中点，连接EF．若△BEF的面积为5，则k的值是_____．
【答案】20
【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为(a，b)，
∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，
∴E(a，b)，F(a，b)，
∵E、F在反比例函数的图象上，∴ab＝k，
∵S△BEF＝5，∴×a×b＝5，即ab＝5，
∴ab＝40，∴k＝ab＝20．
故答案为：20．
【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，点A，B是反比例函数(，k为常数)的图像上两点(点A在第一象限，点B在第三象限)，线段交x轴于点C，若，的面积分别为：和，则______________．
【答案】12
【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示：
∵，，∴，
设点A的纵坐标为，则点B的纵坐标为-2m，
∴点A的横坐标为，点B的横坐标为：，
设点C的坐标为：，，则，，
∵，，∴，∴，即，
整理得：，则，∴，解得：．
故答案为：12．
【变式训练6】如图，直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点重合，点为轴上一点，连接，为的中点，反比例函数的图像经过，两点，若平分，的面积为6，则的值为_____________．
【答案】4
【详解】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，为的中点，，
∴MN=ME，
∴FM=AN，
∵A，F在反比例函数的图像上，
∴S△AON=S△FOM=k，
∴•ON•AN=•OM•FM，
∴ON=OM，
∴ON=MN=EM，
∴ME=OE，
∴S△FME=S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ADE=S△AOE，
∴S△AOE=6，
∵AF=EF，
∴S△EOF=S△AOE=3，
∴S△FME=S△EOF=1，
∴S△FOM=S△FOE-S△FME=2=k，
∴k=4．
故答案为：4．
类型二、求面积
例1．在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上如图，若反比例函数y=(x>0)的图象与CD交于点M，与BC交于点N，CM=2DM，连接OM，ON，MN，则( )
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】解：如图，过点M作ME⊥x轴于点E，
∵点M、N是反比例函数y=图象上的点，
∴，
∴，
设点M(t，)，则C(3t，)，E(t，0)，B(3t，0)，N(3t，)，
∴=CM•CN=•2t•(-)=；
=(ME+BN)•BE=(+)•2t=，
∴．
故选：C．
例2．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为( )
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【详解】
作BG丄x轴于G点，
设A(m，)，B(n，)，
由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º，∴∠BCG=45º，∴∠CBG=45º，∴GB=CB=
∵AE丄x轴，∴OE=m，
∵A、B两点都在上，
由k的几何意义可知，S△AOE=S△BOG=，
∵S△OAF+S四边形EFBC=4，
即S△OAE-S△OEF+S△OBG-S△OEF+S△BCG=4，
2-2S△OEF+2+S△BCG=4，∴S△BCG=2S△OEF，
由轴，BG丄x轴，得AE∥BG，
∴△OEF∽△OGB，∴，∴，∴，
∴，
∴，得 ， ，
∵m＞0，∴ ，
故选B．
例3．如图，四边形OABC为平行四边形，A在x轴上，且∠AOC＝60°，反比例函数(k＞0)在第一象限内过点C，且与AB交于点E．若E为AB的中点，且S△OCE＝8，则OC的长为( )
A．8B．4C．D．
【答案】D
【详解】过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，如图，
∵四边形OABC为平行四边形，∴OC=AB，，∴∠EAF=∠AOC=60°，
∵在Rt△COD中，∠DOC=60°，∴∠DCO=30°，
设OD=t，∴CD=，OC=AB=2t，
∵在Rt△EAF中，∠EAF=60°，AE=AB=t，∴AF=t，EF=AF=，
∵点C与点E都在反比例函数的图像上，∴OD×CD=OF×EF，
∴，∴OA=OF-EF=2t-t=t，
∵平行四边形OABC的面积为，∴，，
解得，(负值舍去)，∴OC=2t=，
故选：D．
【变式训练1】如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，OE，若，则△ADE的面积为( )
A．B．C．8D．
【答案】B
【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数(k＞0)的图象交于A、B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
设点A(m，)，
∵AD＝2DC，DH∥AF，∴3DH＝AF，∴D(3m，)，
∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴S△HDC＝S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝×4+(DH+AF)×FH+S△HDC＝×4+××2m+××2m＝8，
∵AD＝2DC，∴△ADE的面积为，
故选：B．
【变式训练2】如图平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的交点，且与边交于点，点的坐标为，则的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形OBCD是菱形，
∴OA＝AC，
∵C(8，4)，
∴A(4，2)，
把点A(4，2)代入，反比例函数y＝(x＞0)得，，解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，
在Rt△CNB中，x2﹣(8﹣x)2＝42，
解得：x＝5，
∴点B的坐标为B(5，0)，
设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B(5，0)，C(8，4)，
∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
联立方程组得，解得：或，
∴点F的坐标为F(6，)，
作FH⊥x轴于H，连接OF，
∴S△OBF＝OB•FH＝×5×＝，
故选：A．
【变式训练3】如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，，分别交轴于点、F，则阴影部分的面积为( )
A．3B．5C．6D．9
【答案】B
【详解】解：设点A的坐标为(a，)，a＞0．则OD＝a，OE＝．
∴点B的纵坐标为．∴点B的横坐标为﹣．∴OC＝．∴BE＝．
∵AB∥CD，∴，∴＝．
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝．
∴＝1．
＝4．
∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．
故选：B．
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点A在反比例函数的图像上，顶点B在反比例函数的图像上，顶点C在x轴的正半轴上，则的面积是______________．
【答案】
【详解】解：延长交轴于点，过点作轴于点，轴于点，
的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，
，，，
在平行四边形中，，，故答案为：6．
【变式训练5】如图，点M在函数(x＞0)的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数(x＞0)的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为_________．
【答案】2.1
【详解】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，
∵MB∥x轴，MC∥y轴，∴MB⊥y轴，MC⊥x轴，∴∠MEO=∠MDO=90°，
∵∠EOD=90°，∴四边形EODM是矩形，
设，则，，
∴=2.1．
故答案为：2.1．
【变式训练6】如图，分别位于反比例函数，在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且．过点A作x轴的平行线交的图象于点C，连接BC，则的面积为________．
【答案】8
【详解】作AE，BF分别垂直于x轴，垂足为E，F，
∴AE∥BF，
∴△AOE∽△BOF，
∴＝＝＝.
由点A在函数y＝的图象上，
设A的坐标是，
∴＝＝，＝＝，
∴OF＝3m，BF＝，
即B的坐标是.
又点B在y＝的图象上，
∴＝，解得k＝9，
则反比例函数y＝的表达式是y＝.
∵A，B，
又已知过A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，
∴C的纵坐标是.
把y＝代入y＝得x＝9m，∴C的坐标是，∴AC＝9m－m＝8m.
∴S△ABC＝×8m×＝8，
故答案为：8
【变式训练7】如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为2，4，6，8，…分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，则_______，_______(用含的代数式表示，为正整数)．
【答案】 7.5
【详解】解：∵在反比例函数的图象上，有点P1，它的横坐标为2，
∴当x=2时，y=5，∴点P1的坐标为(2，5)．
由题意，可知点P2、P3、P4坐标分别为：(4，)，(6，)，(8，)，
∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴阴影部分的面积和S1+S2+S3=2×5-2×=7.5．
∴S1+S2+S3+…+Sn=故答案为 7.5，．
类型三、求点的坐标
例1．如图，平行四边形的项点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是6，则点的坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵点D(2，1)在反比例函数上，
∴k=2×1=2，∴反比例函数解析式为：，
设直线OB的函数解析式为y=mx，∵点D(2，1)在对角线OB上，
