安徽省淮北市树人高级中学2023-2024学年高一上学期第二次阶段考试数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省淮北市树人高级中学2023-2024学年高一上学期第二次阶段考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 集合的非空真子集共有（ ）个
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】先化简A合，再求解即可.
【详解】，
所以所求非空真子集共有个.
故选：A.
2. 当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”，若集合的孤星集为，集合的孤星集为，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“孤星集”定义，求集合和，即可求交集.
【详解】由题知，由条件及孤星集的定义知，集合中的元素，，，所以0不是“孤立元素”，，，，所以1不是“孤立元素”，，，，所以3是“孤立元素”，
则
，，，，所以0是“孤立元素”，，，，所以3不是“孤立元素”，，，，所以4不是“孤立元素”，则，
则．
故选：B
3. 已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由得，由基本不等式得，故.
【详解】当时，由得，
因，故，当且仅当即时等号成立，
因当时，恒成立，得，
故选：C
4. 若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出时，、和的解，再由奇函数性质得出时，、和的解，然后分类讨论解不等式可得．
【详解】当时，，时，，时，，，
又是奇函数，所以时，，时，，且，
不等式或或，所以或，
综上．
故选：D．
5. 已知是定义在上的单调函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由解析式及的单调性，结合一次函数性质列不等式组求参数范围.
【详解】由为递减函数，且在上的单调函数，
所以单调递减，则.
故选：D
6. 函数的最大值为（ ）
A. 8B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的最值，即可得到结果.
【详解】设，则，即，所以，
因为，所以当时，函数取得最大值为.
故选：A
7. 已知函数的定义域为R，为偶函数，且对任意都有，若，则不等式的解为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由知，在上单调递增，结合偶函数，知其在在上单调递减即可解.
【详解】对，满足，
等价于函数在上单调递增，
又因为函数关于直线对称，所以函数在上单调递减.
则可化为，
解得.
故选：B.
8. 定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．
【详解】∵函数图象关于对称，且对任意，
当时都有，
∴在上单调递减，在单调递增，
，
∵，∴，
∴．
故选：B．
二、多选题
9. 下列函数中，值域为的是（ ）
A. ，B.
C. ，D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据基本初等函数函数的性质判断A、B、C，利用基本不等式计算D.
【详解】对于A：函数，在定义域上单调递增，
又，，所以，故A正确；
对于B：由，所以，即，故B错误；
对于C：函数，在定义域上单调递增，
又，，所以，故C正确；
对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以，故D错误；
故选：AC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若幂函数过点，则
B. 函数表示幂函数
C. 若表示递增的幂函数，则
D. 幂函数的图像都过点，
【答案】AC
【解析】
【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；
对于B，函数不是幂函数，B错误；
对于C，是幂函数，则，解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意，
当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；
对于D，幂函数不过点，D错误.
故选：AC
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 任何集合都是它自身的真子集
B. 集合共有4个子集
C. 集合
D. 集合
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，举出反例；B选项，根据元素个数求出子集个数；C选项，两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，C正确；D选项，举出，但，D错误.
【详解】对于A，空集不是它自身真子集，故A错误；
对于B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；
对于C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；
对于D，因为，当时，，
所以，但，
故两个集合不相等，故D错误.
故选：BC
12. 已知函数，以下结论正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 对任意的都有
C. 的值域是
D. 对任意的都有
【答案】AB
【解析】
【分析】根据奇函数定义确定A正确，变换计算函数单调性得到B正确，取，无解得到C错误，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：，，则，函数为奇函数，正确；
对选项B：当时，，函数单调递增，又函数为奇函数，
故函数在上单调递增，即，正确；
对选项C：取，得到，当时，，方程无解，
当时，，不满足，不正确；
对选项D：取，，则，
，故，错误；
故选：AB.
第Ⅱ卷（非选择题）
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三、填空题
13. 设函数，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的知识求得正确答案.
【详解】，.
故答案为：
14. ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数幂的性质进行计算.
【详解】原式
故答案为：
15. 若，且，则的最小值为______.
【答案】8
【解析】
【分析】由可得， ，再与相乘构建积定式,继而可用基本不等式求最小值.
【详解】
可得，，（当且仅当时取等号）.
故答案为：8.
16. 已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题述条件可将所求化为关于的函数，结合即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
不妨设，
所以，
因为，所以，
所以的值域为，即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17. 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意，在时恒成立，求在时的最大值即可；
（2）分类讨论解不等式，由题意，是的真子集，列不等式求实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意得在时恒成立，
令，对称轴，结合图像可知，取得最大值，
则有，得，即.
【小问2详解】
不等式，
①当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，有，此时；
②当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，有，此时，
综上①②可得实数的取值范围为.
18. 已知二次函数，恒有.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件得出关于的方程，解出即可；
（2）根据对称轴与区间中点关系分类讨论求解即可.
【小问1详解】
由，得，
则，所以且，解得，
又，则，
故．
【小问2详解】
，对称轴，
当，即时，时，，解得；
当，即时，，
时，，不合题意；
当，即时，时，，解得（舍），
综上，．
19. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.
（1）确定函数的解析式并证明判断在上的单调性；
（2）解不等式.
【答案】（1），函数在区间上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件及奇函数的性质，求出，，即可求出的解析式，再利用定义即可证明在上的单调性；
（2）利用函数在上的奇偶性和单调性，即可求出结果.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的函数，且恒成立，
所以，又，所以，得到，
当，时，，，
所以，，满足题意，故函数的解析式为，
函数在区间上单调递增，证明如下，
任取，且，
，
因为，且，所以，，，
又易知，，所以，即，
所以，函数在区间上单调递增.
【小问2详解】
因为函数是定义在上奇函数，且在区间上单调递增，
所以，由，得到，
所以，即，解得，
所以，原不等式的解集为.
20. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质即可求出结果；
（2）由（1）得到，再求的值域，即可求出结果.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
则，得到，解得，
经检验满足题意，
故实数的值为.
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，
又的对称轴为，所以当时，，
当时，，
又的对称轴为，所以当时，，
所以，当时，，故不等式恒成立时，，
所以实数的取值范围
21. A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：
（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式.
（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【答案】（1）10人、20人与180人；
（2）；
（3）至少要花11233元，最多要花16980元.
【解析】
【分析】（1）设出老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，列出方程组，求出结果；（2）分与两种情况进行求解；（3）在第二问基础上分别求出购买火车票的总费用，比较后得到至少要花11233元，最多要花16980元.
【小问1详解】
设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，
若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：，
解得，则.
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.
【小问2详解】
由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，
①当时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共180张，名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票.
所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.
②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张.
所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.
综上：
【小问3详解】
由（2）知，当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11233元，当时，y的值最大，最大值为11610元.当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11640元，当时，y的值最大，最大值为16980元.所以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元.
22. 定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
（1）求证：函数是奇函数；
（2）求证：在上是减函数；
（3）若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.
（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.
（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.
【小问1详解】
令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．
小问2详解】
设，则，所以．
因为，，，所以，即，所以．
又，所以，所以，
所以，即．所以在上是减函数．
【小问3详解】
由（2）知函数在上是减函数，
所以当时，函数的最大值为，
所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立．
设，是关于a的一次函数，，
要使对任意恒成立，
所以，即，解得或，运行区间
公布票价
学生票
上车站
下车站
一等座
二等座
二等座
A
B
81（元）
68（元）
51（元）