重庆市忠县中学2023-2024学年高一上学期12月云班检测数学试题

这是一份重庆市忠县中学2023-2024学年高一上学期12月云班检测数学试题，共11页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 若 f(x)=f(x+2),x<1lg2x,x≥1, 则f(-2)的值为（ ）
A.0B.1C.2D.-2
2. 已知集合 A=x∣y=lg2(x-2),B=x∣2x-2≥0, 则∁RA∩B=（ ）
A.{0,1}B.[1,2)C.{1,2}D.[1,2]
3. 若函数 f(x)=xmx2+2mx+4的定义域为R, 则实数m的取值范围为（ ）
A.(0,4)B.(-∞,0)∪(4,+∞)
C.[0,4)D.[0,4]
4. 若 a>0,b>0, 且ab=a+b+3, 则ab的取值范围是（ ）
A.[9,+∞)B.[3,+∞)C.(0,3)D.(3,9]
5. 已知函数 y=xa,y=bx,y=lgcx的图象如图 1 所示, 则（ ）
A.eaC.ea6. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中, 指数衰减的学习率模型为 L=L0DGG0, 其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度. 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为 18，且当训练迭代轮数为 18 时，学习率衰减为 0.4，则学习率衰减到 0.2 以下（不含 0.2) 所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg2≈0.3010)
A.72B.74C.76D.78
7. 已知 a=1.20.2,b=lg52,c=lg73, 则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>c>bB.a>b>c
C.b>c>aD.c>a>b
8.方程 |lnx|-e-x=0的所有实根的乘积为m, 则（ ）
A.11e
C.0e
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 生活经验告诉我们, a克糖水中有b克糖(a>0,b>0, 且a>b), 若再添加c克糖(c>0)后, 糖水会更甜, 于是得出一个不等式:b+ca+c>ba. 趣称之为“糖水不等式”. 根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A.若 a>b>0,m>0, 则b+ma+m与ba的大小关系随m的变化而变化
B.若 a>b>0,m<0, 则baC.若 a>b>0,c>d>0, 则b+da+dD.若 a>0,b>0, 则一定有a1+a+b+b1+a+b10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A.函数 f(x)=lga(2x-1)-1的图象过定点(1,0)
B.已知函数 f(x)是定义在R上的偶函数, 当x≤0时f(x)=x(x+1), 则f(x)的解析式为f(x)=x2-|x|
C.若 lga12>1, 则a的取值范围是12,1
D.若 2-x-2y>lnx-ln(-y)(x>0,y<0), 则x+y<0
11. 已知函数 f(x)=x2+2x+2(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)(a∈R,a>0)的图象上存在关于y轴对称的点, 则a的取值可以是下列数据中的 ( )
A.1e2B.1e
C.eD.3e
12.已知 a>1,b>1,aa-1=2a,bb-1=lg2b, 则以下结论正确的是（ ）
A.a+2a=b+lg2b B.12a+1lg2b=1
C.a-1b<12 D.a+b>4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
(1) 若命题 p:1≤x<4是命题q:x(2)已知函数 f(x)=2023x+ln1-x1+x+ex-e-x+3,f(a)=-3(-1(3)若函数 y=lgax2-ax+2在区间(-∞,1]上为减函数, 则a的取值范围是___________.
(4)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家 鲁伊兹．布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 f(x), 存在一个点x0, 使得fx0=x0, 那么我们称该函数为“不动点”函数, 而称x0为该函数的一个不动点. 现新定义: 若x0满足fx0=-x0, 则称x0为f(x)的次不动点. 有下列结论:
(1) 定义在 R上的偶函数既不存在不动点, 也不存在次不动点;
(2) 函数 f(x)=ex+2(x-1)仅有一个不动点;
(3) 当 1≤a≤32时, 函数f(x)=lg124x-a∙2x+1在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点．
上述结论正确的是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14.（本题满分10分）已知全集 U=R, 集合A={x∣-2(1) 求 A∩∁UB; (2) 若 B∩∁UC=∅, 求实数a的取值范围.
15.（本题满分12分）已知函数 f(x)=ax2+bx, 且f(1)=3,f(2)=5.
(1) 求函数 f(x)的解析式; (2) 判断并证明 f(x)在(1,+∞)上的单调性.
16.（本题满分12分）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入 90 万元安装了一套新的生产设备, 预计使用该设备后前 nn∈N*年的总支出成本为10n2-5n万元, 每年的销售收入 95 万元. 设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元.
(1) 写出 f(n)关于n的函数关系式, 并估计该设备从第几年开始盈利;
(2) 使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 20 万元的价格处理;
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 70 万元的价格处理;
问哪种方案较为合理？并说明理由．
17.（本题满分12分）已知函数 fx=lg2x-2lg4x-12.
