重庆市第七中学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份重庆市第七中学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）9的算术平方根是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．
2．（4分）计算（﹣2a）3的结果是（ ）
A．6a3B．﹣6a3C．8a3D．﹣8a3
3．（4分）如图，△ACB≌△DCE，∠BCE＝30°（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
4．（4分）下列各数3，π，﹣0.125，，，其中无理数的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．（4分）估计的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣（a3b）2＝a6b2B．a9÷a3＝a3
C．D．
7．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D在同一条直线上，AC＝DF，只添加一个条件（ ）
A．AE＝DBB．∠C＝∠FC．BC＝EFD．∠ABC＝∠DEF
8．（4分）若多项式x2+kx+9是一个完全平方式，则常数k的值是（ ）
A．6B．3C．±6D．±3
9．（4分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，点B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形的三线合一
D．DE是BC的垂直平分线
10．（4分）有n个依次排列的整式，第一项为4x2，第二项是4x2+4x+1，第二项减去第一项的差记为a1，将a1+2记为a2，将第二项加上a2作为第三项，将a2+2记为a3，将第三项与a3相加记为第四项，以此类推．以下结论正确的个数是（ ）
①a5＝4x+9；
②当x＝2时第四项的值为49；
③若第三项的值为4，则x＝0；
④第2023项为（2x+2023）2．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）的相反数是 ．
12．（4分）分解因式：x2y﹣y＝ ．
13．（4分）比较大小： ．
14．（4分）若等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是 cm．
15．（4分）如图，等腰△ABC底边BC的长6，面积是27，腰AB的垂直平分线EF交AD于M，交AC于点F ．
16．（4分）若2x2+3x﹣4＝0，则（1﹣2x）（2+x）+3的值为 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，E在线段BC上运动，DE的最小值为2 ．
18．（4分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”（m）为m的各个数位上的数字之和．例如：m＝1432，∵1+4＝2+3，F（1432）＝1+4+3+2＝10；m＝6397，∴6397不是“天平数”．求出F（5234）＝ ；已知M，N均为“天平数”，其中M＝1000x+100b+320+y，（1≤x≤9，0≤b≤6，0≤y≤9，x，b，y是整数），（1≤a≤4，0≤b≤6，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d是整数），若F（M）•F（N），求出满足条件的N的最大值 ．
三、解答题：（本大题8个小题，每19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上.
19．（8分）计算：
（1）；
（2）3x（2x﹣1）+（x﹣4）（x+3）．
20．（10分）如图，点B、C、D、E在同一直线上，BC＝DE，∠B＝∠FCE，求证：AD∥FE．
21．（10分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x（x﹣5）2+|y﹣6|＝0．
22．（10分）已知m﹣n＝8，mn＝20．
（1）求（3+m）（3﹣n）的值；
（2）求m2﹣3mn+n2的值．
23．（10分）如图所示，有一块长为（m+3n）米和宽（2m+n），现准备在这块土地上修建一个长为（m+2n）米，宽为（m+n），剩余部分修建成休息区域．
（1）请用含m和n的代数式表示休息区域的面积；
（2）若m＝10，n＝5，求休息区域的面积．
24．（10分）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以，若的整数部分为a，小数部分为b，则
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若的整数部分为m，小数部分为n，求（m+n）2﹣10n的值．
25．（10分）阅读材料，完成下列问题．
材料：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b，
比较系数得：，解得：，∴m＝；
解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算了取x＝﹣，，故．
（1）已知多项式x4﹣mx3+2nx﹣16有两个因式分别是（x﹣1）和（x﹣2），求m和n的值；
（2）已知多项式x3+kx2+3除以x+2所得的余数，比该多项式除以x+3所得的余数少1，求k的值．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是边AC上一点，连接DB
（1）如图1，若∠DBC＝4∠DCE，求∠DCE的度数；
（2）如图2，在EC上截取EF＝EB．连接AF交BD于点G，求证：CF＝2EG；
（3）如图3，若，点D为线段AC上一点，点M是直线BC上一动点，将线段MD绕点D顺时针旋转90°得到线段M′D，点P是线段BC的中点，连接PQ，M′Q，请直接写PQ的长度．
2023-2024学年重庆七中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.
