浙江省绍兴市春晖中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷

这是一份浙江省绍兴市春晖中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线，则该直线的倾斜角是 ( )
A． B． C． D．
2.圆与圆的位置关系为 ( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
3.过两点，的直线方程为 ( )
A．B．C． D．
4.平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为( )
A．B．C．D．
5．“”是“直线与圆相交”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为 ( )
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 （ ）
A．B．C．D．
8.已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为 ( )
A．B．C．D．
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知直线，直线，则下列结论正确的是 ( )
A．在轴上的截距为B．过定点
C．若，则或D．若，则
10. 关于曲线，下列说法正确的是 ( )
A．若曲线C表示圆，则B．若，曲线表示两条直线
C．若，过点与曲线相切的直线有两条
D．若，则直线被曲线截得弦长等于
11.设椭圆:的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有 ( )
A．离心率e＝ B．
C．面积的最大值为 D．直线与以线段为直径的圆相切
12. 矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角
，若，则下列结论正确的有 ( )
A．四面体的体积为B．点与之间的距离为
C．异面直线与所成角为 D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，是椭圆:的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为 .
14.在平面直角坐标系内，点关于直线对称的点坐标为 .
15.已知，，，若、、、四点共面，则 ．
16.若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.
(1)求直线和直线的交点坐标；
(2)已知不过原点的直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
18.已知空间向量，.
(1)若与共线，求实数的值；
(2)若与所成角是锐角，求实数的范围．
19.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.
20.如下图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD，又.
（1）求点到平面的距离；
（2） 设，，，平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为，求BC的长．
21.已知双曲线：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.
22.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线,的斜率分别为．
（i）求的值；
（ii）若，求面积的取值范围．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．9 14．（-2，2） 15．5 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）由题意知，∵，∴．
又因为直线在轴上的截距为，所以直线过点（，0）.
所以直线的方程为，即:.
联立，得，即交点为（2，1）.
（2）因直线不过原点，设其在轴上的截距为，方程为，
因为过（2，1），所以，解得，
所以直线的方程.
18．【解析】（1）由已知可得，．
因为与共线，所以，解得．
（2）由(1)知，．
所以，∴．
又当时，与共线，
所以实数的范围为．
19．【解析】（1）设，由，得，
化简得，
所以动点P的轨迹C的方程为.
（2）由(1)知轨迹C：表示圆心为，半径为2的圆．
当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l与圆C相切．
当直线l的斜率存在时，设，即，
于是有，解得，因此直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为或．
20．【解析】（1）如图，在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，
，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
，所以，又，
所以．同理，又，，
所以及，点P到平面ABCD的距离为.
（2）如图所示，以A点为原点，分别以AD，AB， AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则B（0，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），
∴，，设，则
，．
设平面的法向量为，则
则，令，得．
同理可得平面的法向量为．
由题意知，解得，
所以BC的长为．
21．【解析】（1）在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）联立直线AB与双曲线C的方程，得，
经整理得，，
设，，则的中点坐标为，
由韦达定理，，，
的中点坐标为，
又的中点在圆上，
，.
22.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线,的斜率分别为．
（i）求的值；
（ii）若，求面积的取值范围．
22．【解析】（1）由于椭圆的离心率为，故．
又，所以，，，
所以椭圆Ｃ的方程为．
（2）（i）设与轴交点为Ｄ，由于直线交椭圆Ｃ于两点（在轴的两侧），故直线的的斜率不为０，直线l的方程为，联立，则，
则，
设，，则，，
又，
故．
同理 ．
（ii）因为，则，．
又直线交与轴不垂直可得，所以，即．
所以，．
于是，
，
整理得，解得．
因为在轴的两侧，所以，．
又时，直线与椭圆Ｃ有两个不同交点，因此，直线恒过点．
此时，，
，
设，由直线交与轴不垂直可得，
故．
因为在上为减函数，所以面积的取值范围为．1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
A
C
B
C
C
D
9
10
11
12
AD
ACD
BCD
ACD