重庆市第八中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、若,则集合P中元素的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
2、命题“,0”的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
3、已知集合,,则是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件D.充要条件
4、若,则的最小值为( )
A.2B.C.D.
5、已知,q:关于x的不等式的解集为R,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6、数学里有一种证明方法叫做Prfswithutwrds,也称之为无字证明,一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形,在等腰直角三角形中,点O为斜边AB的中点,点D为斜边AB上异于顶点的一个动点,设,,则该图形可以完成的无字证明为( )
A.B.
C.D.
7、已知,且,不等式恒成立,则正实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、已知是定义在上的奇函数,当时,,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A.,B.,,
C.菱形的对角线互相垂直D.任意四边形均有外接圆
10、下列幂函数中满足条件的函数是( )
A.B.C.D.
11、已知函数的定义域为R,且,当时,,且满足,则下列说法正确的是( )
A.为奇函数
B.
C.不等式的解集为
D.
12、已知,若对任意的,不等式恒成立.则( )
A. B.
C.的最小值为12D.的最小值为
三、填空题
13、已知,,则____________（填数值）
14、若函数,满足对任意,都有成立,则实数a的取值范围是______________.
15、若幂函数过点,则满足不等式的实数的取值范围是______________.
16、设函数的定义域为R,为偶函数,为奇函数,当时,,若,则______________.
四、解答题
17、已知集合,集合.
(1)当时,求,;
(2)若,求m的取值范围.
18、已知抛物线经过点.
(1)若关于x的不等式的解集为,求m,n的值;
(2)若,求关于x的不等式的解集.
19、已知的三边长为a,b,c,其中.求证：为等边三角形的充要条件是.
20、如图,现将正方形区域ABCD规划为居民休闲广场,八边形HGTQPMKL位于正方形ABCD的正中心,计划将正方形WUZV设计为湖景,造价为每平方米20百元;在四个相同的矩形EFUW,IJVW,VZON,UZRS上修鹅卵石小道,造价为每平方米2百元;在四个相同的五边形AEHLI,DFGTS,PQRCO,BNMKJ上种植草坪,造价为每平方米2百元;在四个相同的三角形HLW,GTU,PQZ,KMV上种植花卉,造价为每平方米5百元.已知阴影部分面积之和为8000平方米,其中,,,,EF的长度最多能达到40米.
(1)设总造价为S（单位：百元）,HG长为（单位：米）,试用x表示S;
(2)试问该居民休闲广场的最低造价为多少百元？
（参考数据：取,结果保留整数）
21、已知函数为R上的奇函数,当时,.
(1)求的解析式;
(2)若函数在上单调递减,求实数a的取值范围.
22、若在函数的定义域内存在区间,使得在上单调,且函数值的取值范围是（m是常数）,则称函数具有性质M.
(1)当时,函数否具有性质M?若具有,求出a,b;若不具有,说明理由;
(2)若定义在上的函数具有性质M,求m的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：集合P中元素为,,共2个.
故选：B.
2、答案：C
解析：因为命题“,0”是全称量词命题,
所以其否定为,,
故选：C.
3、答案：A
解析：,
,
表示3的整数倍加1,表示全体整数,
所以可以推出,不可以推出,
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
4、答案：D
解析：,则,
,
当且仅当,即时等号成立,
故选：D.
5、答案：A
解析：,
由关于x的不等式的解集为R,可得,
解之得,
则由是的真子集,
可得p是q的充分不必要条件.
故选：A.
6、答案：B
解析：等腰直角三角形,O为斜边AB的中点,,
,
而,所以,故选项B正确.
故选：B.
7、答案：D
解析：不等式可化为,又,,,
所以,
令,则,
因为,,,所以,当且仅当时等号成立,
又已知在上恒成立,所以
因为,当且仅当时等号成立,
所以,当且仅当,或,时等号成立,
所以m的取值范围是,
故选：D.
8、答案：C
解析：当时,令,
可知：当时,;当时,;
又因为是奇函数,可知：当时,;当时,;
对于不等式,则或,可得或,
所以不等式的解集为.
故选：C.
