八年级上数学寒假作业 (25)

这是一份八年级上数学寒假作业 (25)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下面图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 是大气压中直径小于或等于颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
4. 如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）
A. AB = CDB. ∠B = ∠DC. AD = CBD. ∠BAC = ∠DCA
5. 下列不能用平方差公式直接计算的是（ ）
A. B.
C D.
6. 某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的．现若由建筑二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若一个正多边形的各个内角都是140°，则这个正多边形是（ ）
A. 正七边形B. 正八边形C. 正九边形D. 正十边形
8. 下列各式从左到右，是分解因式的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，，线段，，分别是的高，中线，角平分线，则点，，的位置关系为（ ）
A. 点总点，之间B. 点总在点，之间
C. 点总在点，之间D. 三者的位置关系不确定
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 要使分式有意义，则x的取值范围为_____．
12. 计算: _________．
13. 若，则_________．
14. 等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为___________．
15. 如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）
①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．
三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16. 解分式方程：．
17. 如图，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
18. 先化简，再求值：，其中．
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，和相交于点，，．求证：．
20. 2020年初，为应对突如其来的“新冠肺炎”，某药店用3000元购进了第一批口罩，上市后很快售完，接着又用9000元购进第二批口罩，已知第二批所购口罩的进价比第一批每盒多20元，且数量是第一批的1.5倍．问第二批口罩每盒的进价是多少元？
21. 如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，连接AC．
（1）尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在（1）的基础上，若AC⊥BC，求证：DE＝2BC．
五、解答题（三）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 阅读：因为（x+3）（x-2）=x2+x-6，说明x2+x-6有一个因式是x-2；当因式x-2=0，那么多项式x2+x-6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x= ，A=0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x-2，面积为x2+kx-14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器长为（x+2），宽为（x-1），体积为4x3+ax2-7x+b，试求a，b的值．
23. △ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．
（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝ ．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若BP＝10，CP＝m，求CA′的长．（用含m的式子表示）
八年级上数学寒假作业
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下面图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念对各选项进行一一判断即可，
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据积的乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：
故答案为B．
【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，掌握并灵活运用积的乘方的运算法则是解答本题的关键．
3. 是大气压中直径小于或等于的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将0.0000025用科学记数法表示为，
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）
A. AB = CDB. ∠B = ∠DC. AD = CBD. ∠BAC = ∠DCA
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质可知，再由AC为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC≌△CDA，可添加AD=CB即可．
【详解】∵AD∥BC，
∴．
∵AC为公共边，
∴只需AD=CB，即可利用“边角边”证明△ABC≌△CDA．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键．
5. 下列不能用平方差公式直接计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方差公式逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，不符合平方差公式，符合题意，
B. ，符合平方差公式，不符合题意，
C. ，符合平方差公式，不符合题意，
D. ，符合平方差公式，不符合题意，
故选：A.
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
6. 某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的．现若由建筑二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一对和二队工作效率之和乘以30天等于列方程即可．
【详解】解：∵由建筑一队施工，那么180天可盖成，
∴一队的工作效率是．
∵由建筑二队单独施工，则需要天完成，
∴二队的工作效率是．
∵由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
7. 若一个正多边形的各个内角都是140°，则这个正多边形是（ ）
A. 正七边形B. 正八边形C. 正九边形D. 正十边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式进行求解即可．
【详解】解；设这个正多边形的边数为n，
由题意得，
解得，
∴这个正多边形为正九边形，
故选C．
【点睛】本题主要考查了正多边形内角和问题，熟知正n边形的内角和为是解题的关键．
8. 下列各式从左到右，是分解因式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式积的形式的定义，利用排除法求解．
【详解】解：A．结果不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
B．结果不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
C．不是对多项式变形，故本选项错误，不符合题意；
D．运用完全平方公式分解，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式．
9. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：点关于轴的对称点是．
故选A．
【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．
10. 在中，，线段，，分别是的高，中线，角平分线，则点，，的位置关系为（ ）
A. 点总在点，之间B. 点总在点，之间
C. 点总在点，之间D. 三者的位置关系不确定
【答案】C
【解析】
【分析】延长至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的高、中线、角平分线的定义可得∠CAD>∠CAF>∠CAH，即可完成解答．
【详解】假设，如图所示，延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
∵∠CAH+∠BAE=∠BAC
∴∠BAC>2∠CAH
∵AF平分∠BAC
∴
∴
∵AB∴∠B>∠ACB
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°
∴∠B+∠ACB+∠BAC=180°>2∠ACB+∠BAC
∴
∴∠CAF<90°−∠ACB
∵AD⊥BC
∴∠CAD=90°−∠ACB>∠CAF
即∠CAD>∠CAF>∠CAH
∴点总在点，之间，
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 要使分式有意义，则x的取值范围为_____．
【答案】x≠﹣2
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，解这个不等式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2，
故答案为x≠﹣2．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为0．
