河南省许昌高级中学2023-2024学年高一上学期期末数学模拟试卷

这是一份河南省许昌高级中学2023-2024学年高一上学期期末数学模拟试卷，共19页。试卷主要包含了函数f=lg2的定义域是，已知函数f等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|y=2x-x2，集合B＝{y|y＝2x，x∈R}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{x|x＞2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜0}
2．函数f(x)=lg2(1-x)的定义域是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（0，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0]
3．三个数lgπ0.3，3π，sinπ10的大小关系是（ ）
A．lgπ0.3＜sinπ10＜3π
B．lgπ0.3＜3π＜sinπ10
C．sinπ10＜lgπ0.3＜3π
D．3π＜lgπ0.3＜sinπ10
4．若“∃x∈[1，2]，使2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，22]B．[22，92]C．（﹣∞，3]D．[92，+∞）
5．已知函数f（x）＝lnx-1x+1+asinx+2，且f（m）＝5，则f（﹣m）＝（ ）
A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．3
6．若x，y是正数，则(x+12y)2+(y+12x)2的最小值是（ ）
A．3B．72C．4D．92
7．将函数y＝2sinωx（ω＞0）的图象向左平移φω(0＜φ≤π2)个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）的图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为π，若g（x）＞﹣1对任意x∈(-π12，π3)恒成立，则φ的取值范围是（ ）
A．[π12，π2]B．[π6，π3]C．[π12，π3]D．[π6，π2]
8．已知函数f（x）=2-|x|，x≤2(x-2)2，x＞2，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
A．（74，+∞）B．（﹣∞，74）C．（0，74）D．（74，2）
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣3，4），则（ ）
A．a＜0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＞﹣12}
C．函数y＝ax2+bx+c的零点为（﹣3，0）和（4，0）
D．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为(-∞，-14)∪(13，+∞)
（多选）10．已知函数f（x）=-x2-2x，x≤0|lg2x|，x＞0，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣1B．x3x4＝1
C．1＜x4＜2D．0＜x1x2x3x4＜1
（多选）11．已知正数x、y、z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（ ）
A．x+y＞(32+2)zB．xy＞2z2
C．1x+12y=1zD．3x＞4y＞6z
（多选）12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将y＝f（x）的图象上所有点向右平移2π3个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x）为偶函数，且最小正周期为π2，则下列说法正确的是（ ）
A．y＝f（x）的图象关于(π12，0)对称
B．f（x）在(0，5π12)上单调递减
C．g（x）≥12的解为[π6+kπ2，π3+kπ2](k∈Z)
D．方程f(x)=g(x2)在(0，5π4)上有2个解
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．已知x＞0，y＞﹣1，且x+y＝1，则x2+3x+y2y+1的最小值为 ．
14．已知函数f(x)=2|x|，x≤0|lnx|，x＞0，则函数g（x）＝f2（x）﹣3f（x）+2零点的个数是 ．
15．已知函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则实数k的最大值是 ．
16．若两个锐角α，β满足1+cs2α2csα+sin2α=1-cs2βsin2β，则cs(α+2β+π3)= ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）化简求值：
（1）0.2552×0.5-4-(338)-23-(3-π)0+0.064-13+4(-2)4；
（2）lg39+12lg25+lg2-lg49×lg38+2lg23-1+lne．
18．（12分）已知cs(α-π3)=33+16sinα．
（1）求tanα的值；
（2）求2sin(2α+π2)-sin(2α+π)的值．
19．（12分）已知f（x）＝2sinxcsx+23cs（x-π4）cs（x+π4）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间：