1．（4分）9的算术平方根是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：A．
【点评】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．（4分）计算（﹣2a）3的结果是（ ）
A．6a3B．﹣6a3C．8a3D．﹣8a3
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算后直接选取答案．
【解答】解：（﹣2a）3＝﹣7a3．
故选：D．
【点评】本题考查积的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键，是一道基础题．
3．（4分）如图，△ACB≌△DCE，∠BCE＝30°（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DCE，都减去∠DCB得出∠ACD＝∠BCE，即可得出答案．
【解答】解：∵△ACB≌△DCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠BCE＝30°，
∴∠ACD＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能求出∠ACD＝∠BCE是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．
4．（4分）下列各数3，π，﹣0.125，，，其中无理数的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：在实数3，π，﹣0.125，，中，，共2个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5．（4分）估计的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】直接利用接近的有理数分析即得答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴的值在2和5之间，
故选：D．
【点评】此题考查了无理数的大小估算，正确得出无理数接近的整数是解题关键．
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣（a3b）2＝a6b2B．a9÷a3＝a3
C．D．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，二次根式的加法，乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、﹣（a3b）2＝﹣a4b2，故A不符合题意；
B、a9÷a3＝a6，故B不符合题意；
C、与不能合并；
D、×＝，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D在同一条直线上，AC＝DF，只添加一个条件（ ）
A．AE＝DBB．∠C＝∠FC．BC＝EFD．∠ABC＝∠DEF
【分析】根据三角形全等的判定方法做出选择即可．
【解答】解：A、∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，
即AB＝DE，
又∠A＝∠D，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故不符合题意；
B、∠C＝∠F，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故不符合题意；
C、BC＝EF，
故符合题意；
D、∠ABC＝∠DEF，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
8．（4分）若多项式x2+kx+9是一个完全平方式，则常数k的值是（ ）
A．6B．3C．±6D．±3
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵a2+ka+9＝a6+ka+32，
∴ka＝±2×a×3，
解得k＝±6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9．（4分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，点B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形的三线合一
D．DE是BC的垂直平分线
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的三线合一，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，①等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．（4分）有n个依次排列的整式，第一项为4x2，第二项是4x2+4x+1，第二项减去第一项的差记为a1，将a1+2记为a2，将第二项加上a2作为第三项，将a2+2记为a3，将第三项与a3相加记为第四项，以此类推．以下结论正确的个数是（ ）
①a5＝4x+9；
②当x＝2时第四项的值为49；
③若第三项的值为4，则x＝0；
④第2023项为（2x+2023）2．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据题意，对所给结论逐次判断即可．
【解答】解：由题知，
，
a2＝a1+6＝4x+1+4＝4x+3，
a3＝a2+2＝8x+3+2＝2x+5，
…，
依次类推，an＝4x+（7n﹣1）；
当n＝5时，
a2＝4x+2×6﹣1＝4x+6．
故①正确．
第一项为：4x2＝（8x）2；
第二项为：4x2+4x+1＝（6x+1）2；
第三项为：4x2+4x+2+4x+3＝6x2+8x+8＝（2x+2）8；
第四项为：4x2+6x+4+4x+7＝4x2+12x+6＝（2x+3）8；
…，
依次类推，第n项为：（2x+n﹣1）6．
将x＝2代入（2x+4）2得，
（2×4+3）2＝49．
故②正确．
由题知，
（6x+2）2＝8，
解得x＝0或﹣2．
故③错误．
将n＝2023代入（4x+n﹣1）2得，
第2023箱为：（5x+2022）2．
