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高中物理人教版 (2019)必修 第一册第四章 运动和力的关系3 牛顿第二定律学案设计
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第一册第四章 运动和力的关系3 牛顿第二定律学案设计，共24页。
对牛顿第二定律的理解
1．内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
2．表达式：F＝kma，式中k是比例系数，F是物体所受的合力。
3．意义：
(1)阐述了力、质量和加速度三者数量间的关系
(2)明确了加速度的方向与力的方向一致。
4．力的单位
(1)力的单位：牛顿，符号是N。
(2)1 N的物理意义：使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力，称为1 N，即1 N＝1 kg·m/s2。
如图所示是一辆方程式赛车，车身结构一般采用碳纤维等材料进行轻量化设计，比一般小汽车的质量小得多，而且还安装了功率很大的发动机，可以在4～5 s的时间内从静止加速到100 km/h。
问题1 加速度方向取决于合力方向还是速度方向？
提示：加速度方向取决于合力的方向。
问题2 加速度的大小和哪些因素有关？
提示：加速度的大小与物体所受的合外力、物体的质量有关。
问题3 你知道为什么要使赛车具备质量小、功率大两个特点吗？
提示：赛车的质量小，赛车的运动状态容易改变；功率大，可以为赛车提供较大的动力。因此，这两大特点可以使赛车提速非常快(加速度大)。
1．对牛顿第二定律的理解
(1)公式F＝ma中，若F是合力，加速度a为物体的实际加速度；若F是某一个力，加速度a为该力产生的加速度。
(2)a＝Fm是加速度的决定式，它揭示了物体产生加速度的原因及影响物体加速度的因素。
(3)F、m、a三个物理量的单位都为国际单位制时，才有公式F＝kma中k＝1，即F＝ma。
2．牛顿第二定律的六个性质
【典例1】 (多选)(2022·山东济南高一检测)关于牛顿第二定律，下列说法正确的有( )
A．公式F＝ma中，各量的单位可以任意选取
B．某一瞬间的加速度只决定于这一瞬间物体所受合外力，而与这之前或之后的受力无关
C．公式F＝ma中，F表示物体所受合力，a实际上是作用于该物体上每一个力所产生的加速度的矢量和
D．物体的运动方向一定与它所受合外力方向一致
BC [F、m和a必须选取统一的国际单位，才可写成F＝ma的形式，否则比例系数k≠1，所以选项A错误；牛顿第二定律表述的是某一时刻合外力与加速度的对应关系，它既表明F、m和a三者数值上的对应关系，同时也表明合外力的方向与加速度的方向是一致的，即矢量对应关系，而与速度方向不一定相同，所以选项B正确，D错误；由力的独立作用原理知，作用在物体上的每个力都将各自产生一个加速度，与其他力的作用无关，物体的加速度是每个力所产生的加速度的矢量和，所以选项C正确。]
[跟进训练]
1．(多选)关于牛顿第二定律，说法正确的是( )
A．物体的质量跟外力成正比，跟加速度成反比
B．加速度的方向一定与合外力的方向一致
C．物体加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比
D．由于加速度跟合外力成正比，整块砖的重力加速度一定是半块砖重力加速度的2倍
BC [物体质量是物体的固有属性，不随外界条件的变化而变化，故A错误；加速度是由合外力提供的，加速度的方向一定与合外力的方向一致，故B正确；根据牛顿第二定律可得：a＝Fm，可以得出物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，故C正确；加速度与合外力和物体质量都有关系，不能仅根据合外力大小判断加速度大小，故D错误。]
牛顿第二定律的瞬时性问题
如图所示的小球放在水平面上，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成θ＝45°角的不可伸长的轻绳一端相连，小球与水平面的动摩擦因数μ＝0.2，质量为m＝2 kg，此时小球处于静止平衡状态，且水平面对小球的弹力恰好为零。(取g＝10 m/s2)
问题1 图中小球受到哪些力的作用？
提示：小球受重力、弹簧的拉力、轻绳的拉力。
问题2 当剪断轻绳的瞬间小球的加速度大小和方向？
提示：8 m/s2，方向向左。
问题3 当剪断弹簧的瞬间小球的加速度大小和方向？
提示：0。
1．瞬时加速度问题：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，加速度和力同时产生，同时变化，同时消失。分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻前后物体的受力情况及其变化。
2．两种基本模型
【典例2】 (多选)如图所示，质量为m的小球被一根橡皮筋AC和一根绳BC系住，当小球静止时，橡皮筋处在水平方向上。下列判断正确的是( )
A．在AC被突然剪断的瞬间，BC对小球的拉力不变
B．在AC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为g sin θ
C．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为gcsθ
D．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为g sin θ
[思路点拨] 解答本题应把握以下两点：
①在AC被突然剪断的瞬间，BC对小球的拉力发生突变。
②在BC被突然剪断的瞬间，橡皮筋AC的弹力不能突变。
BC [设小球静止时绳BC的拉力为F，橡皮筋AC的拉力为T，由平衡条件可得：F cs θ＝mg，F sin θ＝T，解得：F＝mgcsθ，T＝mg tan θ。在AC被突然剪断的瞬间，BC上的拉力F发生了突变，小球的加速度方向沿与BC垂直的方向且斜向下，大小为a＝mgsinθm＝g sin θ，B正确，A错误；在BC被突然剪断的瞬间，橡皮筋AC的拉力不变，小球的合力大小与BC被剪断前的拉力大小相等，方向沿BC方向斜向下，故加速度a＝Fm＝gcsθ，C正确，D错误。]
[母题变式]
1．如果将(典例2)中的BC绳换成轻弹簧，橡皮筋AC换成细线，如图所示。求剪断细线AC的瞬间小球的加速度。(重力加速度为g)
[解析] 水平细线AC剪断瞬间，小球所受重力mg和弹簧弹力FT不变，小球的所受合力F与水平AC的拉力等大反向，则小球的加速度a方向水平向右，如图所示，则mg tan θ＝ma，所以a＝g tan θ。
[答案] g tan θ，方向水平向右
2．如果将(典例2)改编为如图所示，两段轻绳A、B连接两个小球1、2，悬挂在天花板上。一轻弹簧C一端连接球2，另一端固定在竖直墙壁上。两小球均处于静止状态。轻绳A与竖直方向、轻绳B与水平方向的夹角均为30°，弹簧C沿水平方向。已知重力加速度为g。则( )
A．球1和球2的质量之比为1∶1
B．在轻绳B突然断裂的瞬间，球1的加速度大小为g
C．在轻绳A突然断裂的瞬间，球1的加速度方向竖直向下
D．在轻绳A突然断裂的瞬间，球1的加速度大小一定大于g