12 计算: _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据单项式除以单项式法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13. 若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】先运用公式法因式分解得出，再把代入即可
【详解】解：∵，
∴
故答案为：1
【点睛】本题考查了公式法因式分解以及求代数式的值，解题的关键是整体代入的思想和完全公式．
14. 等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分的内角是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：当的内角是等腰三角形的底角时，
它的顶角的度数为：；
当的内角是等腰三角形的顶角时，
它底角的度数为：，符合要求；
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．
15. 如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）
①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据已知∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CBE，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．
【详解】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵FB＝BC，BD⊥AC，
∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，
∵∠DBC＝∠ABE，
∴∠FBC＝∠ABE，
∴∠FBA＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴△FAB≌△CBE（SAS），
∴∠F＝∠BCE，
∵BF＝BC，
∴∠F＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正确；
∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠DCE＝180°，
故②正确；
∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，
∴△BDC≌△BGC（AAS），
∴AD＝GE，CD＝CG，
∵AC＝AD+DC，
∴AC＝AD+CG
＝AD+GE+CE
＝2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③错误；
∵AC＝CF﹣AF，
∴AC＝2CD﹣CE，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键．
三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16. 解分式方程：．
【答案】原方程无解．
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程无解．
【详解】解： ．
因式分解得，
去分母得：，
解得：x=-2，
经检验，
∴x=-2是分式方程增根，
原方程无解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．
17. 如图，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）3．
【解析】
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用三角形面积公式求解．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）S△ABC=×2×3=3．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】首先根据分式的运算法则进行化简，再把a的值代入计算．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，根据运算法则对分式进行简化是解题关键．
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，和相交于点，，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由得到，利用两个三角形全等的判定定理得到，从而利用全等性质得到．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及平行线性质、两个三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
20. 2020年初，为应对突如其来的“新冠肺炎”，某药店用3000元购进了第一批口罩，上市后很快售完，接着又用9000元购进第二批口罩，已知第二批所购口罩的进价比第一批每盒多20元，且数量是第一批的1.5倍．问第二批口罩每盒的进价是多少元？
【答案】第二批口罩每盒的进价是40元．
【解析】
【分析】设第一批口罩每盒的进价是x元，则第二批口罩每盒的进价是（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合第二批所购口罩的数量是第一批所购口罩数的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设第一批口罩每盒的进价是x元，则第二批口罩每盒的进价是（x+20）元，
依题意，得：，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
所以x+20＝40．
答：第二批口罩每盒的进价是40元．
【点睛】本题主要是考查了分式方程的实际应用，根据题意，找到等量关系，列出分式方程，并求解方程，这是求解分式方程的应用题的基本思路．
21. 如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，连接AC．
（1）尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在（1）的基础上，若AC⊥BC，求证：DE＝2BC．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明△DEA≌△ACB（AAS），推出DE＝AC，AE＝BC，可得结论．
【小问1详解】
解：如图，射线AE即为所求．
【小问2详解】
证明：∵DA＝DC，DE平分∠ADC，
∴AE＝EC，DE⊥AC，
∴AC＝2AE，
∵AD⊥AB，AC⊥CB，
∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°，
∴∠DAE+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠B，
在△DEA和△ACB中，
，
∴△DEA≌△ACB（AAS），
∴DE＝AC，AE＝BC，
∴DE＝2BC．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
五、解答题（三）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 阅读：因为（x+3）（x-2）=x2+x-6，说明x2+x-6有一个因式是x-2；当因式x-2=0，那么多项式x2+x-6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x= ，A=0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x-2，面积为x2+kx-14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x-1），体积为4x3+ax2-7x+b，试求a，b的值．
【答案】（1）-m （2）k=5；
（3）a=5，b=-2．
【解析】
【分析】（1）根据多项式一个因式为0，则多项式为0可求解；
（2）根据长方形的面积公式可知：x-2是x2+kx-14的一个因式，利用当x=2时，x2+kx-14=0，求出k的值即可；
（3）根据长方体的体积公式可知x+2，x-1是4x3+ax2-7x+b的一个因式，利用x=-2和x=1时，4x3+ax2-7x+b，求出a，b的值即可．
【小问1详解】
解：由题意，得，当x+m=0时，A=0，
∴x=-m时，a=0，
故答案为：-m；
【小问2详解】
解：由题意得x-2是x2+kx-14的一个因式，
∴x-2能整除x2+kx-14，
∴当x-2=0时，x2+kx-14=0，
∴x=2时，x2+kx-14=4+2k-14=0，
解得：k=5；
【小问3详解】
解：由题意得x+2，x-1是4x3+ax2-7x+b的一个因式，
∴x+2，x-1能整除4x3+ax2-7x+b，
∴当x+2=0即x=-2时，4x3+ax2-7x+b=0，
即4a+b=18①，
当x-1=0即x=1时，4x3+ax2-7x+b=0，
即a+b=3②，
①-②得3a=15，
解得：a=5，
∴b=-2．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．
23. △ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．
（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝ ．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若BP＝10，CP＝m，求CA′的长．（用含m的式子表示）
【答案】（1）30° （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，根据角度计算可得，由折叠的性质可得，根据即可求解；
（2）①连接，在上取一点，使，证明，是等边三角形，即可得到；②先证明三点共线，结合①的结论求解即可．
【小问1详解】
是等边三角形
把△ABD沿BD对折，得到△，
故答案为：
【小问2详解】
①，理由如下：
连接，在上取一点，使，如图，
等边三角形
，
是等边三角形
，
即
②如图，
由①可得
由（1）可知
把△ABD沿BD对折，得到△，
三点共线
折叠
,
由①可得