2023-2024学年北京市九年级数学第一学期期末达标测试试题

这是一份2023-2024学年北京市九年级数学第一学期期末达标测试试题，共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列图案中，是中心对称图形的是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.
下列判断： ①当x＞2时，M=y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M=2，则x=" 1" .
其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．教育局组织学生篮球赛，有x支球队参加，每两队赛一场时，共需安排45场比赛，则符合题意的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上。
B．从1，2，3，4，5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大。
C．某彩票中奖率为，说明买100张彩票，有36张中奖。
D．打开电视，中央一套正在播放新闻联播。
4．如图是我们学过的反比例函数图象，它的表达式可能是（ ）
A．B．C．D．
5．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为（ ）
A．1 cmB．7cmC．3 cm或4 cmD．1cm 或7cm
7．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（ ）
A．B．C．D．
8．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝4xB．＝3C．y＝﹣D．y＝x2﹣1
10．如图，⊙O的直径长10，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5
11．如图所示的工件的主视图是（ ）
A．B．C．D．
12．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（ ）
A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为 ．
14．因式分解：_______；
15．如图，在平面直角坐标系中，已知经过点，且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A(-3，2)，则__________．
16．矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数___________.
17．已知关于的方程的一个根为-2，则方程另一个根为__________．
18．在中，，，在外有一点，且，则的度数是__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，有一个斜坡，坡顶离地面的高度为20米，坡面的坡度为，求坡面的长度.
20．（8分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”．
①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，
②求BC：AC：AB的值．
（2）如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，AD与⊙O交于点M，若△ACD是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”．
21．（8分）某班为推荐选手参加学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛活动，先在班级中进行预赛，班主任根据学生的成绩从高到低划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图表．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a的值为 ；
（2）求C等级对应扇形的圆心角的度数；
（3）获得A等级的4名学生中恰好有1男3女，该班将从中随机选取2人，参加学校举办的演讲比赛，请利用列表法或画树状图法，求恰好选中一男一女参加比赛的概率．
22．（10分）如图，在中，，，，将线段绕点按逆时针方向旋转到线段.由沿方向平移得到，且直线过点.
（1）求的大小；
（2）求的长.
23．（10分）如图，把Rt△ABC绕点A．逆时针旋转40°，得到在Rt△ABʹCʹ，点Cʹ恰好落在边AB上，连接BBʹ，求∠BBʹCʹ的度数．
24．（10分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如16=3+ 1．
（1）若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是_______；
（2）若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，再从余下的3个数字中随机抽取1个素数，用面树状图或列表的方法求抽到的两个素数之和大于等于30的概率，
25．（12分）（1）计算:
（2）化简：
26．已知抛物线的顶点坐标为（1，2），且经过点（3，10）求这条抛物线的解析式．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】试题分析：∵当y1=y2时，即时，解得：x=0或x=2，
∴由函数图象可以得出当x＞2时， y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时， y2＞y1．∴①错误．
∵当x＜0时， -直线的值都随x的增大而增大，
∴当x＜0时，x值越大，M值越大．∴②正确．
∵抛物线的最大值为4，∴M大于4的x值不存在．∴③正确；
∵当0＜x＜2时，y1＞y2，∴当M=2时，2x=2，x=1；
∵当x＞2时，y2＞y1，∴当M=2时，，解得（舍去）．
∴使得M=2的x值是1或．∴④错误．
综上所述，正确的有②③2个．故选B．
2、A
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x-1）场，再根据题意列出方程为．
【详解】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为，
故选：A．
本题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
3、B
【解析】A、掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为，则正面向上的概率也为，不一定就反面朝上，故此选项错误；
B、从1，2，3，4，5中随机取一个数，因为奇数多，所以取得奇数的可能性较大，故此选项正确；
C、某彩票中奖率为36%，说明买100张彩票，有36张中奖，不一定，概率是针对数据非常多时，趋近的一个数并不能说买100张该种彩票就一定能中36张奖，故此选项错误；
D、中央一套电视节目有很多，打开电视有可能正在播放中央新闻也有可能播放其它节目，故本选项错误.
故选B．
4、B
【分析】根据反比例函数图象可知，经过第一三象限，，从而得出答案．
【详解】解：A、为二次函数表达式，故A选项错误；
B、为反比例函数表达式，且，经过第一三象限，符合图象，故B选项正确；
C、为反比例函数表达式，且，经过第二四象限，不符合图象，故C选项错误；
D、为一次函数表达式，故D选项错误．
故答案为B．
本题考查了反比例函数的图象的识别，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
5、C
【解析】根据中心对称图形的概念即可得出答案.