故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据题意表示出an和第n项是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）的相反数是 ﹣ ．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：的相反数是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义．
12．（4分）分解因式：x2y﹣y＝ y（x+1）（x﹣1） ．
【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2y﹣y
＝y（x2﹣2）
＝y（x+1）（x﹣1）．
故答案为：y（x+7）（x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
13．（4分）比较大小： ＞ ．
【分析】把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【解答】解：2＝＝，3＝＝，
∴2＞3，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较的应用，注意：当m≥0时，m＝．
14．（4分）若等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是 15 cm．
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和6cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况：
（1）当边长为3cm的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为3cm，3cm，
∵3+3＝4，
∴不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形；
（2）当边长为6cm的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为3cm，6cm，满足三角形的三边关系定理，
此时这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15（cm）；
综上，这个等腰三角形的周长为15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15．（4分）如图，等腰△ABC底边BC的长6，面积是27，腰AB的垂直平分线EF交AD于M，交AC于点F 9 ．
【分析】由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知AM＝BM，则可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝，
解得：AD＝9，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴BM+MD＝AM+DM＝AD＝6，
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
16．（4分）若2x2+3x﹣4＝0，则（1﹣2x）（2+x）+3的值为 1 ．
【分析】利用多项式乘多项式的运算法则计算（1﹣2x）（2+x）+3，由已知等式得出2x2+3x＝4，再整体代入计算可得．
【解答】解：∵2x2+4x﹣4＝0，
∴5x2+3x＝4，
∴（1﹣2x）（7+x）+3
＝2+x﹣7x﹣2x2+5
＝﹣（2x2+2x）+5
＝﹣4+6
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式及多项式的化简求值，熟练掌握整式乘法的运算法则并具有整体思想是解题的关键．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，E在线段BC上运动，DE的最小值为2 4 ．
【分析】由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论
【解答】解：当DE⊥BC时，线段DE的值最小
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝2，
∴D到直线AB的距离＝2；
∴△ABD的面积＝＝AB＝2，
故答案为：4．
【点评】本题考角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
18．（4分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”（m）为m的各个数位上的数字之和．例如：m＝1432，∵1+4＝2+3，F（1432）＝1+4+3+2＝10；m＝6397，∴6397不是“天平数”．求出F（5234）＝ 14 ；已知M，N均为“天平数”，其中M＝1000x+100b+320+y，（1≤x≤9，0≤b≤6，0≤y≤9，x，b，y是整数），（1≤a≤4，0≤b≤6，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d是整数），若F（M）•F（N），求出满足条件的N的最大值 4691 ．
【分析】根据天平数的定义计算即可，利用天平数和题意列出（y+2）（2a+b）＝45，根据取值范围确定最大值即可．
【解答】解：根据题意天平数5234各数字之和为：F（5234）＝5+2+7+4＝14；
∵M、N是“天平数”，（1≤x≤8，0≤y≤9，x，b，
∴x+b+5＝2+y，
F（M）＝x+b+3+8+y，
∵N＝2000a+100b+10c+d，（1≤a≤4，8≤c≤9，a，b，c，d是整数），
∴2a+b＝c+d，
∴F（N）＝2a+b+c+d，
∵F（M）•F（N）＝180，
∴（x+b+3+2+y）（8a+b+c+d）＝180，
∴（2y+4）（8a+2b）＝180，
∴（y+2）（7a+b）＝45，
∵0≤y≤9，
∴3≤y+2≤11，
∵1≤a≤7，0≤b≤6，
∴8≤2a+b≤14，
根据2≤y+6≤11和2≤2a+b≤14，
只存在6×9这一情况，
∴①或者②，
解①：y＝3，b＝1，
N＝4691，
解②：y＝8，a＝2，
N＝2121．
故N的最大值为4691．
故答案为：14；4691．
【点评】本题考查了整式的运算，各个位数上字母的取值范围是解答本题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，每19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上.