D [以小球1、2为整体，根据受力平衡可得tan 30°＝F弹m1+m2g，以小球2为对象，根据受力平衡可得tan 30°＝m2gF弹，联立可得m1m2＝21，故A错误；在轻绳B突然断裂的瞬间，球1将以轻绳A上端为圆心做圆周运动，加速度方向垂直轻绳A斜向下，根据牛顿第二定律可得a1＝m1gsin30°m1＝12g，故B错误；在轻绳A突然断裂的瞬间，以球2为对象，球2的重力和弹簧弹力均保持不变，故球2的重力和弹簧弹力的合力沿轻绳B斜向下，球2有沿轻绳B斜向下的加速度；由于轻绳B长度不可伸长，故断裂瞬间球1在沿轻绳B方向与球2具有相同的加速度，故轻绳B存在一定的拉力，可知轻绳A突然断裂的瞬间，球1受到重力和轻绳B拉力，球1受到的合力大于重力，故球1的加速度大小一定大于g，故C错误，D正确。]
解决瞬时性问题的基本思路
(1)分析原状态(给定状态)下物体的受力情况，求出各力大小(①若物体处于平衡状态，则利用平衡条件；②若处于加速状态，则利用牛顿第二定律)。
(2)分析当状态变化时(剪断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等)，哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失(被剪断的绳、弹簧中的弹力，发生在被撤去物接触面上的弹力都立即消失)。
(3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度。
[跟进训练]
2．如图所示，物块1、2间用刚性轻质杆连接，物块3、4间用轻质弹簧相连，物块1、3的质量均为m，物块2、4的质量均为M，两个系统均置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将两木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，物块1、2、3、4的加速度大小分别为a1、a2、a3、a4。重力加速度大小为g，则有( )
A．a1＝a2＝a3＝a4＝0
B．a1＝a2＝a3＝a4＝g
C．a1＝a2＝g，a3＝0，a4＝m+MMg
D．a1＝g，a2＝m+MMg，a3＝0，a4＝m+MMg
C [在抽出木板的瞬间，物块1、2与刚性轻质杆接触处的形变立即消失，受到的合力均等于各自重力，所以由牛顿第二定律知a1＝a2＝g；而物块3、4间的轻质弹簧的形变还来不及改变，此时弹簧对物块3向上的弹力大小和对物块4向下的弹力大小仍为mg，因此物块3满足mg＝F，a3＝0；由牛顿第二定律得物块4满足a4＝F+MgM＝M+mMg，所以C正确。]
牛顿第二定律的简单应用
行车时驾驶员及乘客必须系好安全带，以防止紧急刹车时造成意外伤害。
问题1 汽车突然刹车，要在很短时间内停下来，会产生很大的加速度，这时如何知道安全带对人的作用力大小呢？
提示：汽车刹车时的加速度可由刹车前的速度及刹车时间求得，由牛顿第二定律F＝ma可求得安全带产生的作用力大小。
问题2 汽车启动时，安全带对驾驶员产生作用力吗？
提示：汽车启动时，有向前的加速度，此时座椅的后背对驾驶员产生向前的作用力，安全带不会对驾驶员产生作用力。
1．求解加速度的两种方法
(1)合成法：若物体只受两个力作用时，应用平行四边形定则求这两个力的合力的大小，再应用牛顿第二定律求加速度的大小，物体所受合外力的方向即为加速度的方向。
(2)正交分解法：当物体受多个力作用处于加速状态时，常用正交分解法求物体所受的合力，再应用牛顿第二定律求加速度。为减少矢量的分解以简化运算，建立坐标系时，可有如下两个角度：
2．应用牛顿第二定律的一般步骤
(1)确定研究对象。
(2)进行受力分析和运动情况分析，作出受力和运动的示意图。
(3)求合力F或加速度a。
(4)根据F＝ma列方程求解。
【典例3】 如图所示，一载有小孩的雪橇总质量为30 kg，在拉力F作用下，沿水平地面向右做直线运动，该拉力与水平面夹角为30°，经过50 cm，速度由0.6 m/s均匀减至0.4 m/s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为0.2，求作用力F的大小(g取9.8 m/s2)。
[思路点拨] 由题意可知，物体做匀减速直线运动，已知初速度、末速度和位移，由运动学公式可求加速度，再由牛顿第二定律求出未知力。
[解析] 以小孩和雪橇整体为研究对象，建立直角坐标系，受力分析如图所示。
由题意可知，v0＝0.6 m/s，vt＝0.4 m/s，s＝50 cm＝0.5 m，m＝30 kg，μ＝0.2，θ＝30°。
由公式vt2-v02＝2as，得
a＝vt2-v022s＝0.42-0.622×0.5 m/s2＝－0.2 m/s2
加速度方向沿x轴负方向。根据牛顿第二定律，沿水平方向，有
F cs θ－Ff＝ma
沿竖直方向，有N＋F sin θ－mg＝0
又因为Ff＝μN，所以联立以上各式，得
F＝mμg+acsθ+μsinθ＝30×0.2×9.8-+0.2×0.5 N≈54.7 N
所以拉力F的大小为54.7 N。
[答案] 54.7 N
应用牛顿第二定律解题的三点技巧
(1)应用牛顿第二定律时，要注意分析物体的受力情况和运动情况。
(2)受力较多时常用正交分解法解题，建立坐标系时常以加速度的方向为某一坐标轴的正方向。
(3)对于多个物体组成的系统，若各个物体加速度相同，则可以看作一个整体来应用牛顿第二定律。
[跟进训练]
3．如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向θ＝37°角。小球和车厢相对静止，小球的质量为1 kg。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)求：
(1)车厢运动的加速度；
(2)悬线对小球的拉力。
[解析] 法一：合成法
由于车厢沿水平方向运动，且小球和车厢相对静止，所以小球加速度(或合力)的方向水平向右。选小球为研究对象，受力分析如图所示。
由牛顿第二定律得
F合＝mg tan θ＝ma
小球的加速度
a＝F合m＝gtan 37°＝34g＝7.5 m/s2。
悬线对小球的拉力大小为
F＝mgcs37°＝1×100.8 N＝12.5 N。
法二：正交分解法
建立直角坐标系，并将悬线对小球的拉力正交分解，如图所示。
沿水平方向有F sin θ＝ma
沿竖直方向有F cs θ＝mg
解得a＝7.5 m/s2，F＝12.5 N，a的方向水平向右。
[答案] (1)7.5 m/s2，方向水平向右 (2)12.5 N
1．(多选)下列对牛顿第二定律的理解正确的是( )
A．由F＝ma可知，F与a成正比，m与a成反比
B．牛顿第二定律说明当物体有加速度时，物体才受到外力的作用
C．加速度的方向总跟合外力的方向一致
D．当外力停止作用时，加速度随之消失
CD [物体所受外力和物体的质量与加速度无关，故选项A错误；B项违反了因果关系；选项C、D符合牛顿第二定律的矢量性和瞬时性关系，故选项C、D正确。]
2．在粗糙的水平面上，物体在水平推力F作用下由静止开始做匀加速直线运动，一段时间后，将F逐渐减小，在F逐渐减小到零的过程中，速度v和加速度a的变化情况是( )
A．v减小，a减小
B．v增大，a减小
C．v先减小后增大，a先增大后减小
D．v先增大后减小，a先减小后增大