(1) 当 x∈[2,4]时, 求该函数的值域;
(2) 若 f(x)>mlg2x对于x∈[4,16]恒成立, 求m的取值范围.
18.（本题满分12分）已知 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, 且满足f(x)-g(x)=21-x.
(1) 求 f(x),g(x);
(2) 若方程 mf(x)=[g(x)]2+2m+9有解, 求实数m的取值范围.
19.（本题满分12分）函数 y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数, 可以将其推广为: 函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数, 给定函数f(x)=x2+x-6x+1.
(1) 求 f(x)的对称中心;
(2) 已知函数 g(x)同时满足:
① g(x+1)-1是奇函数; ② 当 x∈[0,1]时,g(x)=x2-mx+m. 若对任意的x1∈[0,2], 总存在x2∈[1,5], 使得gx1=fx2, 求实数m的取值范围.
参考答案及解析
1. 【答案】B
【解析】∵f(x)=f(x+2),x<1lg2x,x⩾1,
∴当x<1时,f(-2)=f(0)=f(2),
∴当x=2时即f(2)=lg22=1.
2. 【答案】D
【解析】集合 A=x∣y=lg2(x-2)={x∣x-2>0}={x∣x>2},B=x∣2x-2⩾0={x∣x⩾1},
所以 ∁RA={x∣x⩽2}, 所以∁RA∩B={x∣1⩽x⩽2}=[1,2].
3. 【答案】C
【解析】因为 f(x)的定义域为R, 所以mx2+2mx+4>0恒成立,
当 m=0时, 显然成立;
当 m≠0时, 有△=4m2-16m<0, 解得0综上, 实数 m的取值范围为[0,4).
4. 【答案】A
【解析】因为 a>0,b>0, 且ab=a+b+3,
所以 ab-3=a+b⩾2ab, 当且仅当a=b, 即a=b=3时取等号,
所以 (ab)2-2ab-3⩾0, 解得ab⩽-1(舍去) 或ab⩾3,
所以 ab⩾9, 当且仅当a=b,即a=b=3时取等号, 即ab的取值范围是[9,+∞).
5. 【答案】C
【解析】由图象可知: a<06. 【答案】B
【解析】根据题意得该指数衰减的学习率模型为 L=0.5∙DG18,
当 G=18时,L=0.4, 代入得,0.4=0.5∙D1818, 解得D=0.8,
由学习率衰减到 0.2 以下(不含 0.2 ), 得 0.5×0.8G18<0.2, 即0.8G18<0.4,
所以 G18>lg0.80.4, 解得G>18lg0.80.4,
因为 ≈4.1,
所以 G>73.8, 则G取 74.
7. 【答案】A
【解析】因为 a=1.20.2>1,b=lg52lg77=12, 所以a>c>b.
8. 【答案】C
【解析】
由 |lnx|-e-x=0可得|lnx|=e-x, 设函数y=|lnx|,y=1ex的图象交点的横坐标为x1,x20画出两函数图象如图,
则 lnx1=1ex1,lnx2=1ex2,
因为函数 y=1ex在R上递减,
所以且 1ex1>1ex2, 即-lnx1>lnx2, 所以lnx1+lnx2<0,即09. 【答案】CD
【解析】
A 选项, b+ma+m-ba=m(a-b)a(a+m)>0, 所以b+ma+m>ba, A 选项说法错误;
B 选项, 当 a>b>0,-bb+m>0,b+ma+m-ba=m(a-b)a(a+m)<0, 即b+ma+mC 选项, b+ca+c-b+da+d=(a-b)(c-d)(a+c)(a+d)>0, 即b+da+dD 选 项，因为 0<1+a<1+a+b,0<1+b<1+a+b, 所以a1+a>a1+a+b,b1+b>b1+a+b,
所以 a+b1+a+b10. 【答案】BCD
【解析】A. 由 2x-1=1得x=1, 此时f(1)=lga1-1=0-1=-1, 即函数f(x)过定点(1,-1), 故 A 错误,
B. 若 x>0, 则-x<0, 则f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)=x2-x,
∵f(x)是 偶 函数,∴f(-x)=x2-x=f(x), 即f(x)=x2-x, 即f(x)的解析式为f(x)=x2-|x|, 故 B 正确,
C. 若 lga12>1, 则lga12>lgaa,
若 a>1, 则12>a, 此时a不成立, 若0D. 若 2-x-2y>lnx-ln(-y), 则2-x-lnx>2y-ln(-y),
令 f(x)=2-x-lnx(x>0), 则函数f(x)在(0,+∞)单调递减,
则不等式 2-x-lnx>2y-ln(-y)等价为f(x)>f(-y)(y<0), 则x<-y, 即x+y<0, 因此 D 正确,
11. 【答案】ABC
【解析】若函数 f(x)=x2+2x+2(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)(a∈R, 且a>0)图象上存在关于y轴对称的点,
则方程 f(x)=g(-x)在x<0时有解, 即x2+2x+2=x2+ln(-x+a), 也就是方程2x+2-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解,
令 m(x)=2x+2-ln(-x+a), 则m(x)=2x+2-ln(-x+a)在其定义域上是增函数,
且 x→-∞时,m(x)→-∞,
当 x→0时,m(x)→2-lna,
∴2-lna>0, 得lna<2, 即0∴a的取值可以是下列数据中的 A, B, C.
