四川省达州市第一中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

这是一份四川省达州市第一中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题，共10页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.观察数列 1,ln2,sin3,4,ln5,sin6,7,ln8,sin9……, 则该数列的第 12 项等于 （ ）
A.1212B.12C.ln12D.sin12
2.
下列结论正确的是 （ ）
A.底面是平行四边形的棱柱是平行六面体
B.各个面都是三角形的几何体是三锥
C.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
D.圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线
3.设 Sn是等差数列an的前n项和, 若a2+a5+a8=18, 则S9=（ ）
A.36B.45C.54D.63
4.如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1C1的中点, 则异面直线DE与B1C所成角的余弦值为（ ）
A.63B.62
C.32D.33
5.“ a=-13" 是“直线ax+(a+1)y=0和直线2ax+(1-a)y+1=0平行”的（ ）
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知等比数列 an的公比q=13, 且a1+a3+a5+⋯+a99=60, 则a1+a2+a3+a4⋯+a100等于（ ）
A.100B.80C.60D.40
7.已知点 P(a,b)在直线x-y=0上, 则a2+b2-2a+2b+2+(a-2)2+b2的最小值为（ ）
A.5B.22C.10D.25
8.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放 大，都可以得到一个和整体全等的图形. 如图的雪花曲线，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图 2，如此继续下去，得图（3）...不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线。
记 Sn为第n个图形的面积, 如果这个作图过程可以一直继续下去, 则Sn将趋近于多少（ ）
A.235B.8315
C.π3D.32
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知等差数列 an是递减数列, 且满足a7=3a5,an的前n项和为Sn, 下列选项中正确的是（ ）
A.a1>0B.当 n=5时,Sn最大
C.S3>S6D.S8>0
10.已知直线 l:(m-2)x+(m+1)y-3=0, 则（ ）
A.直线 l始终过第二象限
B.m=12时, 直线l的倾斜角为3π4
C.m=1时, 直线l关于原点对称的直线方程为x+2y-3=0
D.点 P(2,2)到直线l的最大距离为10
11.如图, 正方形 ABCD的边长为 2 , 现将正方形沿其对角线AC进行折叠, 使其成为一个空间四边形,在空间四边形中，下列结论中正确的是 （ ）
A.B,D两点间的距离d满足0B.AC⊥BD
C.对应三棱锥 D-ABC的体积的最大值为22
D.当二面角 D-AC-B为60∘时,BD=2
12.已知正项数列 an满足:a1=1,an=nan+12nan+1+1, 则（ ）
A.a2=5-12 B.an是递增数列
C.an+1-an>1n+1 D.an+1<1+∑k=1n1k
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13已知直线 l的一个方向向量为(3,3), 则直线l的倾斜角α=__________
14设数列 an的通项公式为an=(2n-1)∙csnπ2, 其前n项和为Sn, 则S20=__________
15《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著, 被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体, 称为鳖臑 (biēnà). 如图所示,三棱锥 P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC, 则该三棱锥即为鳖臑. 若AB=2且三棱锥外接球的体积为36π, 则三棱雉P-ABC体积的最大值是__________
16直线 l1x+(m+1)y-2m-2=0与直线l2:(m+1)x-y-2m-2=0相交于点P, 对任意实数m,直线l1,l2分别恒过定点A,B, 则|PA|+|PB|的最大值为__________
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（本题满分10分）已知直线 2x-y-3=0与直线x-3y+1=0交于点P.
(1) 求过点 P且垂直于直线x+y+2=0的直线l1的方程;
(2) 求过点 P并且在两坐标轴上的截距相等的直线l2的方程.
18.（本题满分12分）已知递增等差数列 an满足a4=5, 且a2,a3,a6成等比数列
(1) 求数列 an通项公式;
(2) 设 bn=an+2n, 求数列bn的前n项和Sn.
19.（本题满分12分）如图, 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为AA1的中点.
(1)求证: A1B//平面MCD1;
(2)求平面 MCD1与平面C1CD1夹角的余弦值。
20.（本题满分12分）已知数列 an的前n项和Sn满足Sn=2an-1,n∈N*.