D [物体在水平推力作用下由静止开始做匀加速直线运动，物体水平方向受到推力和滑动摩擦力，水平推力从开始减小到与滑动摩擦力大小相等的过程中，物体受到的推力大于摩擦力，做加速运动，合力减小，加速度减小，物体做加速度减小的加速运动；此后推力继续减小，推力小于滑动摩擦力，合力与速度方向相反，做减速运动，合力反向增大，加速度反向增大，物体做加速度增大的减速运动；所以物体速度先增大后减小，加速度先减小后增大，故选项D正确，A、B、C错误。]
3．如图所示，A、B两球用细线悬挂于天花板上且静止不动，两球质量mA＝2mB，两球间连有一个轻质弹簧。如果突然剪断悬线，则在剪断悬线瞬间( )
A．A球的加速度为32g，B球的加速度为g
B．A球的加速度为32g，B球的加速度为0
C．A球的加速度为g，B球的加速度为0
D．A球的加速度为12g，B球的加速度为g
B [在剪断悬线的瞬间弹簧的弹力保持不变，则B球的合力为零，加速度为零；对A球有(mA＋mB)g＝mAaA，解得aA＝32g，故B正确。]
4．如图所示，质量为4 kg的物体静止于水平面上。现用大小为40 N、与水平方向夹角为37°的斜向上的力F拉物体，使物体沿水平面做匀加速直线运动(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)。
(1)若水平面光滑，物体的加速度是多大？
(2)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，物体的加速度是多大？
[解析] (1)水平面光滑时，物体的受力情况如图甲所示
由牛顿第二定律：Fcs 37°＝ma1
解得a1＝8 m/s2。
(2)水平面不光滑时，物体的受力情况如图乙所示
Fcs 37°－Ff＝ma2
FN′＋Fsin 37°＝mg
Ff＝μFN′
联立解得a2＝6 m/s2。
[答案] (1)8 m/s2 (2)6 m/s2
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．牛顿第二定律的内容是怎样表述的？
提示：牛顿第二定律的内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
2．牛顿第二定律的比例式如何表示？
提示：a∝Fm，也可以写成等式：F＝kma。
3．式中各物理量的单位是什么，其中力的单位“牛顿”是怎样定义的？
提示：F的单位：N；m的单位：kg；a的单位：m/s2；能使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力定义为1牛顿。
4．当物体受到几个共点力的作用时，式中的F指什么？此时的比例式如何表示？
提示：F指合外力。m＝F合a。
课时分层作业(十五) 牛顿第二定律
◎题组一 对牛顿第二定律的理解
1．(多选)关于牛顿第二定律的表达式F＝kma，下列说法正确的是( )
A．在任何情况下式中k都等于1
B．式中k的数值由质量、加速度和力的大小决定
C．式中k的数值由质量、加速度和力的单位决定
D．物理学中定义使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力为1 N
CD [在牛顿第二定律的表达式F＝kma中，k的数值由质量、加速度和力的单位决定，只有当质量的单位为kg、加速度的单位为m/s2、力的单位为N时，比例系数k才等于1，A、B错误，C正确；由牛顿第二定律F＝ma，知m＝1 kg、a＝1 m/s2时，1 N＝kg·m/s2，即使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力为1 N，D正确。]
2．下列说法正确的是( )
A．由牛顿第二定律知，加速度大的物体，所受的合外力一定大
B．物体的加速度大，说明它的质量一定小
C．任何情况下，物体的加速度大，速度变化量一定大
D．a与Δv及Δt无关，但可以用Δv和Δt的比值来计算加速度a的大小
D [加速大的物体，所受合外力不一定大，因为物体的质量不确定，故选项A错误；物体的加速度大，质量不一定小，因为力有可能更大，选项B错误；a＝ΔvΔt只能用于计算加速度a，a与Δv和Δt无比例关系，物体的加速度大，速度变化量Δv可能很小，选项C错误，D正确。]
3．由牛顿第二定律F＝ma可知，无论多小的力都能使物体产生加速度，可是当用很小的力去推很重的桌子时，却推不动，这是因为( )
A．牛顿第二定律不适用于静止的物体
B．桌子加速度很小，速度增量也很小，眼睛观察不到
C．推力小于桌子所受到的静摩擦力，加速度为负值
D．桌子所受的合力为零，加速度为零
D [牛顿第二定律适用于宏观物体，低速运动，对于静止的物体同样适用，故A错误；当我们用一个很小的水平力去推很重的桌子时，却推不动它，因为推力和静摩擦力平衡，合力为零，根据牛顿第二定律知，加速度为零，故D正确，B、C错误。]
◎题组二 瞬时加速度的分析与计算
4．如图所示，静止在光滑水平面上的物体A，一端靠着处于自然状态的弹簧。现对物体作用一水平恒力，在弹簧被压缩到最短的这一过程中，物体的速度和加速度变化的情况是( )
A．速度增大，加速度增大
B．速度增大，加速度减小
C．速度先增大后减小，加速度先减小后增大
D．速度先增大后减小，加速度先增大后减小
C [力F作用在A上的开始阶段，弹簧弹力kx较小，合力与速度方向同向，物体速度增大，而合力(F－kx)随x增大而减小，加速度也减小，当F＝kx以后，随物体A向左运动，弹力kx大于F，合力方向与速度反向，速度减小，而加速度a随x的增大而增大。综上所述，只有C正确。]
5．(2022·江西赣南师范大学附属中学高一期末)如图所示，一根弹簧一端固定在左侧竖直墙上，另一端连着A小球，同时水平细线一端连着A球，另一端固定在右侧竖直墙上，弹簧与竖直方向的夹角是60°，A、B两小球分别连在另一根竖直弹簧两端。开始时A、B两球都静止不动，A、B两小球的质量相等，重力加速度为g，若不计弹簧质量，在水平细线被剪断瞬间，A、B两球的加速度分别为( )
A．aA＝aB＝g B．aA＝2g，aB＝0
C．aA＝3g，aB＝0 D．aA＝23g，aB＝0
D [设两个小球的质量都为m，以A、B球整体作为研究对象，由平衡条件得细线拉力T＝2mg tan 60°＝23mg，剪断细线瞬间弹簧的弹力没有变化，A球受到的合力与原来细线的拉力大小相等，方向相反，由牛顿第二定律得aA＝23mgm＝23g，B球的受力情况不变，则加速度仍为0。]
6．(多选)如图所示，A、B两球质量相等，光滑斜面的倾角为θ，图甲中A、B两球用轻弹簧相连，图乙中A、B两球用轻杆相连，系统静止时，挡板C与斜面垂直，弹簧、轻杆均与斜面平行，重力加速度为g，在突然撤去挡板的瞬间( )
A．图乙中A、B球间杆的作用力为零
B．图乙中A球的加速度为g sin θ
C．图甲中B球的加速度为2g sin θ
D．图甲中A球的加速度为g sin θ
ABC [撤去挡板前，对整体分析，挡板对B球的弹力大小为2mg sin θ，因弹簧弹力不能突变，而杆的弹力会突变，所以撤去挡板瞬间，题图甲中A球所受合力为零，加速度为零，B球所受合力为2mg sin θ，加速度为2g sin θ；题图乙中杆的弹力突变为零，A、B球所受合力均为mg sin θ，加速度均为g sin θ，选项A、B、C正确，D错误。]
◎题组三 牛顿第二定律的简单应用
7．如图所示，在与水平方向成θ角、大小为F的力作用下，质量为m的物块沿竖直墙壁加速下滑，已知物块与墙壁的动摩擦因数为μ。则下滑过程中物块的加速度大小为( )
A．a＝g－μg
B．a＝g－μFcsθm
C．a＝g－μFsinθm
D．a＝g－Fsinθ+μFcsθm