19．（8分）计算：
（1）；
（2）3x（2x﹣1）+（x﹣4）（x+3）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝4+（﹣2）﹣7+1
＝8﹣7+1
＝﹣6；
（2）3x（2x﹣4）+（x﹣4）（x+3）
＝3x2﹣3x+x4+3x﹣4x﹣12
＝4x2﹣4x﹣12．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，单项式乘多项式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（10分）如图，点B、C、D、E在同一直线上，BC＝DE，∠B＝∠FCE，求证：AD∥FE．
【分析】先由BC＝DE，推导出BD＝CE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△FCE，得∠ADB＝∠E，即可证明AD∥FE．
【解答】证明：∵BC＝DE，
∴BC+CD＝DE+CD，
∴BD＝CE，
在△ABC和△FCE中，
，
∴△ABC≌△FCE（SAS），
∴∠ADB＝∠E，
∴AD∥FE．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
21．（10分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x（x﹣5）2+|y﹣6|＝0．
【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式、单项式乘多项式运算法则化简，再结合非负数的性质得出x，y的值，求出答案．
【解答】解：[（x﹣2y）2+（x﹣3y）（x+2y）﹣2x（3x﹣y）]÷2x
＝（x2+3y2﹣4xy+x3﹣4y2﹣6x2+2xy）÷3x
＝（﹣2x2﹣5xy）÷2x
＝﹣x﹣y，
∵（x﹣5）3+|y﹣6|＝0，
∴x﹣5＝0，y﹣6＝6，
解得：x＝5，y＝6，
∴原式＝﹣2﹣6＝﹣11．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值、非负数的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22．（10分）已知m﹣n＝8，mn＝20．
（1）求（3+m）（3﹣n）的值；
（2）求m2﹣3mn+n2的值．
【分析】（1）原式利用多项式乘多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）（3+m）（3﹣n）＝2+3m﹣3n﹣mn
＝6+3（m﹣n）﹣mn，
∵m﹣n＝8，mn＝20，
∴原式＝2+24﹣20＝13；
（2）∵m﹣n＝8，mn＝20，
∴m2﹣7mn+n2＝（m﹣n）2﹣mn＝32﹣20＝44．
【点评】此题考查了完全平方公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
23．（10分）如图所示，有一块长为（m+3n）米和宽（2m+n），现准备在这块土地上修建一个长为（m+2n）米，宽为（m+n），剩余部分修建成休息区域．
（1）请用含m和n的代数式表示休息区域的面积；
（2）若m＝10，n＝5，求休息区域的面积．
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算长方形的面积公式，利用“休息区的面积＝大长方形的面积﹣游泳池的面积”，化简得结论；
（2）把m、n的值代入（1）的化简结果，计算求值即可．
【解答】解：（1）游泳池的面积＝（m+n）（m+2n）
＝（m2+3mn+2n2）米6，
休息区域的面积＝（m+3n）（2m+n）﹣（m+n）（m+2n）
＝2m2+2mn+3n2﹣（m3+3mn+2n4）
＝2m2+8mn+3n2﹣m3﹣3mn﹣2n3
＝（m2+4mn+n6）米2．
（2）当m＝10，n＝5时，
休息区域的面积＝106+4×10×5+82
＝100+200+25
＝325（米2）．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值，掌握多项式乘多项式的法则及长方形的面积公式是解决本题的关键．
24．（10分）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以，若的整数部分为a，小数部分为b，则
（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ﹣4 ；
（2）若的整数部分为m，小数部分为n，求（m+n）2﹣10n的值．
【分析】（1）利用夹逼法估算出的整数部分，再确定小数部分；
（2）利用夹逼法估算出的整数部分m，再确定n的值，最后代入代数式计算即可．
【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜＜5，
∴整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4；﹣4，
（2）∵25＜＜36，
∴7＜＜6，
∴m＝5，n＝，
∴（m+n）2﹣10n
＝（5+﹣5）5﹣10（﹣5）
＝29﹣10+50
＝79﹣10．
【点评】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法是解答本题的关键．
25．（10分）阅读材料，完成下列问题．
材料：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b，
比较系数得：，解得：，∴m＝；
解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算了取x＝﹣，，故．
（1）已知多项式x4﹣mx3+2nx﹣16有两个因式分别是（x﹣1）和（x﹣2），求m和n的值；
