青海省西宁市大通回族土族自治县2023届高三二模数学（理）试题(含答案)

这是一份青海省西宁市大通回族土族自治县2023届高三二模数学（理）试题(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2、已知i是虚数单位，若，，则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、已知向量，满足，，，则与所成角为( )
A.B.C.D.
4、使“”成立的一个充分不必要条件是( )
A.，B.，
C.，D.，
5、已知函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是( )
A.B.C.D.
6、已知实数，函数若，则a的值为( )
A.B.C.D.
7、有2男2女共4名大学毕业生被分配到A，B，C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为( )
A.12B.14C.36D.72
8、已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是( )
A.B.C.D.
9、在和中，若，，，则( )
A.与均是锐角三角形
B.与均是钝角三角形
C.是钝角三角形，是锐角三角形
D.是锐角三角形，是钝角三角形
10、已知函数，则下列说法错误的是( )
A.当时，函数不存在极值点
B.当时，函数有三个零点
C.点是曲线的对称中心
D.若是函数的一条切线，则
11、已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
12、设,分别是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为( )
A.B. C.D.
二、填空题
13、已知函数且的图象过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为__________.
14、已知为锐角，且，则__________.
15、关于正方体有如下说法：
①直线与所成的角为；
②直线与所成的角为；
③直线与平面所成的角为；
④直线与平面ABCD所成的角为.
其中正确命题的序号是__________.
16、设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，为两条棱上两点(不在同一条棱上)间距离的最小值，则随机变量的数学期望为__________.
三、解答题
17、造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义.某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x(单位：cm)与树干最大直径偏差y(单位：mm)之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据(偏差是指个别测定值与测定的平均值之差)如下：
(1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
(2)若这种树苗的平均高度为，树干最大直径平均为，试由(1)的结论预测高度为的这种树苗的树干最大直径为多少毫米.
参考数据：，.
参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计：，.
18、已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，设，求.
19、如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面，，.
(1)证明：平面ABE；
(2)若，，求二面角的正弦值.
20、已知椭圆过点，直线与C交于M，N两点，且线段MN的中点为H，O为坐标原点，直线OH的斜率为.
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线与C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由.
21、已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)当，，有两个不同的实数根，，证明：.
22、选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求C的直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为，直线l与C的交点为A，B，求的值.
23、选修4-5：不等式选讲
已知函数.
(1)解不等式；
(2)若对任意实数x都成立，求的最大值.
参考答案
1、答案：B
解析：，则，解得，
则，
，
，
故选：B.
2、答案：D
解析：由题意得，，所以，所以复数z在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.
3、答案：A
解析：因为向量，满足，，，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，，即与所成角为.
故选：A.
4、答案：B
解析：，，故A不符合题意；，，则，反之不一定成立，故B符合题意；由，，无法得到a，b之间的大小关系，故C不符合题意；，，故D不符合题意.故选B.
5、答案：D
解析：由题图可知图象的一个对称中心是，的最小正周期，图象的对称中心为，，结合选项可知，当时，图象的一个对称中心是.故选D.
6、答案：A
解析：当，即时，，.因为，所以，解得，满足题意.当，即时，，.因为，所以，方程无解.故选A.
7、答案：B
解析：按A工厂分类，第一类：A工厂仅接收1人有种分配方法；第二类：A工厂接收2人有.综上知不同的分配方法有种.故选B.
8、答案：A
解析：当时，，其图象在y轴左侧的部分与题图1相同；当时，，其图象在y轴右侧的部分与题图1y轴左侧的图象关于y轴对称.故选A.
9、答案：D
解析：因为，所以，又，所以，同理可知，故是锐角三角形；因为，，，所以，或；同理可得：，或；，或.若，，三式同时成立，三式两边分别相加，得，由内角和定理得，显然不成立，所以三式中仅有两式成立，故为钝角三角形.故选D.
10、答案：B
解析：对于A，因为，当时，恒成立，所以此时不存在极值点，故A正确；
对于B，因为，令得或，令得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以，，所以函数有且只有一个零点，故B错误；
对于C，令，该函数的定义域为R，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动2个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对于D，设切点为，，故切线方程为，将代入得，所以，解得，故D正确.故选B.
11、答案：A
解析：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为矩形ABCD的对角线长度的一半，因为，，所以矩形ABCD所在截面圆的半径，由矩形ABCD的面积，设O到平面ABCD的距离为h，所以，解得，所以球O的半径，所以球O的表面积.故选A.