D [将F分解可得，物体在垂直于墙壁方向上受到的压力为N＝F cs θ，则物体对墙壁的压力为N′＝N＝F cs θ；物体受到的滑动摩擦力为Ff＝μN′＝μF cs θ，根据牛顿第二定律可得mg－Ff－F sin θ＝ma，解得a＝g－Fsinθ+μFcsθm；故选D。]
8．(2022·福建建瓯高一月考)如图所示的装置可以测量汽车在水平路面上做匀加速直线运动的加速度。该装置在矩形箱子的前、后壁上各安装一个由力敏电阻组成的压力传感器，用两根相同的轻弹簧夹着一个质量为2.0 kg的滑块，滑块可无摩擦滑动，两弹簧的另一端分别压在传感器a、b上，其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出。现将该装置沿运动方向固定在汽车上，传感器b在前，传感器a在后，汽车静止时，传感器a、b的示数均为10 N(取g＝10 m/s2)。
(1)若传感器a的示数为14 N、b的示数为6 N，求此时汽车的加速度大小和方向；
(2)求当汽车以怎样的加速度运动时，传感器a的示数恰为零。
[解析] (1)对滑块在水平方向上受力分析，如图所示，根据牛顿第二定律Fa－Fb＝ma1，
则a1＝Fa-Fbm＝14-62 m/s2＝4 m/s2
方向与速度方向相同。
(2)根据题意，当左侧弹簧弹力Fa′＝0时，右侧弹簧的弹力Fb′＝20 N
根据牛顿第二定律，Fb′＝ma2
代入数据得a2＝Fb'm＝202 m/s2＝10 m/s2，方向与速度方向相反。
[答案] (1)4.0 m/s2 与速度方向相同
(2)10 m/s2 与速度方向相反
9．(多选)如图所示，吊篮A、物体B、物体C的质量分别为m、3m、2m，B和C分别固定在弹簧两端，弹簧的质量不计。B和C在吊篮的水平底板上处于静止状态。将悬挂吊篮的轻绳剪断的瞬间( )
A．吊篮A的加速度大小为g
B．物体B的加速度大小为0
C．物体C的加速度大小为2g
D．A对C的支持力大小等于5mg
BC [装置静止时，弹簧的弹力F＝3mg，剪断轻绳的瞬间，弹簧的弹力不变，将C和A看成一个整体，根据牛顿第二定律得：aAC＝F+m+2mgm+2m＝2g，即A、C的加速度均为2g，方向向下，故A错误，C正确；剪断轻绳的瞬间，弹簧的弹力不变，B的合力仍然为零，则B的加速度为0，故B正确；设A对C的支持力为N，则对C由牛顿第二定律得：F＋2mg－N＝2maAC，解得A对C的支持力大小N＝mg，故D错误。]
10．早在公元前4世纪末，我国的《墨经》中就有关于力和运动的一些见解，如“绳下直，权重相若则正矣。收，上者愈丧，下者愈得”，这句话所描述的与下述物理现象相似。如图所示，一根跨过定滑轮的轻绳两端各悬挂一重物，当两重物质量均为m时，系统处于平衡状态。若减小其中一个重物的质量，系统就无法保持平衡，上升的重物减小的质量Δm越多，另一个重物下降的加速度a就越大。已知重力加速度为g，则a与Δm的关系图像可能是( )
A B
C D
C [不妨假设右边的物体质量减少Δm，则右边的物体向上做匀减速运动，左边的物体做向下做匀加速运动，它们的加速度a大小相等，绳子的拉力F大小相等。
对右边物体，根据牛顿第二定律
F－(m－Δm)g＝(m－Δm)a ①
对左边物体，根据牛顿第二定律mg－F＝ma ②
联合①②式可得：a＝Δm2m-Δm·g＝12mΔm-1·g，根据上式知，Δm和a并非是线性化关系，故A、B错误；当Δm＝m时，可得 a＝g，故C正确，D错误。]
11．自制一个加速度计，其构造是：一根轻杆，下端固定一个小球，上端装在水平轴O上，杆可在竖直平面内左右摆动，用白硬纸作为表盘，放在杆摆动的平面上，并刻上刻度，可以直接读出加速度的大小和方向。使用时，加速度计右端朝汽车前进的方向，如图所示，g取9.8 m/s2。
(1)硬纸上刻度线b在经过O点的竖直线上，则在b处应标的加速度数值是多少？
(2)刻度线c和O点的连线与Ob的夹角为30°，则c处应标的加速度数值是多少？
(3)刻度线d和O点的连线与Ob的夹角为45°。在汽车前进时，若轻杆稳定地指在d处，则0.5 s内汽车速度变化了多少？
[解析] (1)当轻杆与Ob重合时，小球所受合力为0，其加速度为0，车的加速度亦为0，故b处应标的加速度数值为0。
(2)法一 合成法
当轻杆与Oc重合时，以小球为研究对象，受力分析如图所示
根据力的合成的平行四边形定则和牛顿第二定律得mg tan θ＝ma1
解得a1＝g tan θ＝9.8×33 m/s2≈5.66 m/s2。
法二 正交分解法
建立直角坐标系，并将轻杆对小球的拉力正交分解，如图所示。
则沿水平方向有F sin θ＝ma
竖直方向有F cs θ－mg＝0
联立以上两式可解得小球的加速度
a≈5.66 m/s2，方向水平向右
即c处应标的加速度数值为5.66 m/s2。
(3)若轻杆与Od重合，同理可得mgtan 45°＝ma2，
解得a2＝gtan 45°＝9.8 m/s2，方向水平向左，与速度方向相反
所以在0.5 s内汽车速度应减少，减少量
Δv＝a2Δt＝9.8×0.5 m/s＝4.9 m/s。
[答案] (1)0 (2)5.66 m/s2 (3)减少了4.9 m/s
12．如图甲所示，某人正通过定滑轮将质量为m的货物提升到高处。滑轮的质量和摩擦均不计，货物获得的加速度a与绳子对货物竖直向上的拉力T之间的关系图像如图乙所示。由图可以判断下列说法错误的是(重力加速度为g)( )
A．图线与纵轴的交点M的值aM＝－g
B．图线的斜率等于物体质量的倒数1m
C．图线与横轴的交点N的值TN＝mg
D．图线的斜率等于物体的质量m
D [对货物受力分析，受重力mg和拉力T，根据牛顿第二定律，有T－mg＝ma，得a＝1mT－g；当a＝0时，T＝mg，故图线与横轴的交点N的值TN＝mg，故C正确；当T＝0时，a＝－g，即图线与纵轴的交点M的值aM＝－g，故A正确；图线的斜率表示物体质量的倒数1m，故B正确，D错误。]
学习任务
1．掌握牛顿第二定律的内容和数学表达式。
2．知道国际单位制中力的单位是怎样定义的。
3．会运用牛顿第二定律分析和处理实际生活中的简单问题。
性质
理解
因果性
力是产生加速度的原因，只要物体所受的合力不为0，物体就具有加速度
矢量性
F＝ma是一个矢量式。物体的加速度方向由它受的合力方向决定，且总与合力的方向相同
瞬时性
加速度与合外力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失
同体性
F＝ma中F、m、a都是对同一物体而言的
独立性
作用在物体上的每一个力都产生加速度，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和
相对性
物体的加速度是相对于惯性参考系而言的，即牛顿第二定律只适用于惯性参考系
刚性绳模型(细钢丝、细线、轻杆等)
此类形变属于微小形变，其发生变化过程时间极短，在物体的受力情况改变(如某个力消失)的瞬间，其形变可随之突变，弹力可以突变
轻弹簧模型(轻弹簧、橡皮绳、弹性绳等)
此类形变属于明显形变，其发生改变需要一段的时间，在瞬时问题中，其弹力的大小不能突变，可看成是不变的
分解力
通常以加速度a的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，将物体所受的各个力分解在x轴和y轴上，分别得x轴和y轴的合力Fx和Fy，得方程Fx=maFy=0
分解加
速度