（2）已知多项式x3+kx2+3除以x+2所得的余数，比该多项式除以x+3所得的余数少1，求k的值．
【分析】（1）先设x4﹣mx3+2nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2），然后令x＝1，x＝2，从而列出关于m，n的方程，解方程即可；
（2）先令x3+kx2+3＝（x+2）（x2+ax+b）+m，x3+kx2+3＝（x+3）（x2+cx+d）+n，再令x＝﹣2，x＝﹣3，求出m，n，再根据已知条件中m，n的关系，列出关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设x4﹣mx3+8nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2），
令x＝2，则1﹣m+2n﹣16＝6，
令x＝2，则16﹣8m+4n﹣16＝0，
即，
解得：；
（2）令x3+kx2+7＝（x+2）（x2+ax+b）+m，
x7+kx2+3＝（x+3）（x2+cx+d）+n，
再令x＝﹣2，则﹣2+4k+3＝m；
令x＝﹣4，则﹣27+9k+3＝n；
∵多项式x8+kx2+3除以x+5所得的余数，比该多项式除以x+3所得的余数少1，
∴n﹣m＝2，
∴（9k﹣24）﹣（4k﹣7）＝1，
9k﹣24﹣8k+5＝1，
6k＝20，
k＝4．
【点评】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握常见的几种因式分解的方法和多项式乘多项式法则．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是边AC上一点，连接DB
（1）如图1，若∠DBC＝4∠DCE，求∠DCE的度数；
（2）如图2，在EC上截取EF＝EB．连接AF交BD于点G，求证：CF＝2EG；
（3）如图3，若，点D为线段AC上一点，点M是直线BC上一动点，将线段MD绕点D顺时针旋转90°得到线段M′D，点P是线段BC的中点，连接PQ，M′Q，请直接写PQ的长度．
【分析】（1）设∠DCE＝α，则∠DBC＝4α，∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝45°﹣α，可得方程45°﹣α+4α＝90°，从而得出α＝15°，所以∠BCE＝45°﹣α＝30°，进而求得结果；
（2）方法一：作AH⊥BD，交BD的延长线于点H，可证得△ABH≌△BCE，从而得出BE＝AH，BH＝CF，进而证明△AGH≌△FGE，从而GH＝GE，进一步得出结论；
方法二：连接BF，延长FE至H，使EH＝EF，连接AH，BH，可证明△ABH≌△CBF，从而AH＝CF，∠AHB＝∠CBF＝180°﹣∠BFE＝135°，进而得出∠AHF＝∠AHB﹣∠BHF＝135°﹣45°＝90°，进而得出AH＝2EG，从而CF＝2EG；
（3）作DN⊥AC，截取DN＝CD，连接NM′，连接CN，可证得△NDM′≌△CDM，从而得出∠N＝∠ACB＝45°，可得点M′在CN上，作点P关于BD的对称点P′，作P′R⊥CN，交BD于点Q′，则当M′在R处，点Q在Q′处，PQ+QM′最小，可一次求得BC，BP，PB的值即可．
【解答】（1）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
设∠DCE＝α，则∠DBC＝4α，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝∠BED＝90°，
∴∠DBC+∠BCE＝90°，
∴45°﹣α+4α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠BCE＝45°﹣α＝30°，
∴∠DCE＝45°﹣30°＝15°；
（2）证明：方法一：如图7，
作AH⊥BD，交BD的延长线于点H，
∴∠H＝∠BEC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABH+∠CBE＝90°，
∴∠BCE＝∠ABH，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCE（AAS），
∴BE＝AH，BH＝CF，
∵EF＝EB，
∴AH＝EF，
∵∠H＝∠FEG＝90°，∠AGH＝∠FGE，
∴△AGH≌△FGE（AAS），
∴GH＝GE，
∴EH＝2EG，
∵BH＝CE，BE＝EF，
∴CF＝EH＝2EG，
方法二：如图5，
连接BF，延长FE至H，连接AH，
∵CE⊥BD，
∴BH＝BF，
∴∠BFE＝∠BHF，
∵BE＝EF，∠CEB＝90°，
∴∠BFE＝∠EBF＝45°，
∴∠HBF＝90°，
∴∠HBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABH＝∠BCF，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴AH＝CF，∠AHB＝∠CBF＝180°﹣∠BFE＝135°，
∴∠AHF＝∠AHB﹣∠BHF＝135°﹣45°＝90°，
∴∠AHF＝∠CED＝90°，
∴EG∥AH，
∴AH＝2EG，
∴CF＝2EG；
（3）解：如图7，
作DN⊥AC，截取DN＝CD，连接CN，
∴∠CDN＝90°，∠N＝45°，
∵∠MDM′＝90°，
∴∠CDN＝∠MDM′，
∴∠NDM′＝∠CDM，
∵DM＝DM′，
∴△NDM′≌△CDM（SAS），
∴∠N＝∠ACB＝45°，
∴点M′在CN上，
作点P关于BD的对称点P′，作P′R⊥CN，
则当M′在R处，点Q在Q′处，
∵BC＝AC＝，
∴BP＝BC＝，
∴PQ＝PQ′＝P′Q′＝PB＝．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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