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣4k﹣2sin2x在区间[π12，7π12]上有唯一零点，求实数k的取值范围．
20．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点P）开始计算时间．
（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求t＝13时，点P到水面的距离；
（2）在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有多长？
21．（12分）已知函数f（x）＝lg3（x2﹣2ax+3a）．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求a的取值范围；
（3）若f（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围．
22．（12分）如果函数f（x）存在零点α，函数g（x）存在零点β，且|α﹣β|＜n，则称f（x）与g（x）互为“n度零点函数”．
（1）证明：函数y＝e1﹣x﹣1与y=lg2x+32互为“1度零点函数”．
（2）若函数f(x)=x2+2x+4a+1，x＜-1，lga(ax+2a)，x≥-1（a＞14，且a≠1）与函数y＝ln（2﹣x）互为“2度零点函数”，且函数g（x）＝|f（x）|﹣|x﹣2|有三个零点，求a的取值范围．
2023-2024学年河南省高一（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|y=2x-x2，集合B＝{y|y＝2x，x∈R}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{x|x＞2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜0}
【解答】解：∵全集U＝R，
集合A＝{x|y=2x-x2}＝{x|2x﹣x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，
∴∁RA＝{x|x＜0，或x＞2}，
∵B＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，∴（∁RA）∩B＝{x|x＞2}．
故选：A．
2．函数f(x)=lg2(1-x)的定义域是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（0，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0]
【解答】解：由1-x＞0lg2(1-x)≥0，得1-x＞01-x≥1，解得x≤0，所以函数的定义域为（﹣∞，0]．
故选：D．
3．三个数lgπ0.3，3π，sinπ10的大小关系是（ ）
A．lgπ0.3＜sinπ10＜3π
B．lgπ0.3＜3π＜sinπ10
C．sinπ10＜lgπ0.3＜3π
D．3π＜lgπ0.3＜sinπ10
【解答】解：∵lgπ0.3＜lgπ1＝0，3π＞30＝1，0＜sinπ10＜1，∴lgπ0.3＜sinπ10＜3π．
故选：A．
4．若“∃x∈[1，2]，使2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，22]B．[22，92]C．（﹣∞，3]D．[92，+∞）
【解答】解：若“∃x∈[1，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，
即“∃x∈[1，2]，使得λ＞2x+1x成立”是假命题，
故∀x∈[1，2]，λ≤2x+1x恒成立，
令f（x）＝2x+1x，x∈[1，2]，故f（x）在[1，2]递增，f（x）min＝f（1）＝3，
∴λ≤3，
故选：C．
5．已知函数f（x）＝lnx-1x+1+asinx+2，且f（m）＝5，则f（﹣m）＝（ ）
A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．3
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lnx-1x+1+asinx+2，
则f（﹣x）＝ln-x-1-x+1+asin（﹣x）+2＝﹣lnx-1x+1-asinx+2，则有f（x）+f（﹣x）＝4，
故f（m）+f（﹣m）＝4，若f（m）＝5，则f（﹣m）＝﹣1，
故选：C．
6．若x，y是正数，则(x+12y)2+(y+12x)2的最小值是（ ）
A．3B．72C．4D．92
【解答】解：∵x，y是正数，∴(x+12y)2+(y+12x)2≥2（xy+14xy+1），
等号成立的条件是x+12y=y+12x，解得x＝y，①
又xy+14xy≥2xy×14xy=1等号成立的条件是xy=14xy②
由①②联立解得x＝y=22，即当x＝y=22时(x+12y)2+(y+12x)2的最小值是4
故选：C．
7．将函数y＝2sinωx（ω＞0）的图象向左平移φω(0＜φ≤π2)个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）的图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为π，若g（x）＞﹣1对任意x∈(-π12，π3)恒成立，则φ的取值范围是（ ）
A．[π12，π2]B．[π6，π3]C．[π12，π3]D．[π6，π2]
【解答】解：将函数y＝2sinωx（ω＞0）的图象向左平移φω(0＜φ≤π2)个单位长度后，
再将所得的图象向下平移一个单位长度，
得g（x）＝2sinω（x+φω）﹣1＝2sin（ωx+φ）﹣1，