若物体所受各力都在互相垂直的方向上，但加速度却不在这两个方向上，这时可以把力的方向规定为x轴、y轴正方向，只需分解加速度a，得ax和ay，根据牛顿第二定律得方程Fx=maxFy=may
对牛顿第二定律的理解
1．内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
2．表达式：F＝kma，式中k是比例系数，F是物体所受的合力。
3．意义：
(1)阐述了力、质量和加速度三者数量间的关系
(2)明确了加速度的方向与力的方向一致。
4．力的单位
(1)力的单位：牛顿，符号是N。
(2)1 N的物理意义：使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力，称为1 N，即1 N＝1 kg·m/s2。
如图所示是一辆方程式赛车，车身结构一般采用碳纤维等材料进行轻量化设计，比一般小汽车的质量小得多，而且还安装了功率很大的发动机，可以在4～5 s的时间内从静止加速到100 km/h。
问题1 加速度方向取决于合力方向还是速度方向？
提示：加速度方向取决于合力的方向。
问题2 加速度的大小和哪些因素有关？
提示：加速度的大小与物体所受的合外力、物体的质量有关。
问题3 你知道为什么要使赛车具备质量小、功率大两个特点吗？
提示：赛车的质量小，赛车的运动状态容易改变；功率大，可以为赛车提供较大的动力。因此，这两大特点可以使赛车提速非常快(加速度大)。
1．对牛顿第二定律的理解
(1)公式F＝ma中，若F是合力，加速度a为物体的实际加速度；若F是某一个力，加速度a为该力产生的加速度。
(2)a＝Fm是加速度的决定式，它揭示了物体产生加速度的原因及影响物体加速度的因素。
(3)F、m、a三个物理量的单位都为国际单位制时，才有公式F＝kma中k＝1，即F＝ma。
2．牛顿第二定律的六个性质
【典例1】 (多选)(2022·山东济南高一检测)关于牛顿第二定律，下列说法正确的有( )
A．公式F＝ma中，各量的单位可以任意选取
B．某一瞬间的加速度只决定于这一瞬间物体所受合外力，而与这之前或之后的受力无关
C．公式F＝ma中，F表示物体所受合力，a实际上是作用于该物体上每一个力所产生的加速度的矢量和
D．物体的运动方向一定与它所受合外力方向一致
BC [F、m和a必须选取统一的国际单位，才可写成F＝ma的形式，否则比例系数k≠1，所以选项A错误；牛顿第二定律表述的是某一时刻合外力与加速度的对应关系，它既表明F、m和a三者数值上的对应关系，同时也表明合外力的方向与加速度的方向是一致的，即矢量对应关系，而与速度方向不一定相同，所以选项B正确，D错误；由力的独立作用原理知，作用在物体上的每个力都将各自产生一个加速度，与其他力的作用无关，物体的加速度是每个力所产生的加速度的矢量和，所以选项C正确。]
[跟进训练]
1．(多选)关于牛顿第二定律，说法正确的是( )
A．物体的质量跟外力成正比，跟加速度成反比
B．加速度的方向一定与合外力的方向一致
C．物体加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比
D．由于加速度跟合外力成正比，整块砖的重力加速度一定是半块砖重力加速度的2倍
BC [物体质量是物体的固有属性，不随外界条件的变化而变化，故A错误；加速度是由合外力提供的，加速度的方向一定与合外力的方向一致，故B正确；根据牛顿第二定律可得：a＝Fm，可以得出物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，故C正确；加速度与合外力和物体质量都有关系，不能仅根据合外力大小判断加速度大小，故D错误。]
牛顿第二定律的瞬时性问题
如图所示的小球放在水平面上，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成θ＝45°角的不可伸长的轻绳一端相连，小球与水平面的动摩擦因数μ＝0.2，质量为m＝2 kg，此时小球处于静止平衡状态，且水平面对小球的弹力恰好为零。(取g＝10 m/s2)
问题1 图中小球受到哪些力的作用？
提示：小球受重力、弹簧的拉力、轻绳的拉力。
问题2 当剪断轻绳的瞬间小球的加速度大小和方向？
提示：8 m/s2，方向向左。
问题3 当剪断弹簧的瞬间小球的加速度大小和方向？
提示：0。
1．瞬时加速度问题：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，加速度和力同时产生，同时变化，同时消失。分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻前后物体的受力情况及其变化。
2．两种基本模型
【典例2】 (多选)如图所示，质量为m的小球被一根橡皮筋AC和一根绳BC系住，当小球静止时，橡皮筋处在水平方向上。下列判断正确的是( )
A．在AC被突然剪断的瞬间，BC对小球的拉力不变
B．在AC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为g sin θ
C．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为gcsθ
D．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为g sin θ
[思路点拨] 解答本题应把握以下两点：
①在AC被突然剪断的瞬间，BC对小球的拉力发生突变。
②在BC被突然剪断的瞬间，橡皮筋AC的弹力不能突变。
BC [设小球静止时绳BC的拉力为F，橡皮筋AC的拉力为T，由平衡条件可得：F cs θ＝mg，F sin θ＝T，解得：F＝mgcsθ，T＝mg tan θ。在AC被突然剪断的瞬间，BC上的拉力F发生了突变，小球的加速度方向沿与BC垂直的方向且斜向下，大小为a＝mgsinθm＝g sin θ，B正确，A错误；在BC被突然剪断的瞬间，橡皮筋AC的拉力不变，小球的合力大小与BC被剪断前的拉力大小相等，方向沿BC方向斜向下，故加速度a＝Fm＝gcsθ，C正确，D错误。]
[母题变式]
1．如果将(典例2)中的BC绳换成轻弹簧，橡皮筋AC换成细线，如图所示。求剪断细线AC的瞬间小球的加速度。(重力加速度为g)
[解析] 水平细线AC剪断瞬间，小球所受重力mg和弹簧弹力FT不变，小球的所受合力F与水平AC的拉力等大反向，则小球的加速度a方向水平向右，如图所示，则mg tan θ＝ma，所以a＝g tan θ。
[答案] g tan θ，方向水平向右
2．如果将(典例2)改编为如图所示，两段轻绳A、B连接两个小球1、2，悬挂在天花板上。一轻弹簧C一端连接球2，另一端固定在竖直墙壁上。两小球均处于静止状态。轻绳A与竖直方向、轻绳B与水平方向的夹角均为30°，弹簧C沿水平方向。已知重力加速度为g。则( )
A．球1和球2的质量之比为1∶1
B．在轻绳B突然断裂的瞬间，球1的加速度大小为g
C．在轻绳A突然断裂的瞬间，球1的加速度方向竖直向下
D．在轻绳A突然断裂的瞬间，球1的加速度大小一定大于g
D [以小球1、2为整体，根据受力平衡可得tan 30°＝F弹m1+m2g，以小球2为对象，根据受力平衡可得tan 30°＝m2gF弹，联立可得m1m2＝21，故A错误；在轻绳B突然断裂的瞬间，球1将以轻绳A上端为圆心做圆周运动，加速度方向垂直轻绳A斜向下，根据牛顿第二定律可得a1＝m1gsin30°m1＝12g，故B错误；在轻绳A突然断裂的瞬间，以球2为对象，球2的重力和弹簧弹力均保持不变，故球2的重力和弹簧弹力的合力沿轻绳B斜向下，球2有沿轻绳B斜向下的加速度；由于轻绳B长度不可伸长，故断裂瞬间球1在沿轻绳B方向与球2具有相同的加速度，故轻绳B存在一定的拉力，可知轻绳A突然断裂的瞬间，球1受到重力和轻绳B拉力，球1受到的合力大于重力，故球1的加速度大小一定大于g，故C错误，D正确。]