(1) 求 an的通项公式:
(2) 已知数列 bn=an∙lg2an, 求bn的前n项和Tn.
21（本题满分12分）如图, 四边形 ABCD为平行四边形, 点E在AB上,AE=2EB=2, 且DE⊥AB.以DE为折痕把△ADE折起, 使点A到达点F的位置, 且∠FEB=60∘.
(1)求证: BF⊥平面BCD;
(2)若直线 DF与平面BCDE所成角的正弦值为64,求点C到平面DEF的距离.
22.（本题满分12分）设数列 an的前n项和为Sn, 且Sn=2an-2n+1, 数列bn满足bn=lg2ann+1, 其中n∈N*.
(1)证明 an2n为等差数列, 并求数列an的通项公式:
(2)求数列 (n+3)(n+1)an+1的前n项和为Tn;
(3)求使不等式 1+1b1∙1+1b3⋯1+1b2n+≥mb2n+1, 对任意正整数n都成立的最大实数m的值.
参考答案及解析
1. 【答案】D
【解析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第12项是哪个数.
2. 【答案】A
【解析】C.以直角三角形的直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体为圆锥，故命题不正确;
3. 【答案】C
【解析】a2+a5+a8=3a5=18,
∴a5=6,
S9=9a1+a92=9a5=54.
4. 【答案】C
【解析】略
5. 【答案】C
【解析】直接利用直线平行的充要条件，充分条件和必要条件的应用求出结果.
6. 【答案】B
【解析】∵等比数列an的公比q=13, 且
a1+a3+a5+…+a99=60
∴a2+a4+a6+…+a100
=a1+a3+a5+…+a99∙q=60×13=20
∴a1+a2+a3+a4+…+a100
60+20=80
7. 【答案】C 【解析】略
8. 【答案】A
【解析】由题意知, 初始三角形的面积 S0=34,
第一次操作后, 增加了 3 个边长为 13的等边三角形, 此时面积;S1=34+3×34×132
第二次操作后, 增加了 3×4个边长为132的等边三角形, 此时面积
S2=34+3×34×132+3×4×34×1322
第 n次操作后, 增加了3×4n-1个边长为a3n的等边三角形, 此时面积
Sn=34+3×34×132+3×4×34×1322+⋯+3×4n-1×34×13n2
=34×1+13+4×133+⋯+4n-1×132n-1=341+131-49n1-49=34×85-35∙49n
当 n→+∞时,49n→0,Sn→235.
9. 【答案】AC 【解析】略
10. 【答案】AD 【解析】
选项 A, 将直线l:(m-2)x+(m+1)y-3=0整理成(x+y)m-2x+y-3=0,令x+y=0, 则-2x+y-3=0, 解得x=-1,y=1,
所以直线 l恒过点(-1,1), 点(-1,1)在第二象限, 即选项A正确;
选项 B, 当 m=12时, 直线l:(m-2)x+(m+1)y-3=0为-32x+32y-3=0, 其斜率为 1 , 倾斜角为π4, 即选项B错误;
选项 C, 当 m=1时, 直线l:(m-2)x+(m+1)y-3=0为-x+2y-3=0, 其关于原点对称的直线方程为x-2y-3=0, 即选项C错误;
选项 D, 由选项 A知, 直线l恒过定点(-1,1)，设为Q,
所以点 P(2,2)到直线l的最大距离为|PQ|=(2+1)2+(2-1)2=10, 此时直线PQ的斜率为kPQ=2-12+1=13,
因为 PQ⊥l, 所以直线l的斜率为 -3 ,令-m-2m+1=-3,m=-12, 即选项D正确.