又y＝g（x）的图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为π，得T＝π，即ω=2ππ=2．
∴g（x）＝2sin（2x+φ）﹣1，
当x∈(-π12，π3)时，2x+φ∈(-π6+φ，2π3+φ)，
∵g(x)＞-1，0＜φ≤π2，∴-π6+φ≥02π3+φ≤π，解得π6≤φ≤π3．∴φ的取值范围是[π6，π3]．
故选：B．
8．已知函数f（x）=2-|x|，x≤2(x-2)2，x＞2，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
A．（74，+∞）B．（﹣∞，74）C．（0，74）D．（74，2）
【解答】解：∵g（x）＝b﹣f（2﹣x），
∴y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）＝0，得f（x）+f（2﹣x）＝b，
设h（x）＝f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2+x+x2，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2﹣x+2﹣|2﹣x|＝2﹣x+2﹣2+x＝2，
若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|＝x2﹣5x+8．
即h（x）=x2+x+2，x≤02，0＜x≤2x2-5x+8，x＞2，
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）＝2+x+x2＝（x+12）2+74≥74，
当x＞2时，h（x）＝x2﹣5x+8＝（x-52）2+74≥74，
故当b=74时，h（x）＝b，有两个交点，
当b＝2时，h（x）＝b，有无数个交点，
由图象知要使函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，
即h（x）＝b恰有4个根，
则满足74＜b＜2，
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣3，4），则（ ）
A．a＜0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＞﹣12}
C．函数y＝ax2+bx+c的零点为（﹣3，0）和（4，0）
D．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为(-∞，-14)∪(13，+∞)
【解答】解：关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣3，4），
所以a＜0，且﹣3和4是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根，
由韦达定理得-3+4=-ba-3×4=ca，则b＝﹣a，c＝﹣12a，所以A正确；
不等式bx+c＞0即为﹣ax﹣12a＞0，解得x＞﹣12，所以B正确；
因为﹣3和4是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根，
函数y＝ax2+bx+c的零点为﹣3和4，故C错误；
不等式cx2﹣bx+a＞0即为﹣12ax2+ax+a＞0，即12x2﹣x﹣1＞0，解得x＜-14或x＞13，
所以不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为(-∞，-14)∪(13，+∞)，所以D正确．
故选：ABD．
（多选）10．已知函数f（x）=-x2-2x，x≤0|lg2x|，x＞0，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣1B．x3x4＝1
C．1＜x4＜2D．0＜x1x2x3x4＜1
【解答】解：由函数f（x）=-x2-2x，x≤0|lg2x|，x＞0，作出其函数图象：
由图可知，x1+x2＝﹣2，﹣2＜x1＜﹣1；
当y＝1时，|lg2x|＝1，有 x=12，2；
所以12＜x3＜1＜x4＜2；
由f（x3）＝f（x4）有|lg2x3|＝|lg2x4|，即lg2x3+lg2x4＝0；
所以x3x4＝1；
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1（﹣2﹣x1）=-(x1+1)2+1∈（0，1）；
故选：BCD．
（多选）11．已知正数x、y、z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（ ）
A．x+y＞(32+2)zB．xy＞2z2
C．1x+12y=1zD．3x＞4y＞6z
【解答】解：x、y、z＞0，令3x＝4y＝6z＝t（t＞1），则x＝lg3t，y＝lg4t，z＝lg6t．
x+yz=xz+yz=lg3tlg6t+lg4tlg6t=lg6lg3+lg62lg2=32+（lg2lg3+lg32lg2）＞32+2lg2lg3×lg32lg2=32+2，故A正确；
xyz2=xz⋅yz=lg6lg3•lg62lg2=(lg2+lg3)22lg2lg3=1+12（lg2lg3+lg3lg2）＞1+lg2lg3×lg3lg2=2，故B正确；
1x+12y=1lg3t+12lg4t=lgt3+12lgt4＝lgt6=1z，故C正确；
4x=4lgt3＝lgt81，3y=3lgt4＝lgt64，因为t＞1，所以4x＞3y，即3x＜4y，故D错误．
故选：ABC．
（多选）12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将y＝f（x）的图象上所有点向右平移2π3个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x）为偶函数，且最小正周期为π2，则下列说法正确的是（ ）