解决瞬时性问题的基本思路
(1)分析原状态(给定状态)下物体的受力情况，求出各力大小(①若物体处于平衡状态，则利用平衡条件；②若处于加速状态，则利用牛顿第二定律)。
(2)分析当状态变化时(剪断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等)，哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失(被剪断的绳、弹簧中的弹力，发生在被撤去物接触面上的弹力都立即消失)。
(3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度。
[跟进训练]
2．如图所示，物块1、2间用刚性轻质杆连接，物块3、4间用轻质弹簧相连，物块1、3的质量均为m，物块2、4的质量均为M，两个系统均置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将两木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，物块1、2、3、4的加速度大小分别为a1、a2、a3、a4。重力加速度大小为g，则有( )
A．a1＝a2＝a3＝a4＝0
B．a1＝a2＝a3＝a4＝g
C．a1＝a2＝g，a3＝0，a4＝m+MMg
D．a1＝g，a2＝m+MMg，a3＝0，a4＝m+MMg
C [在抽出木板的瞬间，物块1、2与刚性轻质杆接触处的形变立即消失，受到的合力均等于各自重力，所以由牛顿第二定律知a1＝a2＝g；而物块3、4间的轻质弹簧的形变还来不及改变，此时弹簧对物块3向上的弹力大小和对物块4向下的弹力大小仍为mg，因此物块3满足mg＝F，a3＝0；由牛顿第二定律得物块4满足a4＝F+MgM＝M+mMg，所以C正确。]
牛顿第二定律的简单应用
行车时驾驶员及乘客必须系好安全带，以防止紧急刹车时造成意外伤害。
问题1 汽车突然刹车，要在很短时间内停下来，会产生很大的加速度，这时如何知道安全带对人的作用力大小呢？
提示：汽车刹车时的加速度可由刹车前的速度及刹车时间求得，由牛顿第二定律F＝ma可求得安全带产生的作用力大小。
问题2 汽车启动时，安全带对驾驶员产生作用力吗？
提示：汽车启动时，有向前的加速度，此时座椅的后背对驾驶员产生向前的作用力，安全带不会对驾驶员产生作用力。
1．求解加速度的两种方法
(1)合成法：若物体只受两个力作用时，应用平行四边形定则求这两个力的合力的大小，再应用牛顿第二定律求加速度的大小，物体所受合外力的方向即为加速度的方向。
(2)正交分解法：当物体受多个力作用处于加速状态时，常用正交分解法求物体所受的合力，再应用牛顿第二定律求加速度。为减少矢量的分解以简化运算，建立坐标系时，可有如下两个角度：
2．应用牛顿第二定律的一般步骤
(1)确定研究对象。
(2)进行受力分析和运动情况分析，作出受力和运动的示意图。
(3)求合力F或加速度a。
(4)根据F＝ma列方程求解。
【典例3】 如图所示，一载有小孩的雪橇总质量为30 kg，在拉力F作用下，沿水平地面向右做直线运动，该拉力与水平面夹角为30°，经过50 cm，速度由0.6 m/s均匀减至0.4 m/s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为0.2，求作用力F的大小(g取9.8 m/s2)。
[思路点拨] 由题意可知，物体做匀减速直线运动，已知初速度、末速度和位移，由运动学公式可求加速度，再由牛顿第二定律求出未知力。
[解析] 以小孩和雪橇整体为研究对象，建立直角坐标系，受力分析如图所示。
由题意可知，v0＝0.6 m/s，vt＝0.4 m/s，s＝50 cm＝0.5 m，m＝30 kg，μ＝0.2，θ＝30°。
由公式vt2-v02＝2as，得
a＝vt2-v022s＝0.42-0.622×0.5 m/s2＝－0.2 m/s2
加速度方向沿x轴负方向。根据牛顿第二定律，沿水平方向，有
F cs θ－Ff＝ma
沿竖直方向，有N＋F sin θ－mg＝0
又因为Ff＝μN，所以联立以上各式，得
F＝mμg+acsθ+μsinθ＝30×0.2×9.8-+0.2×0.5 N≈54.7 N
所以拉力F的大小为54.7 N。
[答案] 54.7 N
应用牛顿第二定律解题的三点技巧
(1)应用牛顿第二定律时，要注意分析物体的受力情况和运动情况。
(2)受力较多时常用正交分解法解题，建立坐标系时常以加速度的方向为某一坐标轴的正方向。
(3)对于多个物体组成的系统，若各个物体加速度相同，则可以看作一个整体来应用牛顿第二定律。
[跟进训练]
3．如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向θ＝37°角。小球和车厢相对静止，小球的质量为1 kg。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)求：
(1)车厢运动的加速度；
(2)悬线对小球的拉力。
[解析] 法一：合成法
由于车厢沿水平方向运动，且小球和车厢相对静止，所以小球加速度(或合力)的方向水平向右。选小球为研究对象，受力分析如图所示。
由牛顿第二定律得
F合＝mg tan θ＝ma
小球的加速度
a＝F合m＝gtan 37°＝34g＝7.5 m/s2。
悬线对小球的拉力大小为
F＝mgcs37°＝1×100.8 N＝12.5 N。
法二：正交分解法
建立直角坐标系，并将悬线对小球的拉力正交分解，如图所示。
沿水平方向有F sin θ＝ma
沿竖直方向有F cs θ＝mg
解得a＝7.5 m/s2，F＝12.5 N，a的方向水平向右。
[答案] (1)7.5 m/s2，方向水平向右 (2)12.5 N
1．(多选)下列对牛顿第二定律的理解正确的是( )
A．由F＝ma可知，F与a成正比，m与a成反比
B．牛顿第二定律说明当物体有加速度时，物体才受到外力的作用
C．加速度的方向总跟合外力的方向一致
D．当外力停止作用时，加速度随之消失
CD [物体所受外力和物体的质量与加速度无关，故选项A错误；B项违反了因果关系；选项C、D符合牛顿第二定律的矢量性和瞬时性关系，故选项C、D正确。]
2．在粗糙的水平面上，物体在水平推力F作用下由静止开始做匀加速直线运动，一段时间后，将F逐渐减小，在F逐渐减小到零的过程中，速度v和加速度a的变化情况是( )
A．v减小，a减小
B．v增大，a减小
C．v先减小后增大，a先增大后减小
D．v先增大后减小，a先减小后增大
D [物体在水平推力作用下由静止开始做匀加速直线运动，物体水平方向受到推力和滑动摩擦力，水平推力从开始减小到与滑动摩擦力大小相等的过程中，物体受到的推力大于摩擦力，做加速运动，合力减小，加速度减小，物体做加速度减小的加速运动；此后推力继续减小，推力小于滑动摩擦力，合力与速度方向相反，做减速运动，合力反向增大，加速度反向增大，物体做加速度增大的减速运动；所以物体速度先增大后减小，加速度先减小后增大，故选项D正确，A、B、C错误。]
