八年级上数学寒假作业 (18)

这是一份八年级上数学寒假作业 (18)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列以数学家名字命名的图案中，不属于轴对称图形的是（ ）

A. 笛卡尔心形线B. 谢尔斯宾斯三角C. 卡西尼卵形线D. 阿基米德螺线
2. 如图所示，中AC边上的高线是（ ）
A. 线段HAB. 线段BHC. 线段BCD. 线段BA
3. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
4. 科学家使用某技术测定细菌蛋白结构分辨率达到纳米，也就是米．用科学记数法表示数据，其结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解是（ ）．
A B. C. D.
6. 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画出射线，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是（ ）
A. B.
C. D.
8. 下列各式的运算或变形中，用到交换律的是（ ）
A. B.
C. 由得D.
9. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，，D是斜边上的动点，E是边上的动点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 110分）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若分式有意义，则取值范围是______．
12. 点M (3，−1)关于y轴的对称点的坐标为__________．
13. 计算：______．
14. 计算：______．
15. 已知中，，，现有以下这些条件：①；②；③；④．要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是______（写出所有正确结论的序号）
16. 如图，在等腰中，，为上一点，且，若，，则的长是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
18. 如图，在中，是边上的中线，分别过点，作射线的垂线，垂足为，，求证：．
19 解方程:
20. 仅使用无刻度直尺，在下列网格中，画出的角平分线．
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 已知，的垂直平分线与的角平分线交于点，过点作交的延长线于点，于点，求证：．
23. 一道愚弄到爱因斯坦的数学题：一辆旧汽车要走的山路，上山和下山各，上山的平均速度为，
（1）若下山的平均速度为，则上山的时间为______，下山的时间为______；
（2）在（1）的条件下，求该汽车走完这段山路的平均速度；
（3）该汽车走完这段山路的平均速度能否达到？请说明你的理由．
24. 定义为一组有理组，组和为，组分为，例如：为一组有理组，组和为，组分为，
（1）若有理组的组和与组分相等，求；
（2）比较有理组的组和与组分的大小，并说明理由．
25. 在中，，点在边上，，点在线段上，．
（1）如图，若点与点重合，则______；
（2）如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系；
（3）在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由．
八年级上数学寒假作业
（全卷共6页，25小题；满分：150分；完卷时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列以数学家名字命名的图案中，不属于轴对称图形的是（ ）

A. 笛卡尔心形线B. 谢尔斯宾斯三角C. 卡西尼卵形线D. 阿基米德螺线
【答案】D
【解析】
【详解】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，掌握基本概念是解题的关键．
2. 如图所示，中AC边上的高线是（ ）
A. 线段HAB. 线段BHC. 线段BCD. 线段BA
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的高的定义即可得．
【详解】解：由图可知，，
则中边上的高线是线段，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的高，熟记定义是解题关键．
3. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由分子为0，列一元一次方程即可求解．
【详解】解：由题意，得x+2=0，且
解得x=2，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题
4. 科学家使用某技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到纳米，也就是米．用科学记数法表示数据，其结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：．
故选：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
5. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据完全平方式的特征进行因式分解，判断即可.
【详解】A. ，能用完全平方公式进行因式分解，故选项A正确；
B. ，不能用完全平方公式进行因式分解，故选项B错误；
C. ，不能用完全平方公式进行因式分解，故选项C错误；
D. ，不能用完全平方公式进行因式分解，故选项D错误.
故选：A
【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，掌握用完全平方公式进行因式分解的方法是解题的关键.
6. 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画出射线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，可知，，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，可知，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
根据作图可知，，
∴是等边三角形，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查尺规作图等边三角形，理解作图过程中线段的数量关系，等边三角形的性质是解题的关键．
7. 如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别用代数式表示两个图中阴影部分的面积即可．
【详解】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
右图，拼成长为，宽为长方形，因此面积为，
由两个图形中阴影部分的面积相等可得，，
故选：．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．
8. 下列各式的运算或变形中，用到交换律的是（ ）
A. B.
C. 由得D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别对各选项进行分析即可．
【详解】解：A、利用了同底数幂的乘法运算法则，不符合题意；
B、利用了积的乘方运算法则，不符合题意；
C、利用了交换律，符合题意；
D、利用了同类项合并法则，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题涉及了各项运算中的法则和定律．熟记相关法则和定律即可．
9. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，可得，，再代入约分即可求解．
【详解】解：，
，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例线段，关键得到，．
10. 如图，在中，，，，D是斜边上的动点，E是边上的动点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作点关于的对称点，作交于点，连接,可得，．可推出当时，有最小值．根据即可求解．
【详解】解：作点关于的对称点，作交于点，连接,