11. 【答案】AB
【解析】如图所示, 取 AC的中点O, 连接DO,BO
对于 A, 在正方形ABCD中,BD=22, 将正方形沿其对角线AC进行折叠,
易得 B,D两点间的距离d满足0对于 B,∵AC⊥OD,AC⊥OB,OB∩OD=O,
∴AC⊥平面BOD, 又BD⊂平面BOD,
∴AC⊥BD,∴异面直线AC,BD所成的角为90∘, 故B 正确;
对于 C, 当平面DAC⊥平面BAC时, 三棱锥D-ABC的体积的最大,
最大为 13×2×12×2×2=223,故C 错误。
12. 【答案】BCD
【解析】由a1=1,an=nan+12nan+1+1, 得a1=a22a2+1=1, 即a22-a2-1=, 解得a2=1±52,
因为an正项数列, 所以a2=1+52, 故 A 错误;
因为 an+1-an=an+1-nan+12nan+1+1=an+1nan+1+1-nan+12nan+1+1=an+1nan+1+1, 又an正项数列,
所以 an+1-an=an+1nan+1+1>0, 即an+1-an>0, 因此an是递增数列, 故 B 正确;
由上可知, an+1>1, 所以an+1-an=an+1nan+1+1>an+1(n+1)an+1=1n+1, 即an+1-an>1n+1, 故 C 正确;
因为 an+1-an=an+1nan+1+113【答案】 30∘【解析】记直线 l的倾斜角为α, 由题知tanα=33, 又α∈[0,π), 所以α=π6, 即α=30∘.
14【答案】20【解析】 根据f(n)=csnπ2的周期为 4 及an=(2n-1)∙csnπ2, 可得数列an的前n项和具有周期为 4 的周期性, 又知一个周期内的和为 4 , 从而可得S20.
15【答案】163【解析】 略
16【答案】 4【解析】直线 l1:x+y-2+m(y-2)=0, 当ly-2=0x+y-2=0 , 得 x=0y=2, 即点 A(0,2),直线 l2:x-y-2+m(x-2)=0, 当x-y-2=0x-2=0,得 x=2y=0, 即点B(2,0),且两条直线满足1×(m+1)+(m+1)×(-1)=0,
所以 l1⊥l2, 即PA⊥PB,|PA|2+|PB|2=|AB|2=8,|PA|+|PB|≤2|PA|2+|PB|2=4,当 |PA|=|PB|时, 等号成立,所以 |PA|+|PB|的最大值为 4 .
17 【解析】(1)由 2x-y-3=0x-3y+1=0 得 x=2y=1,∴交点P(2,1)
由题直线 l1的斜率k=1,∴直线l1的方程 :x-y-1=0
(2)当直线 l2过原点时: 直线l2斜率为12, 此时直线方程:y=12x
当直线 l2不过原点时: 设直线l2:xa+ya=1,
代入点 P(2,1)得a=3, 此时直线l2方程:x+y-3=0
综上: 直线 l2的方程为:x-2y=0或x+y-3=0
18 【解析】(1) 设 an公差为d,∴d>0
由题得 a32=a2∙a6,∴(5-d)2=(5-2d)(5+2d),∴d=2或d=0(舍)
又 ∵a4=a1+3d=5,∴a1=-1
∴通项公式为:an=2n-3
(2)由(1)得 bn=2n-3+2n
∴Sn=a1+21+a2+22+a3+23+⋯+an+2n
=a1+a2+a3+⋯+an+21+22+23+⋯+2n.
=n(-1+2n-3)2+21-2n1-2=n2-2n-2+2n+1
19. 【解析】(1) 根据正方体的性质可知 A1D1//BC,A1D1=BC,
所以四边形 BCD1A1是平行四边形, 所以A1B//D1C,
由于 A1B/⊂平面MCD1,D1C⊂平面MCD1,
所以 A1B//平面MCD1.
(2) 以 A为原点, 建立如图所示空间直角坐标系,
则 M(0,0,1),C(2,2,0),D1(0,2,2),B(2,0,0)，MC=(2,2,-1)MD1=(0,2,1)，
易得平面 C1CD1的一个法向量为m=(0,1,0),
设平面 MCD1的法向量为n=(x,y,z), 则n∙MC=2x+2y-z=0n∙MD1=2y+z=0,
故可设 n=(-2,1,-2),设平面MCD1与平面C1CD1的夹角为θ,则 csθ=m∙n|m|∙|n|=13.
