安徽省皖豫联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省皖豫联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了 已知，则， 已知为幂函数，则， 设，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定即可得答案.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：A.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合的交集运算可得.
【详解】，，
所以.
故选：C.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶次根式下非负及分母不为零列方程计算即可.
【详解】由题意可知的定义域需要满足解得且.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质计算可以判断B选项，赋值法可以判断A,C,D选项.
【详解】令A选项错误；
，根据不等式的性质可得，所以，B选项正确,
C选项错误；
,D选项错误.
故选：B.
5. 已知为幂函数，则（ ）
A. 在上单调递增B. 在上单调递减
C. 在上单调递增D. 在上单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，即可得出解析式，再分析其性质即可得出答案.
【详解】是幂函数，
，
解得或，
或.
对于，函数在R上单调递增；
对于，函数在上单调递减，在上单调递增.
故只有A选项“在上单调递增”符合这两个函数的性质.
故选：A.
6. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小关系.
【详解】，又.
故选：D.
7. 碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物组织内的碳14质量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体生物组织内碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的质量约为原始质量的0.92倍，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（ ）
A. 金（公元年）B. 元（公元年）
C. 明（公元年）D. 清（公元1616-1911年）
【答案】B
【解析】
【分析】设活体生物组织内碳14的质量，由题意建立方程求解即可.
【详解】设活体生物组织内碳14的质量，由题意知：，
又，
，，
所以该生物死亡的朝代为元.
故选：B.
8. 已知函数为偶函数，当且时，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数性质可得，结合单调性可得，分和两种情况，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意知在上单调递减，且是偶函数，
所以在上单调递增，且，
因为恒成立，所以，
所以恒成立，
当时，，符合题意，；
当时，可得，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. ，都有
C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要不充分条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A ，满足，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，由“且”，可以得出“”，故C错误；
对于D ，且，则由无法得到，
但是由可以得到，故D正确.
故选：AD
10. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的性质一一判断即可.
【详解】对于A：，，故A正确；
对于B：，又函数在上单调递增，，故B正确；
对于C：由可得，所以，，故C错误；
对于D：且，故D正确.
故选：ABD
11. 已知不等式的解集为或，则（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集，先求得的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为不等式的解集为或，
则，且关于的方程的两根分别为，
由根与系数的关系可得，所以.
对于A，，A错误；
对于B，不在不等式的解集内，令，则有，B正确；对于C，，
该不等式的解集为，C正确；
对于D，不等式即为，
化简可得，解得，
因此，不等式的解集为，D正确.
故选：BCD
12. 已知定义在上的函数满足，且，当时，，则（ ）
A.
B.
C. 在区间上单调递减，在区间上单调递增
D. 不等式的解集是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于，令，可得，正确；对于，令，可得，正确；对于，利用函数单调性定义可判断出在上单调递增，错误；对于,利用题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断.
【详解】对于，令，得，即，正确；
对于，令，得，因，所以，正确；
对于，对任意，则，
所以，所以在上单调递增，错误；
对于，又，
所以原不等式等价于，
因为在上单调递增，所以，解得正确.
故选：
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合相等求参再检验即可.
【详解】因为，所以，解得或，
当时，与集合中元素的互异性矛盾，故不符合题意.
经检验可知符合.
故答案为：-1.
14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】分段函数单调递增，在各段区间单调递增，且由区间端点处满足的大小关系列不等式组求解即可.
【详解】因为在上单调递增，
所以 ，
即，解得
则的取值范围是.
故答案为：.
15. 若为定义在上的偶函数，函数，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用奇偶函数性质得，从而得到答案.
详解】由题意可得，所以
，
故，所以.
故答案为：4.
16. 已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的定义简化不等式得出或，再根据已知画出函数草图，即可根据草图得出不等式，解出答案.
【详解】为奇函数，
，即，
则或，
，且为奇函数，
，
函数在上是增函数，
函数在上也为增函数，画出函数单调性示意图如下，
结合函数的单调性示意图可得或.
解得
故答案为：.
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. （1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂运算法则进行运算即可；（2）把两边平方得，化简表达式，代入即可求值.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由题可知，故，
.
18. 已知函数且的图象过点，.
（1）求的值；
（2）记在区间上的值域分别为集合，若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）代入点，求出；
（2）求出的值域和的值域，根据题目条件得到，得到不等式，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
的图象过点，
，解得.
【小问2详解】
由（1）得，当时，的值域为，即，
当时，的值域为，即，
是的必要条件，
，
∴，解得，
的取值范围是.
19. 已知函数.
（1）若关于x的方程有两个不等的正实数根，求实数a的取值范围；
（2）当时，设的最小值为，求的表达式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次函数与方程之间的关系，结合韦达定理即可求解；
（2）利用一元二次函数图像，分类讨论给定区间与对称轴之间的关系，求出各种情况下函数的最小值.
【小问1详解】
方程即，设方程两根为，
要使方程有两个不等的正实数根，
则
解得，即a的取值范围是.
【小问2详解】
当时，
①若，即，则在上单调递减，；
②若，即，则在上单调递增，；
③若，即，则.
综上，
20. 一艘运送化工原料的船只在江面上发生故障导致化学品泄漏，发现时已有的水面被污染，且污染面积以每小时的速度扩大，经测算，水面被污染造成的直接经济损失约为每平方米300元.有关部门在发现的同时立即安排清污船清理被污染的水面，该部门需要支付一次性租金为每条清污船1600元，劳务费和耗材费合计为每条清污船每小时200元.若安排条清污船清理水面，假设每条清污船每小时可以清理的水面，需要小时完成污染水面的清理（污染面积减小到）.
（1）写出关于的函数表达式；
（2）应安排多少条清污船清理水面才能使总损失最小？（总损失水面被污染造成的直接经济损失+清污工作的各项支出）
【答案】（1）；
（2）安排22条.
【解析】
【分析】（1）根据给定信息列等式，再变形即得.
（2）根据给定的函数模型，结合（1）求出总损失关于的函数关系，再利用基本不等式求解即得.
【小问1详解】
依题意，，
所以
【小问2详解】
设总损失为元，则
，当且仅当，即时取等号，
所以应安排22条清污船清理水面才能使总损失最小.
21. （1）已知函数满足为奇函数，函数为偶函数，求的解析式；
（2）已知函数满足，判断在上的单调性并用定义证明.
【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性得到的方程组，求解可得；
（2）以替换，构造另一个等式，联立解方程组可得.
【详解】（1）为奇函数，
.
①.
偶函数，
.
②
①+②，得，
.
（2），①
把用替换，得，②
由①②得，
.
判断：在上单调递减.
证明：设任取，且，
则，
，则，
，
在上单调递减.
22. 已知函数为指数函数，函数为奇函数.
（1）求的解析式；
（2）设函数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1），
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据指数函数解析式即可求得，再利用奇函数的定义求出即可；
（2）由（1）求出，不等式恒成立，令，可得在时恒成立，利用基本不等式可得答案.
【小问1详解】
因为为指数函数，
所以，解得（舍去）或，
所以，
所以，
因为为奇函数，所以，即，
得到，解得，可得，
且，奇函数
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
不等式恒成立，即恒成立，
令，则，
由，可得在时恒成立，
因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，