12、答案：C
解析：由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程：，右焦点，
到渐近线的距离，
由渐近线的对称性，设渐近线为，①
则直线方程为∶ ②，
由①②可得，则，
左焦点，所以，
由，有，得，
即 ，，则C的离心率为
故选∶C.
13、答案：
解析：因为函数图象过定点，将它代入抛物线方程得，所以其准线方程为.
14、答案：
解析：因为为锐角，且，所以，所以
.
15、答案：①④
解析：对于①，易得四边形为平行四边形，则就是与所成的角，连接，可以得到为等边三角形，所以与所成的角为，故①正确；
对于②，因为平面，则，而，所以平面，所以直线与所成的角为，故②错误；
对于③，连接，设，连接BO，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为1，则，，，所以直线与平面所成的角为，故③错误；
对于④，因为平面ABCD，所以为直线与平面ABCD所成的角，易得，故④正确.故选①④.
16、答案：
解析：的可能取值为0，1，.若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，所以；若两条棱平行，则它们的距离为1或，而距离为的共有6对，则；当两条棱异面时，两条棱上各取一点，其两点间距离的最小值为1，则，所以随机变量的分布列为
所以.
17、答案：(1)
(2)可以预测这株树苗的树干最大直径为
解析：(1)由题意，，
，
，
所以，故线性回归方程为.
(2)由题意，设高度为的这种树苗的树干最大直径为，则直径偏差为，而高度偏差为，
所以，解得，
所以可以预测这株树苗的树干最大直径为.
18、答案：(1)
(2)
解析：(1)由，得，
两式相减，得，
所以，即.
又因为时，，所以，
因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
(2)由(1)得，
当时，，
当时，
.
综上，
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：取BC的中点G，连接AG，DG，FG，
因为，，所以，，
所以四边形AGCD为平行四边形，所以，，
同理.
因为平面，平面ABE，所以平面ABE，
又，，所以，，
所以四边形AGFE为平行四边形，所以，
因为平面，平面ABE，所以平面ABE，
又，平面DFG，且，所以平面平面ABE，
因为平面DFG，故DF与平面ABE无公共点，所以平面ABE.
(2)解：过D在平面CDEF内作直线，
由题意得，平面ABCD，因为平面ABCD，所以.
以D为原点，直线DA，DC，l分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面DBE的一个法向量，则即，
令，解得，，故；
设平面DBF的一个法向量，则即，
令，解得，，故，
所以，
设二面角的大小为，
所以.
20、答案：(1)椭圆C的标准方程为
(2)见解析
解析：(1)设，，
则，直线OH的斜率.
因为M，N在椭圆C上，所以，，
两式相减得，即，
又，所以，即.
又因为椭圆C过点，所以，解得，，
所以椭圆C的标准方程为.
(2)联立消y整理得：.
因为直线与椭圆交于A，B两点，故，解得.
设，，则，.
设AB中点，则，，
故.
假设存在k和点，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
则，故，
所以，解得，故.
又因为，所以，
所以，即，
整理得.
所以，
代入，整理得，即，所以或.
即存在k使得是以P为顶点的等腰直角三角形.
当时，P点坐标为；当时，P点坐标为.
此时，是以P为直角顶点的等腰直角三角形.
21、答案：(1)见解析
(2)证明见解析
解析：(1)解：，
当，即时，恒成立，在上单调递增.
当，即时，由得或.
由得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
(2)证明：有两个不同的根，，
则，是方程的两个根，
所以，，
所以，，.
，
令，
所以，
所以，
所以在单调递增，
所以.
今，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即.
22、答案：(1)
(2)
解析：(1)由，得，将代入得，，
所以C的直角坐标方程为.
(2)因为直线l的参数方程为(t为参数)，
所以在l上，把l的参数方程代入，得，
设A，B所对应的参数分别为，，所以，
所以，，所以，，
故.
23、答案：(1)
(2)的最大值为
解析：(1)当时，，由，所以；
当时，，由，；
当时，，由，所以.
综上，的解集为.
(2).
故恒成立，
又，
当且仅当时，取等号，故的最大值为.
树苗序号
1
2
3
4
5
6
7
8
高度偏差x
20
15
13
3
2
-5
-10
-18
直径偏差y
6.5
3.5
3.5
1.5
0.5
-0.5
-2.5
-3.5
0
1
P