∴2m=1，即，∴OB的解析式为：,
∵点C在反比例函数图象上，∴设点C坐标为(a，)，
∵四边形OABC为平行四边形，∴BCOA，∴点B的纵坐标为，
将y=代入，解得：x=，
∴点B坐标为(，)，∴BC=，
∵平行四边形OABC的面积是6，
∴()×=6，解得：a=1或a=-1(舍去)，
∴，，∴点B坐标为：，
故选：B．
例2．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为( )
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【详解】
作BG丄x轴于G点，设A(m，)，B(n，)，
由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º，
∴∠BCG=45º，∴∠CBG=45º，∴GB=CB=
∵AE丄x轴，∴OE=m，
∵A、B两点都在上，
由k的几何意义可知S△AOE=S△BOG=，
∵S△OAF+S四边形EFBC=4，
即S△OAE-S△OEF+S△OBG-S△OEF+S△BCG=4，
2-2S△OEF+2+S△BCG=4，∴S△BCG=2S△OEF，
由轴，BG丄x轴，得AE∥BG，
∴△OEF∽△OGB，
∴，∴，
∴，∴，
∴，得 ， ，
∵m＞0，∴ ，
故选B．
例3．如图，点A，D分别在函数和的图象上，点B，C在x轴上，若四边形为正方形，点D在第一象限，则D的坐标是__________．
【答案】(，4)
【详解】如图，设AD与y轴交于点P，
根据反比例函数k的几何意义可知:，
∴．
∵，
∴，
∴．
将代入，得，
解得：，
∴D(，4)．
【变式训练1】如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D在反比例函数图象上，且EDOB，则点E的坐标是_______．
【答案】(2，4)
【详解】解：连接OE，
∵反比例函数的图象与AB、BC分别交于点E、F，
∴，
设D(m，n)
∵矩形对角线的交点D在反比例函数的图象上，∴mn=，n=，
∵矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，
∴B(2m，2n)，∴A=2n，AB=2m，
∴，∴AE=，
∴BE，E(，)，∴OA=，
∵OD=BD，EDOB，∴OE=BE=，
在RtAOE中，，
∴
整理得
∵m0，∴m=4，∴E(2，4)，
故答案为：(2，4)．
【变式训练2】如图，点A在函数的图像上，点B，C在函数的图像上，若AC∥y轴，AB∥x轴，且AB＝AC，则BC＝________．
【答案】
【详解】解：延长CA、BA交坐标轴于F、E，作CD⊥y轴于D，BG⊥x轴于G，
设A(m，n)，
∵点A在函数的图像上，点B、C在函数的图像上，AC∥y轴，AB∥x轴，
∴S四边形CDOF=S四边形BEOG=18，mn=12，
∴S四边形AEDC=S四边形ABGF，∴AC•m=AB•n，
∵AB=AC，∴m=n，∴n•n=12，∴，∴，∴C点的横坐标为，∴，
∴，∴，∴，∴，
∴，故答案为：．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝(k≠0)的图象恰好过MN的中点，则k的值为 _____，点C'的坐标为 _____．
【答案】 ##
【详解】解：如图所示，连接OB交MN于Q，
由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，
∵四边形OABC是矩形，
∴，
∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，
又∵BQ=OQ，
∴△BMQ≌△ONQ(AAS)，
∴QM=QN，即点Q为OB的中点，
过点Q作QH⊥x轴于H，
∴，
∴△OHQ∽△OCB，
∴，
∵四边形OABC是矩形，
∴，
∵Q在反比例函数图象上，
∴；
过点作轴于G，
∵点M在反比例函数图象上，
∴，
又∵，
∴，
设AM=a，则BM=OM=3a，
∴，
∴，
解得(负值已经舍去)，
∴AB=OC=2，，
∵QM=QG，OQ=BQ，
∴四边形OMBN是平行四边形，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴点C的坐标为
故答案为：，．
【变式训练4】如图，已知直线y＝kx＋b与函数y＝(x＞0)的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为，则m的值为___．
【答案】27
【详解】过点A作AF⊥y轴于点F，连接AE，如图
∵AC⊥x轴，FO⊥OC
∴四边形ACOF是矩形
∵点D是AB的中点
∴CD、ED分别是△ABC、△ABE的边AB上的中线，∴，
∴，即
∵，，∴
∴根据反比例函数解析式中k的几何意义知，
∵反比例函数的图象在第一象限，∴m=27
故答案为：27．
【变式训练5】如图，直线与双曲线相交于A，B两点．平行四边形OCDE的顶点C在双曲线上，点E在x轴上且DE过点A，连接BC ．若的面积为5，则D点坐标为_______．
【答案】(，)
【详解】解：令，
解得：，
结合图像有A(-4,3)，B(4,-3)
根据反比例函数的对称性，有,
∴根据面积公式：，，
设D为(m，n)，则C(，n)，
又∵，∴E(，0)，
分别过C、B作垂直于坐标轴的垂线交于M如图示，
解得(舍)
又，
故答案为：(，)
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