所以平面 MCD1与平面C1CD1夹角的余弦值为13
20. 【解析】(1) 当 n=1时,S1=2a1-1=a1,∴a1=1,
当 n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴an=2an-1,
故 anan-1=2,故数列an是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列,
故 an=2n-1,n∈N*.
(2) 由（1）得 an=2n-1,n∈N*, 所以由题意bn=(n-1)∙2n-1,
故 Tn=0×20+1×21+2×22+⋯+(n-1)∙2n-1,
则 2Tn=0×21+1×22+⋯+(n-2)∙2n-1+(n-1)∙2n,
故 -Tn=2+22+23+⋯+2n-1-(n-1)2n=21-2n-11-2(n-1)2n=-(n-2)∙2n-2,
则 Tn=(n-2)∙2n+2,n∈N*.
21. 【解析】(1) 由题 DE⊥AB, 所以DE⊥EF,DE⊥BE,
又 EF∩BE=E,EF,BE⊂平面BEF,∴ED⊥平面BEF.
因为 DE⊥平面BEF,BF⊂平面BEF, 所以DE⊥BF,
因为 AE=2EB=2, 所以EF=2,EB=1,
因为 ∠FEB=60∘, 所以在△BEF中,
由余弦定理得 BF=EF2+EB2-2EF∙EB∙cs∠FEB=3,
所以 EF2=EB2+BF2, 所以由勾股定理逆定理得BF⊥EB,
因为 DE,EB⊂平面BCD,DE∩EB=E, 所以BF⊥平面BDC,
(2) 以 B为原点,BA所在的直线为y轴, 在平面ABCD过点B作AB的垂线为x轴,
BF所在的直线为z轴, 建立空间直线坐标系设DE=a(a>0),
则 D(a,1,0),E(0,1,0),F(0,0,3),DF=(-a,-1,3),
平面 BCDE的一个法向量n=(0,0,1),由直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为64,
所以 |cs⟨n,DF⟩|=|n∙DF||n||DF|=3a2+4=64, 解得a=2(负值舍去),
∴ED=(2,0,0),DF=(-2,-1,3),DC=(0,-3,0),
设平面 DEF的法向量m=(x,y,z), 则m∙ED=2x=0m∙DF=-2x-y+3z=0,
取 z=1, 得m=(0,3,1),故点C到平面DEF的距离d=|DC∙m||m|=332.
22. 【解析】
(1) 当 n=1时,a1=S1=2a1-4, 则a1=4,
当 n≥2时,an=Sn-Sn-1,∴an-2an-1=2n,
即 an2n-an-12n-1=1, 即an2n是以a12=2为首项, 公差为 1 的等差数列,
故 an2n=n+1,∴an=(n+1)∙2n
(2) 由(1)知 an+1=(n+2)∙2n+1,∴n+3(n+1)an+1=n+3(n+1)(n+2)∙2n+1=1(n+1)∙2n-1(n+2)∙2n+1
∴Tn=12∙21-13∙22+13∙22-14∙23+14∙23-15∙24+⋯+1(n+1)∙2n-1(n+2)∙2n+1
=14-1(n+2)∙2n+1
(3) bn=lg2ann+1=lg22n=n, 则1+1b1∙1+1b3⋯1+1b2n-1≥m∙b2n+1,
即 (1+1)1+13⋯1+12n-1≥m2n+1,
即 m≤(1+1)1+13⋯1+12n-12n+1对任意正整数n都成立,
令 f(n)=(1+1)1+13⋯1+12n-12n+1,
则 f(n+1)=(1+1)1+13⋯1+12n-11+12n+12n+3,
故 f(n+1)f(n)=2n+22n+1∙2n+3=4n2+8n+44n2+8n+3>1,
即 f(n),n∈N+随着n的增大而增大, 故f(n)≥f(1)=233,
即 m≤233,即实数m的最大值为233.