福建省莆田市五校联盟2023-2024学年高三上学期期中数学试题（Word版附答案）

这是一份福建省莆田市五校联盟2023-2024学年高三上学期期中数学试题（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


第Ⅰ卷（选择题， 共 60 分）
一、选择题： 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合
题目要求的。 请将正确答案的代号涂在答题卡上。
1.设全集U = {x | x ≥ 0} ，集合 A = {1} ，则CU A = ( )
A. (−∞,1) U (1, +∞) B. (−∞,1) C. [0,1) U (1, +∞) D. (1, +∞)
2.命题p: ∆ABC为锐角三角形，命题q: ∆ABC中， sin A>csB . 则命题p 是命题q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.幂函数f (x) 满足f (4) = 3f (2) ,则f () 等于( )
A. 1 B.3 C. − 1 D. − 3
3 3
4.若sin(π − 2α) = 3 ，则 sin4 α − cs4 α 的值为( )
2 5
4 3 4 3
A． B． C. − D. −
5 5 5 5
5.设 a = , b = , c = ,则下列判断中正确的是( )
A. a > b > c B.b > c > a C. a > c > b D.c > b > a
6.我国著名数学家华罗庚先生曾说： 数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分
家万事休 。在数学 的学 习和研 究中 ，函数 的解析式常用来琢磨函数的 图象的特征 。 函数
f (x) = (1 − 2 ) sin x 在区间 (− π , π ) 上的图象的大致形状是( )
ex +1 2 2
A ． B ． C ． D .
7.下列函数中，没有对称中心的是（ ）
A．B．f（x）＝x3C．f（x）＝tanxD．f（x）＝2|x|
(2x − a x ≤ 0
8.若函数f (x) =〈 , (a∈ R) 在 R 上没有零点,则a 的取值范围是( )
l－3x − a, x > 0
A.(0,+∞ ) B.（1,+∞) U{0} C. (−∞,0] D. (−∞,1]
二、多项选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目
要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分， 部分选对的得 3 分。
9.对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（ ）
A．若a＞b，则＜
B．若a＞b，则ac2≥bc2
C．若a＞0＞b，则a2＜﹣ab
D．若c＞a＞b＞0，则＞
10.设正实数 a ，b 满足a +b = 1，则 ( )
A. lg2 a + lg2 b ≥ −2 B ．ab+ ≥
2 1 a −b 1
C. a + b ≤ 3 + 2 D ． 2 > 2
11.将函数f（x）＝2sinx（sinx﹣csx）﹣1图象向右平移个单位得函数g（x）的图象，则下列命题中正确的是（ ）
A．f（x）在（，）上单调递增
B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
C．g（x）＝2cs2x
D．函数g（x）的图象关于点（﹣，0）对称
12.已知函数f (x) 为R上的可导函数，则下列判断中正确的是( )
A.若f (x) 在x = x0 处的导数值为0 ，则 f (x) 在x = x0 处取得极值
B.若f ′(x) 为奇函数，则f (x) 为偶函数
C.若f ′(x) 为偶函数，则f (x) 为奇函数
D.若f (x) 的图像关于某直线对称，则f ' (x) 的图像关于某点成中心对称
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。其中 16 题两空，第一空 2 分， 第二空 3 分，
请将正确答案填写在答题卡上。
13.不等式x − 1 ︴< a的解集为 (0，2)，则 a 的值为 .
2
x
0
14.命题p: ∃x0 ∈ [− 1,1]，
+ m − 1 ≤ 0 为真命题，则实数 m 的取值范围是 .
1 2
15.已知函数f (x) = ex − 2 x − kx − 1 有两个极值点，则k 的取值范围是____________.
16.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家， 托勒密定理就是由其名字命名， 该定理原文： 圆
的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形面积之和。其意思为： 圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 从这个定理可 以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式， 托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性 质．已知四边形 ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上， AC 、BD是其两条对角线， BD = 4 ， 且 ∆ACD 为正 三角 形，则 ∆ABC 面积 的最大 值为 ， 四边形 ABCD 的面 积为
.(注：圆内接凸四边形对角互补）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分 10 分）
已知函数f (x) = x3 − ax + b在x = 1处的切线方程为y = 0 .
（1）求实数 a, b 的值；
（2）求函数 f (x) 在区间[− 1,2] 上的最大值与最小值之和.