A．y＝f（x）的图象关于(π12，0)对称 B．f（x）在(0，5π12)上单调递减
C．g（x）≥12的解为[π6+kπ2，π3+kπ2](k∈Z) D．方程f(x)=g(x2)在(0，5π4)上有2个解
【解答】解：由f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象上所有点向右平移2π3个单位长度，
可得y＝sin（ωx-2πω3+φ），然后横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，可得y＝sin（2ωx-2πω3+φ），
所以g（x）＝sin（2ωx-2πω3+φ），∵g（x）为偶函数，且最小正周期为π2，可得ω＝2，φ=5π6；
那么f（x）＝sin（2x+5π6），
对于A：当x=π12时，f（π12）＝0，可得y＝f（x）的图象关于(π12，0)对称，∴A正确；
对于B：令π2≤2x+5π6≤3π2，解得-π6≤x≤π3，可知f（x）在(0，5π12)上不是单调递减，∴B错误；
对于C：g（x）≥12，即﹣cs4x≥12，即2π3+2kπ≤4x≤4π3+2kπ，k∈Z
解得π6+kπ2≤x≤π3+kπ2，∴C正确；
对于D：f（x）＝g（x2），即sin（2x+5π6）＝﹣cs2x，即sin（2x+5π6）+cs2x＝0
∴32cs2x-32sin2x=3cs（2x+π3）＝0，即cs（2x+π3）＝0，∵x∈(0，5π4)，∴2x+π3∈（π3，3π），
根据余弦函数的图像，可得方程f(x)=g(x2)在(0，5π4)上有3个解．∴D错误；故选：AC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．已知x＞0，y＞﹣1，且x+y＝1，则x2+3x+y2y+1的最小值为 2+3 ．
【解答】x2+3x+y2y+1=x+3x+(y+1)2-2(y+1)+1y+1=x+3x+（y+1）+1y+1-2
=3x+1y+1=12（3x+1y+1）（x+y+1）=12（3+1+3(y+1)x+xy+1）≥12（4+23）＝2+3，
当且仅当3(y+1)x=xy+1时，即x＝3-3，y=3-2时取等号，故x2+3x+y2y+1最小值为2+3，
14．已知函数f(x)=2|x|，x≤0|lnx|，x＞0，则函数g（x）＝f2（x）﹣3f（x）+2零点的个数是 6 ．
【解答】解：令g（x）＝0，即f2（x）﹣3f（x）+2＝0，解得f（x）＝1或f（x）＝2，
作出函数f（x）的图象如图，
由图可知，方程f（x）＝1有3个实数解，f（x）＝2有3个实数解，且均互不相同，
所以g（x）＝0的实数解有6个，所以函数g（x）＝f2（x）﹣3f（x）+2零点的个数是6个．
15．已知函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则实数k的最大值是 6 ．
【解答】解：∵函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，
∴m﹣2＝1，m＝3，f（x）＝x3，故函数f（x）为奇函数，且在R上单调递增．
若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则f（k2+3）≤f（8k﹣9），∴k2+3≤8k﹣9，求得2≤k≤6，
实数k的最大值为6，
16．若两个锐角α，β满足1+cs2α2csα+sin2α=1-cs2βsin2β，则cs(α+2β+π3)= -32 ．
【解答】解：因为两个锐角α，β满足1+cs2α2csα+sin2α=1-cs2βsin2β，所以2cs2α2csα+2sinαcsα=2sin2β2sinβcsβ，
即csα1+sinα=sinβcsβ=tanβ，所以cs2α2-sin2α2(sinα2+csα2)2=csα2-sinα2csα2+sinα2=tanβ，即1-tanα21+tanα2=tan（π4-α2）＝tanβ，
因为α，β为锐角，所以0＜π4-α2＜π4，0＜β2＜π4，所以π4-α2=β，所以α+2β=π2，
则cs(α+2β+π3)=-sinπ3=-32．
故答案为：-32．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）化简求值：
（1）0.2552×0.5-4-(338)-23-(3-π)0+0.064-13+4(-2)4；
（2）lg39+12lg25+lg2-lg49×lg38+2lg23-1+lne．
【解答】解：（1）原式=2-5×24-49-1+52+2=12-49-1+52+2=329．
（2）原式=4+1-lg23×3lg32+32+12=4+1-3+2=4．
18．（12分）已知cs(α-π3)=33+16sinα．
（1）求tanα的值；（2）求2sin(2α+π2)-sin(2α+π)的值．
【解答】解：（1）因为cs(α-π3)=33+16sinα，
所以12csα+32sinα=33+16sinα，即12csα=16sinα，所以tanα=sinαcsα=1216=3．
（2）2sin(2α+π2)-sin(2α+π)=2cs2α+sin2α
=2(cs2α-sin2α)+2sinαcsαsin2α+cs2α=2(1-tan2α)+2tanαtan2α+1=2×(1-32)+2×332+1=-1．
19．（12分）已知f（x）＝2sinxcsx+23cs（x-π4）cs（x+π4）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间：