【详解】A选项中，不是中心对称图形，故该选项错误；
B选项中，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；
C选项中，是中心对称图形，故该选项正确；
D选项中，不是中心对称图形，故该选项错误.
故选C
本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.
6、D
【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可.
【详解】当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，
∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF-OE=1cm；
当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，
∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF+OE=7cm．
故选D．
本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况．
7、D
【分析】根据一元二次方程根的判别式等于零，求出的值，进而即可得到答案．
【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴∆=，解得：，
∴=．
故选D．
本题主要考查一元二次方程根的判别式以及特殊角三角函数，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，是解题的关键．
8、A
【分析】画出树状图，共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，即可得出答案．
【详解】解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
∴小李获胜的概率为；
故选A．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．
9、C
【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】A、y＝4x是正比例函数；
B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；
C、y＝﹣是反比例函数；
D、y＝x2﹣1是二次函数；
故选：C．
本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
10、A
【详解】解：的直径为10，半径为5，当时，最小，根据勾股定理可得，与重合时，最大，此时，所以线段的的长的取值范围为，
故选A．
本题考查垂径定理，掌握定理内容正确计算是本题的解题关键．
11、B
【解析】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选B．
12、B
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出结论．
【详解】解：∵∽，相似比为1：1，
∴与的周长的比为1：1．
故选：B．
此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【分析】根据扇形的弧长公式计算即可，
【详解】∵扇形的圆心角为90°，弧长为4π，
∴，
即4π=，
则扇形的半径r=1．
故答案为1
考点：弧长的计算．
14、（a-b）（a-b+1）
【解析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【详解】解：原式=(a-b)2+(a-b)=(a-b)(a-b+1)，
故答案为：(a-b)(a-b+1)
此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
15、
【解析】分别过A点作x轴和y轴的垂线，连接EC，由∠COE=90°，根据圆周角定理可得：EC是⊙A的直径、，由A点坐标及垂径定理可求出OE和OC，解直角三角形即可求得．
【详解】解：如图，过A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，连接EC，
∵∠COE=90°，
∴EC是⊙A的直径，
∵A(−3，2)，
∴OM=3，ON=2，
∵AM⊥x轴，AN⊥y轴，
∴M为OE中点，N为OC中点，
∴OE=2OM=6，OC=2ON=4，
∴=．
本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、垂径定理和锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．
16、3或1.2
【分析】由△PBE∽△DBC，可得∠PBE=∠DBC，继而可确定点P在BD上，然后再根据△APD是等腰三角形，分DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8，∴BD=10，
∵△PBE∽△DBC，
∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上，
如图1，当DP=DA=8时，BP=2，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=2：10，
∴PE：6=2：10，
∴PE=1.2；
如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=1：2，
∴PE：6=1：2，
∴PE=3；
综上，PE的长为1.2或3，
故答案为1.2或3.
本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P在线段BD上是解题的关键.
17、1
【分析】将方程的根-2代入原方程求出m的值，再解方程即可求解．
【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；
故原方程为：，
解方程得：．
故答案为：1．
本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键．
18、、
【分析】由，可知A、C、B、M四点共圆，AB为圆的直径，则是弦AC所对的圆周角，此时需要对M点的位置进行分类讨论，点M分别在直线AC的两侧时，根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形对角互补可得两种结果．
【详解】解：∵在中，，，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵点在外，且，
即∠AMB=90°
∵
∴A、C、B、M四点共圆，
①如图，当点M在直线AC的左侧时，
,
∴；
②如图，当点M在直线AC的右侧时，
∵，
∴，
故答案为：135°或45°．
本题考查了圆内接四边形对角互补和同弧所对的角相等，但解题的关键是要先根据题意判断出A、C、B、M四点共圆．
三、解答题（共78分）
19、米
【分析】根据坡度的定义可得，求出AB，再根据勾股定理求
【详解】∵坡顶离地面的高度为20米，坡面的坡度为
即,
∴米由勾股定理得
答：坡面的长度为米.
考核知识点：解直角三角形应用.把问题转化为解直角三角形是关键.
20、（1）① “匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，②BC：AC：AB＝；（2）CD＝a，CM不是△ACD的“匀称中线”．理由见解析.