12. 【答案】BCD
【解析】对于 A, 由题意知, a,b是函数h(x)=xx-1=1+1x-1分别与函数f(x)=2x,g(x)=lg2x图象交点的横坐标,f(x),g(x)两个函数的图象关于直线y=x对称,h(x)的图象也关于y=x对称, 故两交点a,2a,b,lg2b关于直线y=x对称, 所以a=lg2b,b=2a, 故 A 正确;
对于 B, 由 aa-1=2a=b, 可得a+b=ab即1a+1b=1, 故 B 正确;
对于 C, a-1b=lg2b-1b(2φ(2)=12, 故 C 错误;
对于 D, ∵a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab>4, 故 D 正确.
13【答案】[4,+∞) 【解析】根据题意可知 1⩽x<4⇒x14 【答案】 9 【解析】∵f(x)=2023x+ln1-x1+x+ex-e-x+3, 则f(-x)=-2023x-ln1+x1-x+e-x-ex+3,则 f(x)+f(-x)=6, 即有f(a)+f(-a)=6, 又由f(a)=-3, 则f(-a)=9.
15 【答案】[2,3)【解析】令 g(x)=x2-ax+2(a>0,a≠1),
①当 a>1时,g(x)在(-∞,1]上为减函数,∴a2⩾112-a+2>0 ∴2⩽a<3;
②当 016 【答案】②③ 【解析】对于①, 取函数 f(x)=x2,f(0)=0,0既是f(x)的不动点, 又是f(x)的次不动点，故①错误，对于②, f(x)=ex+2(x-1)=x, 令g(x)=ex+x-2, 易知g(x)为R上的增函数,又 g(0)=e0+0-2<0,g(1)=e1+1-2>0, 由零点存在性定理得g(x)在区间(0,1)存在唯一的零点, 故②正确;对于③, 当 lg124x-a∙2x+1=x时∴4x-a∙2x+1=12x, 即a=2x+12x-122x,令 2x=t,t∈[1,2],∴a=t+1t-1t2在区间[1,2]上单调递增, 故a=2x+12x-122x在[0,1]上单调递增,满足 lg124x-a∙2x+1=x有唯一解, 则1⩽a⩽94,当 lg124x-a∙2x+1=-x时,∴4x-a∙2x+1=2x, 即a=2x+12x-1,令 2x=t,t∈[1,2],∴a=t+1t-1在区间[1,2]上单调递增, 故a=2x+12x-1在[0,1]上单调递增,满足 lg124x-a∙2x+1=-x有唯一解, 则1⩽a⩽32,综上 1⩽a⩽32, 故③正确.
17 【解析】
(1) 全集 U=R, 集合A={x∣-2∴∁UB={x∣x⩽1或x⩾3},A∩∁UB=(-2,1]∪[3,4);
(2) ∁UC={x∣x⩾a},∵B∩∁UC=∅,∴a⩾3,
∴实数a的取值范围是[3,+∞).
18. 【解析】(1) ∵f(x)=ax2+bx, 且f(1)=3,f(2)=5,
∴a+b=34a+b2=5,∴a=1b=2,则 f(x)=x2+2x;
(2) f(x)在(1,+∞)上单调递增, 证明如下:
设 1⩽x1 fx1-fx2=x12+2x1-x22-2x2=x1-x2x1+x2+2x2-x1x1x2=x1-x2x1+x2-2x1x2,
∵1⩽x1∴x1x2>1,x1-x2<0,x1+x2>2,2x1x2<2,
∴x1+x2-2x1x2>0,
∴fx1-fx2<0,∴fx1∴f(x)在[1,+∞)上是增函数.
