2023-2024学年北京市数学九上期末学业水平测试试题

这是一份2023-2024学年北京市数学九上期末学业水平测试试题，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，在下列命题中，真命题是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( )
A．B．
C．D．
2．下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ）
A．水中捞月B．拔苗助长C．守株待兔D．瓮中捉鳖
3．关于的方程的根的情况，正确的是（ ）．
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．在下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角B．同位角相等
C．三角形的外角和是D．角平分线上的点到角的两边相等
6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．40°B．80°C．100°D．120°
8．如图，点A、点B是函数y=的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积是4，则k的值是（ ）
A．-2B．±4C．2D．±2
9．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABEB．△ACFC．△ABDD．△ADE
10．如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在平面直角坐标系中，CO、CB是⊙D的弦，⊙D分别与轴、轴交于B、A两点，∠OCB＝60º，点A的坐标为（0，1），则⊙D的弦OB的长为____________。
12．掷一枚硬币三次，正面都朝上的概率是__________．
13．点（5，﹣）关于原点对称的点的坐标为__________．
14．某物体对地面的压强P（Pa）与物体和地面的接触面积S（m2）成反比例函数关系（如图），当该物体与地面的接触面积为0.25m2时，该物体对地面的压强是______Pa．
15．请写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为2，﹣2，这个方程可以是_____．
16．如图，已知∠AOB＝30°，在射线OA上取点O1，以点O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以点O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以点O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切……，若⊙O1的半径为1，则⊙On的半径是______________．
17．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是_____．
18．的半径为4，圆心到直线的距离为2，则直线与的位置关系是______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）.
20．（6分）某学校打算用篱笆围成矩形的生物园饲养小兔
（1）若篱笆的长为16m，怎样围可使小兔的活动范围最大；
（2）求证：当矩形的周长确定时，则一边长为周长的 时，矩形的面积最大.
21．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
22．（8分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
(1)把表格填写完整；
(2)根据上表填空：
①抛物线与轴的交点坐标是________和__________；
②在对称轴右侧，随增大而_______________；
③当时，则的取值范围是_________________；
(3)请直接写出抛物线的解析式．
23．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）； （2）．
24．（8分）山西是我国酿酒最早的地区之一，山西酿酒业迄今为止已有余年的历史.在漫长的历史进程中，山西人民酿造出品种繁多、驰名中外的美酒佳酿，其中以汾酒、竹叶青酒最为有名.某烟酒超市卖有竹叶青酒，每瓶成本价是元，经调查发现，当售价为元时，每天可以售出瓶，售价每降低元，可多售出瓶（售价不高于元）
（1）售价为多少时可以使每天的利润最大？最大利润是多少？
（2）要使每天的利润不低于元，每瓶竹叶青酒的售价应该控制在什么范围内？
25．（10分）如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
26．（10分）抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D 在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D’的坐标;
（3）在（2）的条件下，连结BD，问在x轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】直接关键二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
【详解】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为：
故选：B
本题考查的是二次函数的平移，掌握其平移规律是关键，需注意：二次函数平移时必须化成顶点式.
2、D
【分析】必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断
【详解】解： A选项，不可能事件；
B选项，不可能事件；
C选项，随机事件；
D选项，必然事件；
故选：D
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义是本题的关键
3、A
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况.
【详解】解：∵，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根；
故选择：A.
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式.
4、C
【分析】先根据圆周角定理求出∠ACD的度数，再由直角三角形的性质可得出结论．
【详解】∵，
∴∠ABD=∠ACD =40°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BCD=∠ACB -∠ACD =90°-40°=50°．
故选：C．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
5、C
【分析】根据对顶角的定义、同位角的定义、三角形的外角和、角平分线的性质逐项判断即可.
【详解】A、由对顶角的定义“如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角”可得，对顶角必相等，但相等的角未必是对顶角，此项不是真命题
B、只有当两直线平行，同位角必相等，此项不是真命题
C、根据内角和定理可知，任意多边形的外角和都为，此项是真命题
D、由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角的两边距离相等，此项不是真命题
故选：C.
本题考查了对顶角的定义、同位角的定义、三角形的外角和、角平分线的性质，熟记各定义和性质是解题关键.
6、A
【解析】试题分析：因为=2，所以与是同类二次根式，所以A正确；因为与不是同类二次根式，所以B错误；因为，所以与不是同类二次根式，所以B错误；因为，所以与不是同类二次根式，所以B错误；故选A．
考点：同类二次根式
7、C
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A=180°，代入求出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A=180°，
∵∠A=80°，
∴∠C=100°，
故选：C．
本题考查了圆内接四边形的性质的应用.熟记圆内接四边形对角互补是解决此题的关键.