18.（本题满分 12 分）
1 .函数f (x) = sin(x）cs ( x）+ cs2 ( x）− (ω > 0) ，
2 .函数f (x) = sin(ωx + ϕ)(ω > 0,|ϕ |< ) 的图像向右平移个单位长度得到g(x) 的图像，
g(x) 的图像关于原点对称.
在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
“ 已知 ，函数f (x) 图像的相邻两条对称轴之间的距离为
π
”
.
2
（1）求 f () 的值；
（2）求函数 f (x) 在[0, π ] 上的单调递增区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本题满分 12 分）
已知0＜α＜，sinα＝．
（1）求tanα的值；
（2）求cs（2）的值；
（3）若0＜β＜且cs（α+β）＝﹣，求sinβ的值
20. （本题满分 12 分）
π
交 AB
BC = 2 ，线段 AC 的垂直平分线
, 3
如图，在 ∆ABC中， B =
于点D，连接 CD .
3
3
（1）若 ∆BCD的面积为
,求 CD的长；
（2）若 DE = ，求角 A的大小.
21.（本题满分 12 分）
已知函数g(x) = x − aln x .
（1）讨论 g(x) 的单调性；
（2）若 a > 2 ，且 f (x) = − g (x) 存在两个极值点x1 , x2 (x1 < x2 )，
证明： f (x1 ) − f (x2 ) > (a − 2) (x1 − x2 ) .
22.（本题满分 12 分）
已知函数f (x) = ex + mx .
（1）讨论f (x) 的零点个数；
（2）若不等式ex − 1 + x ≥ x a + aln x +1对x > 1恒成立，求实数 a 的取值范围.
2023-2024学年上学期期中考
数学科试题参考答案及评分标准
一、选择题
二、多项选择题
三、填空题
13. 1 14. (一∝，,1] 15. (1,，+∝) 16. 4
四、解答题
17.（本题满分 12 分）
解：（1）由已知得切点为 (1,0) ，且 f ,(x) = 3x2 一 a ，1 分
(f (1) = 0 (1一 a + b = \l "bkmark3" 0
lf (1) = 0 l3 一 a = \l "bkmark4" 0
（2）由（1）知 f (x) = x3 一 3x + 2 f ,(x) = 3x2 一 \l "bkmark5" 3
：〈 , ，即〈 ，解得 a = 3, b = 2 5 分
,
令f ,(x) = 3x2 一 3 = 0 得x = 一 1, x = 1 分
：f (一 1) = 4, f (1) = 0, f (2) = 4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
A
D
B
A
C
D
题号
9
10
11
12
答案
BD
BD
AC
BD
则f (x) 在区间[− 1,2] 上的最大值与最小值之和为4 分
18.（本题满分 12 分）
选择条件①:
依题意， f (x) 相邻两对称轴之间距离为 ，则周期为 π ,从而 ω = 2 ， 分
f (x) = 1 sin(2x +φ) ，g(x) = 1 sin(2x +φ− π ) ，
2 2 6
2
π
又g(x) 的图像关于原点对称，则g(0) = 0，由 | φ|<
知φ= ， 分
从而f (x) = 1 sin(2x + π ) ，f (π ) = 1 分
2 6 6 2
选择条件②:
f (x) = sin(x）cs ( x）+ cs2 ( x）− (ω > 0)
即有：f (x) = sin ωx + 1 csωx= 1 sin(ωx + π )
4 4 2 6
又因为f (x) 相邻两对称轴之间距离为，则周期为 π ,从而 ω = 2 ，
从而f (x) = 1 sin(2x + π ) ，f (π ) = 1 分
2 6 6 2
（2）f (x) = 1 sin(2x + π ) ，令2kπ- π ≤ 2x + π ≤ 2kπ + π , k ∈ z ，
2 6 2 6 2
解得x∈ kπ − , kπ + , k ∈ z ，
从而f (x) 在 [0, π ] 上的单调递增区间为 0, , , π 分
19.（本题满分 12 分）
.解：．解：（11）∵0＜α＜，sinα＝，
∴csα＝＝，
∴tanα＝＝，
（2）∵sin2α＝2sinαcsα＝，cs2α＝cs2α﹣sin2α＝﹣
∴cs（2）＝（cs2α﹣sin2α）＝（﹣﹣）＝﹣，
（3）∵0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α+β＜π，
∵cs（α+β）＝﹣，
∴sin（α+β）＝＝，
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）csα﹣cs（α+β）sinα＝ 分
20解： (1)由已知得 S△BCD ＝ BC ·BD ·sin B ＝ ，又 BC ＝2 ，sin B ＝ ，
∴BD ＝ ，cs B ＝ ．在△BCD 中，由余弦定理，得
CD2＝BC2＋BD2 －2BC ·BD ·cs B ＝22＋（）2 －2×2× × ＝ .