3．如图所示，A、B两球用细线悬挂于天花板上且静止不动，两球质量mA＝2mB，两球间连有一个轻质弹簧。如果突然剪断悬线，则在剪断悬线瞬间( )
A．A球的加速度为32g，B球的加速度为g
B．A球的加速度为32g，B球的加速度为0
C．A球的加速度为g，B球的加速度为0
D．A球的加速度为12g，B球的加速度为g
B [在剪断悬线的瞬间弹簧的弹力保持不变，则B球的合力为零，加速度为零；对A球有(mA＋mB)g＝mAaA，解得aA＝32g，故B正确。]
4．如图所示，质量为4 kg的物体静止于水平面上。现用大小为40 N、与水平方向夹角为37°的斜向上的力F拉物体，使物体沿水平面做匀加速直线运动(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)。
(1)若水平面光滑，物体的加速度是多大？
(2)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，物体的加速度是多大？
[解析] (1)水平面光滑时，物体的受力情况如图甲所示
由牛顿第二定律：Fcs 37°＝ma1
解得a1＝8 m/s2。
(2)水平面不光滑时，物体的受力情况如图乙所示
Fcs 37°－Ff＝ma2
FN′＋Fsin 37°＝mg
Ff＝μFN′
联立解得a2＝6 m/s2。
[答案] (1)8 m/s2 (2)6 m/s2
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．牛顿第二定律的内容是怎样表述的？
提示：牛顿第二定律的内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
2．牛顿第二定律的比例式如何表示？
提示：a∝Fm，也可以写成等式：F＝kma。
3．式中各物理量的单位是什么，其中力的单位“牛顿”是怎样定义的？
提示：F的单位：N；m的单位：kg；a的单位：m/s2；能使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力定义为1牛顿。
4．当物体受到几个共点力的作用时，式中的F指什么？此时的比例式如何表示？
提示：F指合外力。m＝F合a。
课时分层作业(十五) 牛顿第二定律
◎题组一 对牛顿第二定律的理解
1．(多选)关于牛顿第二定律的表达式F＝kma，下列说法正确的是( )
A．在任何情况下式中k都等于1
B．式中k的数值由质量、加速度和力的大小决定
C．式中k的数值由质量、加速度和力的单位决定
D．物理学中定义使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力为1 N
CD [在牛顿第二定律的表达式F＝kma中，k的数值由质量、加速度和力的单位决定，只有当质量的单位为kg、加速度的单位为m/s2、力的单位为N时，比例系数k才等于1，A、B错误，C正确；由牛顿第二定律F＝ma，知m＝1 kg、a＝1 m/s2时，1 N＝kg·m/s2，即使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力为1 N，D正确。]
2．下列说法正确的是( )
A．由牛顿第二定律知，加速度大的物体，所受的合外力一定大
B．物体的加速度大，说明它的质量一定小
C．任何情况下，物体的加速度大，速度变化量一定大
D．a与Δv及Δt无关，但可以用Δv和Δt的比值来计算加速度a的大小
D [加速大的物体，所受合外力不一定大，因为物体的质量不确定，故选项A错误；物体的加速度大，质量不一定小，因为力有可能更大，选项B错误；a＝ΔvΔt只能用于计算加速度a，a与Δv和Δt无比例关系，物体的加速度大，速度变化量Δv可能很小，选项C错误，D正确。]
3．由牛顿第二定律F＝ma可知，无论多小的力都能使物体产生加速度，可是当用很小的力去推很重的桌子时，却推不动，这是因为( )
A．牛顿第二定律不适用于静止的物体
B．桌子加速度很小，速度增量也很小，眼睛观察不到
C．推力小于桌子所受到的静摩擦力，加速度为负值
D．桌子所受的合力为零，加速度为零
D [牛顿第二定律适用于宏观物体，低速运动，对于静止的物体同样适用，故A错误；当我们用一个很小的水平力去推很重的桌子时，却推不动它，因为推力和静摩擦力平衡，合力为零，根据牛顿第二定律知，加速度为零，故D正确，B、C错误。]
◎题组二 瞬时加速度的分析与计算
4．如图所示，静止在光滑水平面上的物体A，一端靠着处于自然状态的弹簧。现对物体作用一水平恒力，在弹簧被压缩到最短的这一过程中，物体的速度和加速度变化的情况是( )
A．速度增大，加速度增大
B．速度增大，加速度减小
C．速度先增大后减小，加速度先减小后增大
D．速度先增大后减小，加速度先增大后减小
C [力F作用在A上的开始阶段，弹簧弹力kx较小，合力与速度方向同向，物体速度增大，而合力(F－kx)随x增大而减小，加速度也减小，当F＝kx以后，随物体A向左运动，弹力kx大于F，合力方向与速度反向，速度减小，而加速度a随x的增大而增大。综上所述，只有C正确。]
5．(2022·江西赣南师范大学附属中学高一期末)如图所示，一根弹簧一端固定在左侧竖直墙上，另一端连着A小球，同时水平细线一端连着A球，另一端固定在右侧竖直墙上，弹簧与竖直方向的夹角是60°，A、B两小球分别连在另一根竖直弹簧两端。开始时A、B两球都静止不动，A、B两小球的质量相等，重力加速度为g，若不计弹簧质量，在水平细线被剪断瞬间，A、B两球的加速度分别为( )
A．aA＝aB＝g B．aA＝2g，aB＝0
C．aA＝3g，aB＝0 D．aA＝23g，aB＝0
D [设两个小球的质量都为m，以A、B球整体作为研究对象，由平衡条件得细线拉力T＝2mg tan 60°＝23mg，剪断细线瞬间弹簧的弹力没有变化，A球受到的合力与原来细线的拉力大小相等，方向相反，由牛顿第二定律得aA＝23mgm＝23g，B球的受力情况不变，则加速度仍为0。]
6．(多选)如图所示，A、B两球质量相等，光滑斜面的倾角为θ，图甲中A、B两球用轻弹簧相连，图乙中A、B两球用轻杆相连，系统静止时，挡板C与斜面垂直，弹簧、轻杆均与斜面平行，重力加速度为g，在突然撤去挡板的瞬间( )
A．图乙中A、B球间杆的作用力为零
B．图乙中A球的加速度为g sin θ
C．图甲中B球的加速度为2g sin θ
D．图甲中A球的加速度为g sin θ
ABC [撤去挡板前，对整体分析，挡板对B球的弹力大小为2mg sin θ，因弹簧弹力不能突变，而杆的弹力会突变，所以撤去挡板瞬间，题图甲中A球所受合力为零，加速度为零，B球所受合力为2mg sin θ，加速度为2g sin θ；题图乙中杆的弹力突变为零，A、B球所受合力均为mg sin θ，加速度均为g sin θ，选项A、B、C正确，D错误。]
◎题组三 牛顿第二定律的简单应用
7．如图所示，在与水平方向成θ角、大小为F的力作用下，质量为m的物块沿竖直墙壁加速下滑，已知物块与墙壁的动摩擦因数为μ。则下滑过程中物块的加速度大小为( )
A．a＝g－μg
B．a＝g－μFcsθm
C．a＝g－μFsinθm
D．a＝g－Fsinθ+μFcsθm
D [将F分解可得，物体在垂直于墙壁方向上受到的压力为N＝F cs θ，则物体对墙壁的压力为N′＝N＝F cs θ；物体受到的滑动摩擦力为Ff＝μN′＝μF cs θ，根据牛顿第二定律可得mg－Ff－F sin θ＝ma，解得a＝g－Fsinθ+μFcsθm；故选D。]