9、答案：AC
解析：对于A,“”是全称量词,且由于,故对,为真命题,故A正确;
对于B,“”是存在量词,故B错误;
对于C,“所有的”是全称量词,所有的菱形的对角线都互相垂直,故C正确,
对于D,任意四边形不一定有外接圆,对角和为的四边形,有外接圆;
对角和不是的四边形,没有外接圆,故D错误.
故选：AC.
10、答案：BD
解析：由题意可知,当时,满足条件的函数的图象是凹形曲线.
对于A,函数的图象是一条直线,故当时,;
对于B,函数的图象是凹形曲线,故当时,;
对于C,函数的图象是凸形曲线,故当时,;
对于D,在第一象限,函数的图象是一条凹形曲线,故当时,
,
故选：BD.
11、答案：AB
解析：对于A中,令,可得,所以,
令,得到,即,
所以为奇函数,故A正确;
对于B中,因为为奇函数,所以,故B正确;
对于C中,设,,可得,
所以,
又因为,所以,所以,即,
所以在R上单调递增,因为,所以,
由,可得,
所以,所以,得到,
所以的解集为,所以C错误;
对于D中,因为为奇函数,所以,
所以,
又,故,所以D错误.
故选：AB.
12、答案：ACD
解析：因为,
恒成立,即恒成立,
因为,所以当时,,则需,
当时,,则需,
故当时,,即,
所以且,故选项A正确,选项B错误;
所以,
当且仅当时,即时取等,故选项C正确;
因为,
令,
当且仅当,即时等号成立,故,
所以,故,
所以在上,单调递减,
即,
所以,故选项D正确.
故选:ACD.
13、答案：2
解析：.
故答案为：2.
14、答案：
解析：因为,所以在R上是减函数,
当时,,对称轴为,分段函数要满足在R上单调递减,
需要满足,解得：.
故答案为：.
15、答案：
解析：幂函数的图象过点,
为偶函数,在第一象限过;
当,设,则,解得;
幂函数,
由于,故在上单调递增,
不等式,
平方得,解得;
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
16、答案：
解析：因为是偶函数,所以①,
因为是奇函数,所以②,
令,由①得：,
由②得：,
因为,所以,
令,由②得：,
所以当时,,
.
故答案为：.
17、答案：(1),
(2)或
解析：（1）当时,,
.
因为或,所以.
（2）当时,,解得.
当时,或
解得,
即m的取值范围是或.
18、答案：(1),
(2)答案见解析
解析：（1）由抛物线经过点得,
因为不等式的解集为,所以,
易得关于x的一元二次方程的两个根分别为,.
由根与系数的关系可得
解得或-3（舍去）,即,.
（2）不等式可化为.
令,得.
当时,不等式为,无解;
当时,,解不等式得;
当时,,解不等式得.
综上,当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
19、答案：证明见解析
解析：证明：充分性：
当时,多项式可化为,
即,所以,
则,所以,
即,为等边三角形,即充分性成立;
必要性：由为等边三角形,且,所以,
则,,所以,即必要性成立.
故为等边三角形的充要条件是.
20、答案：(1)
(2)68800百元
解析：（1）因为米,所以米,得米.
根据题意可得四个三角形HLW,GTU,PQZ,KMV的面积之和为平方米,
正方形WUZV的面积为平方米,
四个五边形的面积之和为平方米,
则休闲广场的总造价
.
（2）因为
,
当且仅当,即时,等号成立,
所以该居民休闲广场的总造价最低为68800百元.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）当时,由函数为R上的奇函数得;
当时,,则,
因为为R上的奇函数,
所以,
所以,
故
（2）由函数在上单调递减,
设,且,都有,即,
即
.
则,因为,所以,所以,则,
又,
所以.
22、答案：(1)函数具有性质M,
(2).
解析：（1）因为在上单调递增,
所以在上的函数值的取值范围是,即,
显然,所以,
故函数具有性质.
（2）,
因为在上单调递减,在上单调递增,
当时,单调递减,
,得,整理得,
与矛盾,当时,不合题意.
当时,在单调递增,
,知在上有两个不等实根,
即在上有两个不等实根,
令,,
由,,,知,
综上可得m的取值范围是.