∴CD ＝ ． 分
DE
(2) ∵CD＝AD ＝ = ，
sinA 2sinA
在△BCD 中，由正弦定理，得 = ，
2
sin2A
=
又∠BDC ＝2A，得
,
6
2sinAsinB
解得 cs A ＝ ，所以 A = ． 分
21.本题满分 12 分）
解： 解（1）g (x ) = x − aln x 的定义域为(0, +∞) ， g ′ (x) = 1 − = 分
(i)若a ≤ 0 ，则 g ′ (x ) ≥ 0 ，所以 g (x) 在(0, +∞) 单调递增. 分
(ii)若a > 0 ，当 x∈(0, a ) 时， g ′ (x ) < 0 ；当 x∈(a, +∞ ) 时， g ′ (x ) > 0 .
所以g (x) 在(0, a ) 单调递减，在(a, +∞ ) 单调递增 分
（2）因为 f (x) 存在两个极值点且a > 2 .f ′ (x ) = − ，
所以f (x) 的两个极值点x1 , x2 满足x2 − ax +1 = 0 ，
所以x1x2 = 1 ，不妨设 x1 < x2 ，则 x2 > 1 分
则 f (x1 ) − f (x2 ) = − 1 − 1 + a lnx1 − lnx2
1 2 1 2 1 2
x x x x x x−−
= −2 + a
1 2
lnx − lnx
1 2
x − x
= −2 + a
2
−2lnx
1
− x 2
2
x
, 分
要证 < a − 2 ，只需证 − x2 + 2lnx2 < 0 .
设h (x ) = − x + 2lnx(x > 1) ，则 h′ (x ) = − < 0 ， 分
知h(x) 在(1, +∞ ) 单调递减，又h(1) = 0
当x∈ (1, +∞ ) 时， h (x) < 0
, 故 − x2
2 ，
+ 2lnx < 0
即
f (x1 ) − f (x2 )
1 2
x − x
< a − 2 ，所以f (x1 ) − f (x2 ) > (a − 2) (x1 − x2 ) 分
22. （本题满分 12 分）
（1）令 f (x) = 0 ，即 ex + mx = 0
：x = 0 不是方程的根， ∴ −m = 分
令g(x) = ,则g ′(x) = 分
当x >1时， g ′(x) > 0 ，g(x) 单调递增， 当 0 < x <1时， g ′(x) < 0 ，g(x) 单调递减， 当x < 0 时，
g ′(x) < 0 ， g(x) 单调递减.
所以，当m = −e 或m > 0 时，函数有 1 个零点；
当m < −e 时，函数亦两个零点；
当 − e < m ≤ 0 时，函数亦 0 个零点 分
（2）不等式可化为 ex − 1 + (x − 1) ≥ ealnx + aln x 分
令h(x) = ex + x ，则h(x) 为增函数
所以有h(x − 1) ≥ h(aln x) ，得到 x − 1 ≥ aln x ，
所以不等式 ex − 1 + x ≥ x a + aln x +1对 x >1 恒成立等价于不等式 x − 1 − aln x ≥ 0 对 x >1 恒成
立 分
令m(x) = x − 1 − aln x, (x > 1) ，有 m′(x) =
当 a ≤ 1时，因为x > 1，所以x − a > 0 ，所以
即a ≤ 1时，不等式恒成立；
x − a
x
m′(x) > 0 ，函数m(x) 为增函数，所以m(x) ≥ m(1) = 0 ，
当a > 1时， 因为1 < x < a 时， m′(x) < 0 ，函数m(x) 为减函数， 有m(a) < m(1) = 0 ，与题设矛盾.
综上，当 a ≤ 1时， 不等式ex − 1 + x ≥ x a + aln x +1对x > 1恒成立。 分