8．(2022·福建建瓯高一月考)如图所示的装置可以测量汽车在水平路面上做匀加速直线运动的加速度。该装置在矩形箱子的前、后壁上各安装一个由力敏电阻组成的压力传感器，用两根相同的轻弹簧夹着一个质量为2.0 kg的滑块，滑块可无摩擦滑动，两弹簧的另一端分别压在传感器a、b上，其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出。现将该装置沿运动方向固定在汽车上，传感器b在前，传感器a在后，汽车静止时，传感器a、b的示数均为10 N(取g＝10 m/s2)。
(1)若传感器a的示数为14 N、b的示数为6 N，求此时汽车的加速度大小和方向；
(2)求当汽车以怎样的加速度运动时，传感器a的示数恰为零。
[解析] (1)对滑块在水平方向上受力分析，如图所示，根据牛顿第二定律Fa－Fb＝ma1，
则a1＝Fa-Fbm＝14-62 m/s2＝4 m/s2
方向与速度方向相同。
(2)根据题意，当左侧弹簧弹力Fa′＝0时，右侧弹簧的弹力Fb′＝20 N
根据牛顿第二定律，Fb′＝ma2
代入数据得a2＝Fb'm＝202 m/s2＝10 m/s2，方向与速度方向相反。
[答案] (1)4.0 m/s2 与速度方向相同
(2)10 m/s2 与速度方向相反
9．(多选)如图所示，吊篮A、物体B、物体C的质量分别为m、3m、2m，B和C分别固定在弹簧两端，弹簧的质量不计。B和C在吊篮的水平底板上处于静止状态。将悬挂吊篮的轻绳剪断的瞬间( )
A．吊篮A的加速度大小为g
B．物体B的加速度大小为0
C．物体C的加速度大小为2g
D．A对C的支持力大小等于5mg
BC [装置静止时，弹簧的弹力F＝3mg，剪断轻绳的瞬间，弹簧的弹力不变，将C和A看成一个整体，根据牛顿第二定律得：aAC＝F+m+2mgm+2m＝2g，即A、C的加速度均为2g，方向向下，故A错误，C正确；剪断轻绳的瞬间，弹簧的弹力不变，B的合力仍然为零，则B的加速度为0，故B正确；设A对C的支持力为N，则对C由牛顿第二定律得：F＋2mg－N＝2maAC，解得A对C的支持力大小N＝mg，故D错误。]
10．早在公元前4世纪末，我国的《墨经》中就有关于力和运动的一些见解，如“绳下直，权重相若则正矣。收，上者愈丧，下者愈得”，这句话所描述的与下述物理现象相似。如图所示，一根跨过定滑轮的轻绳两端各悬挂一重物，当两重物质量均为m时，系统处于平衡状态。若减小其中一个重物的质量，系统就无法保持平衡，上升的重物减小的质量Δm越多，另一个重物下降的加速度a就越大。已知重力加速度为g，则a与Δm的关系图像可能是( )
A B
C D
C [不妨假设右边的物体质量减少Δm，则右边的物体向上做匀减速运动，左边的物体做向下做匀加速运动，它们的加速度a大小相等，绳子的拉力F大小相等。
对右边物体，根据牛顿第二定律
F－(m－Δm)g＝(m－Δm)a ①
对左边物体，根据牛顿第二定律mg－F＝ma ②
联合①②式可得：a＝Δm2m-Δm·g＝12mΔm-1·g，根据上式知，Δm和a并非是线性化关系，故A、B错误；当Δm＝m时，可得 a＝g，故C正确，D错误。]
11．自制一个加速度计，其构造是：一根轻杆，下端固定一个小球，上端装在水平轴O上，杆可在竖直平面内左右摆动，用白硬纸作为表盘，放在杆摆动的平面上，并刻上刻度，可以直接读出加速度的大小和方向。使用时，加速度计右端朝汽车前进的方向，如图所示，g取9.8 m/s2。
(1)硬纸上刻度线b在经过O点的竖直线上，则在b处应标的加速度数值是多少？
(2)刻度线c和O点的连线与Ob的夹角为30°，则c处应标的加速度数值是多少？
(3)刻度线d和O点的连线与Ob的夹角为45°。在汽车前进时，若轻杆稳定地指在d处，则0.5 s内汽车速度变化了多少？
[解析] (1)当轻杆与Ob重合时，小球所受合力为0，其加速度为0，车的加速度亦为0，故b处应标的加速度数值为0。
(2)法一 合成法
当轻杆与Oc重合时，以小球为研究对象，受力分析如图所示
根据力的合成的平行四边形定则和牛顿第二定律得mg tan θ＝ma1
解得a1＝g tan θ＝9.8×33 m/s2≈5.66 m/s2。
法二 正交分解法
建立直角坐标系，并将轻杆对小球的拉力正交分解，如图所示。
则沿水平方向有F sin θ＝ma
竖直方向有F cs θ－mg＝0
联立以上两式可解得小球的加速度
a≈5.66 m/s2，方向水平向右
即c处应标的加速度数值为5.66 m/s2。
(3)若轻杆与Od重合，同理可得mgtan 45°＝ma2，
解得a2＝gtan 45°＝9.8 m/s2，方向水平向左，与速度方向相反
所以在0.5 s内汽车速度应减少，减少量
Δv＝a2Δt＝9.8×0.5 m/s＝4.9 m/s。
[答案] (1)0 (2)5.66 m/s2 (3)减少了4.9 m/s
12．如图甲所示，某人正通过定滑轮将质量为m的货物提升到高处。滑轮的质量和摩擦均不计，货物获得的加速度a与绳子对货物竖直向上的拉力T之间的关系图像如图乙所示。由图可以判断下列说法错误的是(重力加速度为g)( )
A．图线与纵轴的交点M的值aM＝－g
B．图线的斜率等于物体质量的倒数1m
C．图线与横轴的交点N的值TN＝mg
D．图线的斜率等于物体的质量m
D [对货物受力分析，受重力mg和拉力T，根据牛顿第二定律，有T－mg＝ma，得a＝1mT－g；当a＝0时，T＝mg，故图线与横轴的交点N的值TN＝mg，故C正确；当T＝0时，a＝－g，即图线与纵轴的交点M的值aM＝－g，故A正确；图线的斜率表示物体质量的倒数1m，故B正确，D错误。]
学习任务
1．掌握牛顿第二定律的内容和数学表达式。
2．知道国际单位制中力的单位是怎样定义的。
3．会运用牛顿第二定律分析和处理实际生活中的简单问题。
性质
理解
因果性
力是产生加速度的原因，只要物体所受的合力不为0，物体就具有加速度
矢量性
F＝ma是一个矢量式。物体的加速度方向由它受的合力方向决定，且总与合力的方向相同
瞬时性
加速度与合外力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失
同体性
F＝ma中F、m、a都是对同一物体而言的
独立性
作用在物体上的每一个力都产生加速度，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和
相对性
物体的加速度是相对于惯性参考系而言的，即牛顿第二定律只适用于惯性参考系
刚性绳模型(细钢丝、细线、轻杆等)
此类形变属于微小形变，其发生变化过程时间极短，在物体的受力情况改变(如某个力消失)的瞬间，其形变可随之突变，弹力可以突变
轻弹簧模型(轻弹簧、橡皮绳、弹性绳等)
此类形变属于明显形变，其发生改变需要一段的时间，在瞬时问题中，其弹力的大小不能突变，可看成是不变的
分解力
通常以加速度a的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，将物体所受的各个力分解在x轴和y轴上，分别得x轴和y轴的合力Fx和Fy，得方程Fx=maFy=0
分解加
速度
若物体所受各力都在互相垂直的方向上，但加速度却不在这两个方向上，这时可以把力的方向规定为x轴、y轴正方向，只需分解加速度a，得ax和ay，根据牛顿第二定律得方程Fx=maxFy=may
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