19 【解析】(1) 设 f(n)为前n年的总盈利额，单位: 万元,
由题意可得 f(n)=95n-10n2-5n-90=-10n2+100n-90=-10(n-1)(n-9),
由 f(n)>0得1又 n∈N*, 所以该设备从第 2 年开始实现总盈利;
(2) 方案二更合理，理由如下：
方案一: 由 (1) 知, 总盈利额 f(n)=-10n2+100n-90=-10(n-5)2+160,
当 n=5时,f(n)取得最大值 160 ; 此时处理掉设备, 则总利润为160+20=180万元,
方案二：由 (1) 可得, 平均盈利额为 f(n)n=-10n2+100n-90n=-10n+9n+100⩽100-20n∙9n=40,
当且仅当 n=9n, 即n=3时, 等号成立,
即 n=3时, 平均盈利额最大, 此时f(n)=120, 此时处理掉设备, 总利润为120+70=190万元,
综上，方案二的总利润高于方案一，故方案二更合适．
20 【解析】(1) f(x)=lg2x-2lg4x-12=12lg2x2-32lg2x+1,2⩽x⩽4,
令 t=lg2x, 则y=12t2-32t+1=12t-322-18,
∵2⩽x⩽4,∴1⩽t⩽2,
当 t=32时,ymin =-18, 当t=1, 或t=2时,ymax =0,
∴函数的值域是-18,0;
(2) 令 t=lg2x, 得12t2-32t+1>mt对于2⩽t⩽4恒成立,
∴m<12t+1t-32对于t∈[2,4]恒成立,
设 g(t)=12t+1t-32,t∈[2,4],∴g(t)=12t+1t-32=12t+2t-32,
∵g(t)=12t+1t-32在[2,4]上为增函数,
∴当t=2时,g(t)min =g(2)=0,
∴m<0.
21. 【解析】(1) 根据题意，∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 且f(x)-g(x)=21-x①,
∴f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x),
∴f(-x)-g(-x)=21+x, 即f(x)+g(x)=21+x②,
由①+②解得f(x)=2x+2-x, ①-②解得g(x)=2x-2-x;
(2) 方程 mf(x)=[g(x)]2+2m+9有解,
则 m2x+2-x=22x+2-2x-2+2m+9=2x+2-x2+2m+5有解,
令 t=2x+2-x⩾2, 当且仅当x=0时取等号,
∴mt=t2+2m+5在[2,+∞)有解, 即m(t-2)=t2+5,
当 t=2时, 不成立,
当 t>2时,m=t2+5t-2=(t-2)2+4(t-2)+9t-2=(t-2)+9t-2+4⩾2(t-2)∙9t-2+4=6+4=10,
当且仅当 t=5时取等号,
故 m的取值范围为[10,+∞).
22【解析】(1) f(x)=x2+x-6x+1=(x+1)2-(x+1)-6x+1=x-6x+1,
设 f(x)的对称中心为(a,b),
由题意得函数 y=f(x+a)-b为奇函数,则f(-x+a)-b=-f(x+a)-b为奇函数,
则 f(-x+a)-b=-f(x+a)+b, 即(x+a)-6x+a+1+(-x+a)-6-x+a+1-2b=0,
整理得(a-b)x2-(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0,
∴a-b=(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0, 解得a=-1,b=-1,
∴函数f(x)的对称中心为(-1,-1);
(2) ∵对任意的x1∈[0,2], 总存在x2∈[1,5], 使得gx1=fx2,
∴函数g(x)的值域是函数f(x)的值域的子集,
∵函数f(x)=x-6x+1在[1,5]上是增函数,
∴f(x)的值域为[-2,4],
设函数 g(x)的值域为集合A,
∵函数g(x+1)-1是奇函数,∴函数g(x)关于(1,1)对称,
∵g(1)=1,∴函数g(x)恒过定点(1,1),
当 m2⩽0, 即m⩽0,g(x)在[0,1]上递增, 则函数g(x)在(1,2]上是增函数,
∴函数g(x)在[0,2]上递增,
又 g(0)=m,g(2)=2-g(0)=2-m,
∴g(x)的值域为[m,2-m], 即A=[m,2-m],
又 A=[m,2-m]⊆[-2,4],
∴m⩽2-mm⩾-22-m⩽4且m⩽0, 解得-2⩽m⩽0,
当 0∴此时g(x)min =ming(2),gm2,g(x)max =maxg(0),g2-m2,
要使 A⊆[-2,4], 只需要g(2)=2-g(0)=2-m⩾-2gm2=-m24+m⩾-2g(0)=m⩽4g2-m2=2-gm2=m24-m+2⩽40当 m2⩾1, 即m⩾2时,g(x)在(0,1]上单调递减, 则函数g(x)在(1,2]上也是减函数,
∴函数g(x)在[0,2]上是减函数, 则A=[2-m,m]⊆[-2,4],
∴m⩾22-m⩾-2m⩽42-m⩽m, 解得2⩽m⩽4,
综上所求, 实数 m的取值范围是[-2,4].