【分析】（1）①先作出Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，然后利用匀称中线的定义分别验证即可得出答案；
②设AC＝2a，利用勾股定理分别把BC,AB的长度求出来即可得出答案.
（2）由②知：AC：AD：CD＝，设AC＝，则AD＝2a，CD＝，过点C作CH⊥AB，垂足为H，利用的面积建立一个关于a的方程，解方程即可求出CD的长度；假设CM是△ACD的“匀称中线”，看能否与已知的定理和推论相矛盾，如果能，则说明假设不成立，如果不能推出矛盾，说明假设成立.
【详解】（1）①如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，
∵∠ACB＝90°，
∴CF＝，即CF不是“匀称中线”．
又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“匀称中线”．
∴“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，
②设AC＝2a，则CE＝a，BE＝2a，
在Rt△BCE中∠BCE＝90°，
∴BC＝，
在Rt△ABC中，AB＝，
∴BC：AC：AB＝
（2）由旋转可知，∠DAE＝∠BAC＝45°．AD＝AB＞AC，
∴∠DAC＝∠DAE+∠BAC＝90°，AD＞AC，
∵Rt△ACD是“匀称三角形”．
由②知：AC：AD：CD＝
设AC＝，则AD＝2a，CD＝，
如图②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴
∵
解得a＝2，a＝﹣2（舍去），
∴
判断：CM不是△ACD的“匀称中线”．
理由：假设CM是△ACD的“匀称中线”．
则CM＝AD＝2AM＝4，AM＝2，
∴
又在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，CH＝ ，BH＝4-，
∴
即
这与∠AMC＝∠B相矛盾，
∴假设不成立，
∴CM不是△ACD的“匀称中线”．
本题主要为材料理解题，掌握匀称三角形和匀称中线的意义是解题的关键.
21、（1）8 ；（2）；（3）
【分析】（1）根据D等级的人数除以其百分比得到班级总人数，再乘以B等级的百分比即可得a的值；
（2）用C等级的人数除以班级总人数即可得到其百分比，用360°乘以其百分比得到其扇形圆心角度数；
（3）画树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．然后根据概率公式求解即可
【详解】解：（1）班级总人数为 人，B等级的人数为 人，故a的值为8；
（2）
∴C等级对应扇形的圆心角的度数为．
（3）画树状图如图：(画图正确）
由树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．
∴P（一男一女）
答：恰好选中一男一女参加比赛的概率为．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率为．也考查了统计图．
22、（1）；（2）
【分析】（1）根据旋转的性质可求得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；
（2）根据平移的性质及同角的余角相等证得∠DAE=∠CAB，进而证得△ADE∽△ACB，利用相似的性质求出AE即可．
【详解】解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠1=∠ABD=45°；
（2）由平移的性质得，AE∥CG，
∴∠EAC=180°－∠C=90°，
∴∠EAB+∠BAC=90°，
由（1）知∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠DAE=∠CAB，
又∵∠ADE=∠ADB+∠1=90°，∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AC=8，AB=AD=10，
∴AE=12.5.
本题为平移的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质的综合考查，熟练掌握基础的性质与判定是解题的关键.
23、20°
【分析】利用旋转的性质及等腰三角形的性质可得∠ABBʹ，再根据直角三角形两锐角互余可得解.
【详解】解：由旋转可知：
∠BABʹ=40°，AB=ABʹ．
∴∠ABBʹ=∠ABʹB．
∴∠ABBʹ==70°．
∴∠BBʹCʹ=90°－70°=20°．
本题考查了三角形的旋转，灵活利用旋转对应边相等，对应角相等且等于旋转角的性质是解题的关键.
24、（1）；（2）
【分析】(1)直接根据概率公式计算可得；
(2)画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解： (1) 因为7， 11， 19， 23共有4个数，其中素数7只有1个，
所以从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是，
故答案为.
(2)由题意画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两个素数之和大于等于30的结果有8种，故所求概率
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
25、（1）1；（2）
【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可；
（2）根据分式的运算法则计算即可.
【详解】解：（1）
原式=2+
=1；
（2）
.
本题考查了实数的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
26、y＝1（x﹣1）1+1．
【分析】根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）1+1，代入（3，10）求解即可．
【详解】解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）1+1，
把（3，10）代入得a（3﹣1）1+1＝10，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝1（x﹣1）1+1．
本题考查了抛物线的问题，掌握抛物线的性质以及解析法、待定系数法是解题的关键．