8、C
【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴S△AOD=S△BOE=k，
∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∴S矩形OECD=1△AOD=k，
∴S△ABC=S△AOD+S△BOE+S矩形OECD=1k=4，解得k=1．
故选C．
本题考查反比例函数的性质．
9、B
【解析】试题分析：A．OA=OB=OE,所以点O为△ABE的外接圆圆心；
B．OA=OC≠OF，所以点不是△ACF的外接圆圆心；
C．OA=OB=OD,所以点O为△ABD的外接圆圆心；
D．OA=OD=OE,所以点O为△ADE的外接圆圆心；
故选B
考点：三角形外心
10、C
【分析】根据题意可证明，再利用相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出对应边的比值．
【详解】解：∵
∴
∴根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可知对应边的比为．
故选：C．
本题考查的知识点是相似三角形的性质，主要有①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三角形面积的比等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】首先连接AB，由∠AOB=90°，可得AB是直径，又由∠OAB=∠OCB=60°，然后根据含30°的直角三角形的性质，求得AB的长，然后根据勾股定理，求得OB的长．
【详解】解：连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∵∠OAB=∠OCB=60°，
∴∠ABO=30°，
∵点A的坐标为（0，1），
∴OA=1，
∴AB=2OA=2，
∴OB=，
故选：C．
此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
12、
【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式，即可求解.
【详解】画树状图如下：
∵掷一枚硬币三次，共有8种可能，正面都朝上只有1种，
∴正面都朝上的概率是：.
故答案是：
本题主要考查求简单事件的概率，画出树状图，是解题的关键.
13、（-5，）
【分析】让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．
【详解】∵两点关于原点对称，
∴横坐标为-5，纵坐标为，
故点P（5，−）关于原点对称的点的坐标是：（-5，）．
故答案为：（-5，）．
此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．
14、1
【分析】直接利用函数图象得出函数解析式，进而求出答案．
【详解】设P＝，把（0.5，2000）代入得：
k＝1000，
故P＝，
当S＝0.25时，
P＝＝1（Pa）．
故答案为：1．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析会死是解题关键．
15、x2﹣4＝0
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求出答案
【详解】设方程x2﹣mx+n＝0的两根是2，﹣2，
∴2+（﹣2）＝m，2×（﹣2）＝n，
∴m＝0，n＝﹣4，
∴该方程为：x2﹣4＝0，
故答案为：x2﹣4＝0
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根x1，x2与系数的关系：x1+x2=，x1x2=，是解题的关键.
16、2n−1
【分析】
作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，易找出圆半径的规律，即可解题．
【详解】
解：作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，
∵∠AOB＝30°，
∴OO1＝2CO1，OO2＝2DO2，OO3＝2EO3，
∵O1O2＝DO2，O2O3＝EO3，
∴圆的半径呈2倍递增，
∴⊙On的半径为2n−1 CO1，
∵⊙O1的半径为1，
∴⊙O10的半径长＝2n−1，
故答案为：2n−1．
本题考查了圆切线的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中找出圆半径的规律是解题的关键．
17、1或﹣1
【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．
【详解】当x≥﹣x，即x≥0时，
∴x=x2﹣6，
即x2﹣x﹣6=0，
(x﹣1)(x+2)=0，
解得：x1=1，x2=﹣2(舍去)；
当x＜﹣x，即x＜0时，
∴﹣x=x2﹣6，
即x2+x﹣6=0，
(x+1)(x﹣2)=0，
解得：x1=﹣1，x4=2(舍去)．
故方程max{x，﹣x}=x2﹣6的解是x=1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
考查了解了一元二次方程-因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．
18、相交
【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为2，
∵4＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交.
本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切.
三、解答题(共66分)
19、（1）、（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A所经过的路程是以点C为圆心，AC长为半径的扇形的弧长．
试题解析：（1）A（0,4）C（3,1）
（2）如图所示：
（3）根据勾股定理可得：AC=3，则．
考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式．
20、 (1)4;(2)证明见详解.
【分析】（1）设长为x，面积为y，利用矩形的面积求法得出y与x之间的函数关系式进行分析即可；
（2）设周长为4m，一边长为x，面积为y，列出关系式进行验证求证即可.
【详解】解：（1）长为x，宽为8-x，列关系式为，配方可得，可得当x=4时，面积y取最大值；
（2）设周长为4m，一边长为x，列出函数关系式即可知当x=m时，即一边长为周长的 时，矩形的面积最大 ．
本题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
21、，在数轴上表示见解析.
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解
解不等式①得；
解不等式②得；
把解集在数轴上表示为
所以不等式组的解集为.