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣4k﹣2sin2x在区间[π12，7π12]上有唯一零点，求实数k的取值范围．
【解答】解：因为f（x）＝2sinxcsx+23cs（x-π4）cs（x+π4）
＝sin2x+23sin（x+π4）cs（x+π4）＝sin2x+3sin（2x+π2） ＝sin2x+3cs2x＝2sin（2x+π3），
（1）令2x+π3∈[2kπ+π2，2kπ+3π2]k∈Z，解得x∈[kπ+π12，kπ+7π12]k∈Z，
故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+π12，kπ+7π12]k∈Z；
（2）函数g（x）在区间[π12，7π12]上有唯一零点，
等价于方程g（x）＝0即f（x）＝2（2k+sin2x）在[π12，7π12]上有唯一实数根，
所以2k＝sin（2x+π3）﹣sin2x=-12sin2x+32cs2x＝cs（2x+π6），
设h（x）＝cs（2x+π6），x∈[π12，7π12]，则2x+π6∈[π3，4π3]，
根据函数h（x）在x∈[π12，7π12]上的图象，要满足y＝2k与y＝h（x）有唯一交点，
只需-12＜2k≤12或2k＝﹣1，解得-14＜k≤14或k=-12，故实数k的取值范围为（-14，14]∪{-12}．
20．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点P）开始计算时间．
（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求t＝13时，点P到水面的距离；
（2）在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有多长？
【解答】解：（1）设P（x，y），则点P到水面的距离h＝2+y；由题可知，OP0与Ox的夹角为π6；
OP在时间t转过的角度为5×2π60×t=π6t；由图可知，点P的纵坐标y＝4sin（-π6+π6t）；
因此，则点P到水面的距离h＝2+y＝4sin（π6t-π6）+2；
当t＝13时，h＝4sin（π6×13-π6）+2＝2，所以点P到水面的距离为2m．
（2）根据题意，点P到水面的距离不低于4m，应满足：
4sin（π6t-π6）+2≥4，得sin（π6t-π6）≥12；
因为筒车转动一圈需要12秒，从P0开始转动一圈，则0≤t≤12，
得-π6≤π6t-π6≤11π6，所以π6≤π6t-π6≤5π6，
解得2≤t≤6；因此在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有4s．
21．（12分）已知函数f（x）＝lg3（x2﹣2ax+3a）．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求a的取值范围；
（3）若f（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围．
【解答】解：（1）若f（x）的定义域为R，则x2﹣2ax+3a＞0对任意实数x恒成立，
则Δ＝4a2﹣12a＜0，即0＜a＜3，∴a的取值范围是（0，3）；
（2）若f（x）的值域为R，则x2﹣2ax+3a能够取到大于0的所有实数，
则Δ＝4a2﹣12a≥0，即a≤0或a≥3，∴a的取值范围是（﹣∞，0]∪[3，+∞）；
（3）若f（x）在[1，2]上单调，则a≤11-2a+3a＞0或a≥24-4a+3a＞0，
解得﹣1＜a≤1或2≤a＜4．∴a的取值范围是（﹣1，1]∪[2，4）．
22．（12分）如果函数f（x）存在零点α，函数g（x）存在零点β，且|α﹣β|＜n，则称f（x）与g（x）互为“n度零点函数”．
（1）证明：函数y＝e1﹣x﹣1与y=lg2x+32互为“1度零点函数”．
（2）若函数f(x)=x2+2x+4a+1，x＜-1，lga(ax+2a)，x≥-1（a＞14，且a≠1）与函数y＝ln（2﹣x）互为“2度零点函数”，且函数g（x）＝|f（x）|﹣|x﹣2|有三个零点，求a的取值范围．
【解答】证明：（1）由y＝e1﹣x﹣1＝0，得x＝1，
由y=lg2x+32=0，得x=(12)32，
因为0＜(12)32＜1，所以|1-(12)32|＜1，
所以函数y＝e1﹣x﹣1与y=lg2x+32互为“1度零点函数”；
解：（2）令y＝ln（2﹣x）＝0，得x＝1，
设f（x）存在零点x0，则|x0﹣1|＜2，不等式两边平方得x02-2x0-3＜0，即﹣1＜x0＜3，
当x＜﹣1时，f（x）＝（x+1）2+4a＞0，当x≥﹣1时，令f（x）＝lga（ax+2a）＝0，得x0=1a-2，
所以-1＜1a-2＜3，得15＜a＜1，又∵a＞14，∴14＜a＜1，
函数g（x）＝|f（x）|﹣|x﹣2|有三个零点，等价于函数h（x）＝|f（x）|与p（x）＝|x﹣2|的图象有三个交点，
因为f(x)=lga(ax+2a)=lgaa(x+2)=1+lga(x+2)，14＜a＜1，
所以f（x）在[﹣1，+∞）上单调递减，又因为h（﹣1）＝1，h（x）的零点为-1＜1a-2＜2，
画出h（x）与p（x）在[﹣1，+∞）上的大致图象，如图所示：
由图象可知h（x）与p（x）的图象在[﹣1，+∞）上有两个交点，
所以h（x）与p（x）的图象在（﹣∞，﹣1）上必须有一个交点，
即方程x2+2x+4a+1＝﹣x+2在（﹣∞，﹣1）上只有一个解，
化简得﹣x2﹣3x+1＝4a在（﹣∞，﹣1）上只有一个解，
设函数q（x）＝﹣x2﹣3x+1，所以q（x）的图象与直线y＝4a在（﹣∞，﹣1）上有一个交点，
因为q(x)max=q(-32)=134，q(-1)=3，由q（x）的图象可得，4a=134或4a≤3，
即a=1316或14＜a≤34．综上，a的取值范围为(14，34]∪{1316}．