内蒙古赤峰市红山区赤峰第四中学2023-2024学年高二上学期12月月考试数学试题

这是一份内蒙古赤峰市红山区赤峰第四中学2023-2024学年高二上学期12月月考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1.与直线平行且过点的直线方程是（ ）
A.B.C.D.
2.抛物线的准线方程是（ ）
A.B.C.D.
3.已知圆，圆，则与的位置关系是（ ）
A.相交B.相切C.相离D.无法判断
4.双曲线的一个顶点为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（ ）
A.B.C.D.
5.椭圆与直线交于，两点，点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A.B.C.D.
6.三棱锥，平面，，且，则三棱锥的外接球表面积是（ ）
A.B.C.D.
7.若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率（ ）
A.B.C.D.
8.已知点，分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，点在双曲线右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（ ）
A.0B.1C.2D.3
10.方程，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，方程表示椭圆
B.当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
C.当时，方程表示圆
D.当或时，方程表示双曲线
11.已知正方体，且棱长为1，下列结论中正确的是（ ）
A.直线与直线所成角为90°
B.直线垂直于平面
C.点到平面的距离为
D.为的中点，则点到直线的距离为1
12.已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为和，则下列叙述正确的是（ ）
A.是定值B.是定值
C.是定值D.是定值
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.两直线，若的倾斜角是30°，则的斜率是___________.
14.设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于，两点，又知点恰好为的中点，则_____________.
15.已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则椭圆的方程为__________，若在第一象限且，则的面积为___________.
16.已知椭圆过点，为其左顶点，且的斜率为，若为椭圆上任意一点，求的面积的最大值____________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）在中，
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值.
18.（12分）已知点，点，动点的满足.
（1）若点的轨迹为曲线，求此曲线的方程；
（2）过点向曲线做切线，求切线方程.
19.（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分别是、、的中点.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
20.（12分）已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程
（2）若点在双曲线上，，为双曲线的左右焦点，且，试判断的形状.
21.（12分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，为上一点..
（1）证明：平面
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点.
（1）求的方程；
（2）设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足证明：直线过定点.
赤峰四中2023-2024学年第一学期第二次月考答案
一、单项选择题：
1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D
二、多项选择题：
9.ABCD 10.BCD 11.AB 12.ABD
三、填空题：
13.14.815. 16.18
四、解答题：
17.（1）120°（2）
解析：（1）由正弦定理和已知条件得.①
由余弦定理得.②
由①②得.
因为，所以.
（2）由正弦定理及（1）得，从而，
.
故.
又，所以当时，周长取得最大值.
18.（1）（2）或
19.解：（1）证明：如图，连接，.因为，分别为，的中点，所以，且.又因为为的中点，所以.
由题设知，可得，故，
因此四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）由已知可得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，.
设为平面的法向量，
则，所以，可取.
设为平面的法向量，
则，所以，可取.
于是，，
所以二面角的正弦值为.
20.解：（1）椭圆的标准方程为，焦点在轴上，且，
故设双曲线的方程为（，），
则有，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）不妨设点在双曲线的右支上，则有，
又，故解得，.
又，因此在中，边最长，
因为,
所以为钝角，故为钝角三角形.
21.解：（1）设，由题设可得，，，.
因此，从而.
又，故.
又，，平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题设可得，，，.
所以，.
设是平面的法向量，则
，即可取.
由（1）知是平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值为.
22.（1）过，所以可设椭圆的方程为，
又椭圆过，所以，得，
所以的方程为.
（2）解：设，，则，（提示：点在上，且纵坐标为），（提示：由得到），.
如图，设直线与的方程分别为与.
由，得.
由题设得，故.同理可得.
由，，三点共线得，即.
于是，所以.
因为，所以，
因此直线过定点.