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22、（1）2；（2）①抛物线与轴的交点坐标是和；②随增大而减小；③的取值范围是；（2）．
【分析】（1）利用表中对应值的特征和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则x=0和x=-2时，y的值相等，都为2；
（2）①利用表中y=0时x的值可得到抛物线与x轴的交点坐标；
②设交点式y=a（x+2）（x-1），再把（0，2）代入求出a得到抛物线解析式为y=-x2-2x+2，则可判断抛物线的顶点坐标为（-1，1），抛物线开口向下，然后根据二次函数的性质解决问题；③由于x=-2时，y=2；当x=2时，y=-5，结合二次函数的性质可确定y的取值范围；
（2）由（2）得抛物线解析式．
【详解】解：（1）∵x=-2，y=0；x=1，y=0，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴x=0和x=-2时，y=2；
故答案是：2；
（2）①∵x=-2，y=0；x=1，y=0，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（-2，0）和（1，0）；
故答案是：（-2，0）和（1，0）；
②设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-1），
把（0，2）代入得2=-2a，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+2）（x-1），即y=-x2-2x+2，
抛物线的顶点坐标为（-1，1），抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x增大而减小；
故答案是：减小；
③当x=-2时，y=2；当x=2时，y=-1-1+2=-5，当x=-1，y有最大值为1，
∴当-2＜x＜2时，则y的取值范围是-5＜y≤1．
故答案是：-5＜y≤1；
（2）由（2）得抛物线解析式为y=-x2-2x+2，
故答案是：y=-x2-2x+2．
本题考查了抛物线解析式的求法及与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点问题转化为关于x的一元二次方程的问题．也考查了二次函数的性质．
23、（1）；（2）
【分析】（1）利用提取公因式的方法因式分解，然后解一元二次方程即可；
（2）利用平方差公式分解因式，然后解一元二次方程即可．
【详解】（1）原方程变形为 ，
或 ，
解得 ；
（2）原方程变形为：，
即，
或 ，
解得．
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
24、（1）每瓶竹叶青酒售价为元时，利润最大，最大利润为元；（2）要使每天利润不低于元，每瓶竹叶青酒售价应控制在元到元之间.
【分析】（1）设每瓶竹叶青酒售价为元，每天的销售利润为元，根据“当售价为元时，每天可以售出瓶，售价每降低元，可多售出瓶”即可列出二次函数，再整理成顶点式即可得出；
（2）由题意得，再根据二次函数的性质即可得出.
【详解】解：（1）设每瓶竹叶青酒售价为元，每天的销售利润为元.则：
，
整理得：.
，
当时，取得最大值.
每瓶竹叶青酒售价为元时，利润最大，最大利润为元.
（2）每天的利润为元时，
.
解得：，.
，由二次函数图象的性质可知，
时，.
要使每天利润不低于元，每瓶竹叶青酒售价应控制在元到元之间.
本题考查了二次函数的应用，根据题意找到关系式是解题的关键.
25、 (1)y=－；y=－x－2；(2)6
【分析】（1）先把点A（-4，2）代入，求得“m”的值得到反比例函数的解析式，再把点B（n，-4）代入所得的反比例函数的解析式中求得“n”的值，从而可得点B的坐标，最后把A、B的坐标代入中列方程组解得“k、b”的值即可得到一次函数的解析式；
（2）设直线AB和x轴交于点C，先求出点C的坐标，再由S△AOB=S△AOC+S△BOC，即可计算出△AOB的面积；
【详解】（１）把点A（-4，2）代入得：，解得：，
∴反比例函数的解析式为：.
把点B（n，-4）代入得：，
解得：，
∴点B的坐标为（2，-4）.
把点A、B的坐标代入得：，
解得，
∴一次函数的解析式是；
（2）如图，设AB与x轴的交点为点C，
在中由可得：，解得：.
∴点C的坐标是（-2，0）.
∴OC=2，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=.
26、（1）
（2）（0，-1）
（3）（1,0）（9,0）
【解析】（1）将A（−1，0）、C（0，−3）两点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx−3a中，列方程组求a、b的值即可；
（2）将点D（m，−m−1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；
（3）分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．
【详解】解：（1）将A（−1，0）、C（0，−3）代入抛物线y＝ax2＋bx−3a中，
得 ，
解得
∴y＝x2−2x−3；
（2）将点D（m，−m−1）代入y＝x2−2x−3中，得
m2−2m−3＝−m−1，
解得m＝2或−1，
∵点D（m，−m−1）在第四象限，
∴D（2，−3），
∵直线BC解析式为y＝x−3，
∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝3−2＝1，
∴点D关于直线BC对称的点D'（0，−1）；
（3）存在．满足条件的点P有两个．
①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，
∵直线BD解析式为y＝3x−9，
∵直线CP过点C，
∴直线CP的解析式为y＝3x−3，
∴点P坐标（1，0），
②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，
∴∠P′CB＝∠D′BC，
根据对称性可知∠D′BC＝∠CBD，
∴∠P′CB＝∠CBD，
∵直线BD′的解析式为
∵直线CP′过点C，
∴直线CP′解析式为，
∴P′坐标为（9，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（1，0）或（9，0）．
本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．
-3
-2
-1
0
1
0
4
3
0