则，
∴，
故当时，有最小值
∵
∴
即：的最小值是
故选：B
【点睛】本题考查了线段和的最值问题，正确作出辅助线是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题 110分）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若分式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不等于即可得出答案．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
12. 点M (3，−1)关于y轴的对称点的坐标为__________．
【答案】（-3，-1）
【解析】
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点M（3，-1）关于y轴的对称点的坐标是（-3，-1），
故答案为：（-3，-1）．
【点睛】本题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．
13. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的乘方运算即可求出答案．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的乘方运算，解题的关键是熟练运用幂的乘方运算，本题属于基础题型．
14. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用整式的乘法法则计算，再合并同类项即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握多项式乘多项式、完全平方公式、合并同类项法则是解决本题的关键．
15. 已知中，，，现有以下这些条件：①；②；③；④．要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是______（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法可得此题结果．
【详解】解：边是的对边，
当，时，再知道或的度数，根据就可确定的形状和大小，
，，
或必须小于，
要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形判定和三角形内角和定理的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
16. 如图，在等腰中，，为上一点，且，若，，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于，根据含度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【详解】解：过点作于，
，
，
，
，
，
在等腰中，，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了含度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握含度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式，进行分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：

．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18. 如图，在中，是边上的中线，分别过点，作射线的垂线，垂足为，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】已知，，根据证≌，根据全等三角形的性质推出即可．
【详解】证明：，，
，
又为边上的中线，
，
在和中
，
≌，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点．
19. 解方程:
【答案】x=2
【解析】
【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行计算即可.
【详解】方程两边乘以2（3x-1）
整理得，9x-5=13,
解得x=2
经检验x=2是原分式方程的解.
【点睛】本题考查解分式方程.按照步骤正确计算是关键.
20. 仅使用无刻度直尺，在下列网格中，画出的角平分线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据等腰三角形的三线合一性质进行解答便可．
【详解】解：连接，可知点是的中点，，作射线，则就是所要求作的的角平分线．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是应用等腰三角形的三线合一性质解决问题，属于中考常考题型．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：


，
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22. 已知，的垂直平分线与的角平分线交于点，过点作交的延长线于点，于点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】如图，连接，利用证明≌，可得结论．
【详解】证明：如图，连接，．

平分，，，
，
点在的垂直平分线上，
，
在和中，
，
∴≌，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23. 一道愚弄到爱因斯坦的数学题：一辆旧汽车要走的山路，上山和下山各，上山的平均速度为，
（1）若下山的平均速度为，则上山的时间为______，下山的时间为______；
（2）在（1）的条件下，求该汽车走完这段山路的平均速度；
（3）该汽车走完这段山路的平均速度能否达到？请说明你的理由．
【答案】（1），
（2）
（3）该汽车走完这段山路的平均速度不能达到，理由见解析
【解析】
【分析】（1）用汽车行驶的距离除以平均速度得汽车上山的时间，下山的时间；
（2）设该汽车走完这段山路的平均速度是，可列方程，解方程求出的值即可；
（3），假设汽车走完这段山路平均速度是，设下山的平均速度为，根据路程相等列出方程，此方程无解，可得结论．
【小问1详解】
根据题意得，上山的时间为，下山的时间为，
故答案为：，；
【小问2详解】
设该汽车走完这段山路的平均速度是，根据题意，得，
解得，
答：该汽车走完这段山路的平均速度是；
【小问3详解】
该汽车走完这段山路的平均速度不能达到，
理由：假设汽车走完这段山路的平均速度是，设下山的平均速度为，根据题意得，
此方程无解.
所以该汽车走完这段山路的平均速度不能达到．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示汽车行驶的距离是解题的关键．
24. 定义为一组有理组，组和为，组分为，例如：为一组有理组，组和为，组分为，
（1）若有理组的组和与组分相等，求；
（2）比较有理组的组和与组分的大小，并说明理由．
【答案】（1）或
（2）有理组的组和大于组分，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由“组和与组分相等”列方程，解方程即可得到答案；
（2）用比差法可得答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：
，
解得或，
经检验，或都是原方程的解，
或；
【小问2详解】
解：，
且，，
，
有理组的组和大于组分．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及分式方程，新定义等知识，解题的关键是读懂题意，用比差法解决问题．
25. 在中，，点在边上，，点在线段上，．
（1）如图，若点与点重合，则______；
（2）如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系；
（3）在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由．
【答案】（1）
（2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据题意求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到，进而证明结论；
（3）在上截取，连接，证明≌，根据求等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，进而得出结论．
小问1详解】
解：在中，，，
则，
，，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
理由如下：，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
理由如下：如图，在上截取，连接，
则，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的外角，
，
，
．