高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第2章 常用逻辑用语2.2 充分条件、必要条件、冲要条件教案配套ppt课件
展开1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义与意义.2.结合具体命题掌握充分条件、必要条件、充要条件的判定和证明.3.理解性质定理与必要条件的关系,理解判定定理与充分条件的关系,理解数学定义与充要条件的关系.核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算
2.充分条件与必要条件一般地,如果“pq”,那么称p是q的充分条件,也称q是p的必要条件.
【概念剖析】(1)对充分条件的理解:①所谓充分,就是条件是充分的,条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的,即“有之必成立,无之未必不成立”.②充分条件不是唯一的,如“x>2”“x>3”都是“x>0”的充分条件.(2)对必要条件的理解:①所谓必要,就是条件是必须要有的,必不可少的,缺其不可,即“有之未必成立,无之必不成立”.②必要条件不是唯一的,如“x>0”“x>5”等都是“x>9”的必要条件.
【知识拓展】充分条件与必要条件的两个特征①对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“pq”,则“qp”.②传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“pq且qr”,则“pr”(或“pq且qr”,则“pr”).
示例 指出下列所给的p,q中,p是q的什么条件.(1)p:x-2=0;q:(x-2)(x-3)=0.(2)p:两个三角形相似;q:两个三角形全等.(3)p:m<-2;q:方程x2-x-m=0无实根.(4)p:一个四边形是矩形;q:四边形的对角线相等.
二、充要条件如果pq,且qp,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的充要条件,也称q的充要条件是p.为了方便起见,如果p是q的充要条件,就记作pq,称为“p与q等价”,或“p等价于q”.【提示】p与q互为充要条件时,也称“p等价于q”“q当且仅当p”等.例如“|x-2|≤3”是“-1≤x≤5”的充要条件,因为由|x-2|≤3可得-1≤x≤5.
【概念理解】(1)p是q的充要条件意味着“若p成立,则q一定成立;若p不成立,则q一定不成立”.(2)① p是q的充要条件说明p是条件,q是结论.② p的充要条件是q说明q是条件,p是结论.(3)传递性:若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的充要条件,即“pq且qr”,则“pr”.
【示例】下列所给出的p,q中,p是q的充要条件的是 (填序号).① p:c=0,q:函数f(x)=ax2+bx+c的图象过原点;② p:x>0,y>0,q:xy>0;③ p:a>b,q:a+c>b+c.
三、判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)性质定理具有“必要性”一般地,数学的每一条性质定理都给出了对应数学结论成立的一个必要条件.如:全等三角形的对应角相等(若两个三角形是全等三角形,则这两个三角形的对应角相等).(2)判定定理具有“充分性”一般地,数学的每一条判定定理都给出了对应数学结论成立的一个充分条件.如:两组对角相等的四边形是平行四边形(若四边形是平行四边形,则四边形的两组对角相等).(3)数学定义具有“充分必要性”一个数学对象的定义实质上是给出了这个对象的一个充要条件.如:三条边相等的三角形是等边三角形(三角形的三条边相等三角形是等边三角形).
四、从集合的角度看充分条件、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表.
【巧记】对具体的数集,以条件集合为基础,小充分,大必要.
【示例】已知p:x≤-1或x≥3,q:x>5,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】由{x|x>5}是{x|x≤-1或x≥3}的真子集,可知p是q的必要不充分条件.
一、充分条件、必要条件、充要条件的判断1.利用定义进行判断例 1 设a,b∈R,则“a【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可.【解】若a=0,b=1,满足a【方法总结】利用定义判断充要关系的步骤①确定条件p是什么,结论q是什么;②尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p;③确定条件p和结论q的关系.
2.利用集合法判断充要关系例 2 设a∈R,则“a>2”是“a2>4”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【方法技巧】利用集合法时,首先要写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},然后利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时,可以结合Venn图、数轴等解题.
3.传递法例 3 已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件.那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?
【方法技巧】若问题中出现若干个条件和结论,应根据条件画出相应的推式图,根据图中推式的传递性进行判断.
4.利用特殊值法判断例 4 [多选题]已知a,b,c是实数,下列结论正确的有( )A.“a2>b2”是“a>b”的充分条件B.“a2>b2”是“a>b”的必要条件C.“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D.“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件
【方法技巧】对于选择题或填空题,可以取一些特殊值或特殊情况,用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件),但是这种方法不适用于证明题.
【解析】对于A,当a=-5,b=1时,满足a2>b2,但是ab,但是a2
二、由充分条件、必要条件、充要条件求参数例 5 已知p:关于x的方程x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0有两个大于1的实数根.(1)若p为真命题,求实数m的取值范围.(2)若q:3-a
三、充要条件的探求与证明1充要条件的探求例 6 若集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R},试写出:(1)“A∪B=R”的一个充要条件;(2)“A∪B=R”的一个必要不充分条件;(3)“A∪B=R”的一个充分不必要条件.
【方法总结】探求充要条件的两种方法(1)探求A成立的充要条件时,先将A视为条件,并由A推导结论(设为B),再证明B是A的充分条件,这样就能说明A成立的充要条件是B,即从充分性和必要性两方面说明.(2)将原命题进行等价变形或转换,直至获得其成立的充要条件.
【解】集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R},(1)若A∪B=R,则b≥-2,故“A∪B=R”的一个充要条件是“b≥-2”.(2)由(1)知A∪B=R的一个充要条件是b≥-2,所以“A∪B=R”的一个必要不充分条件可以是“b≥-3”.(3)由(1)知A∪B=R的一个充要条件是b≥-2,所以“A∪B=R”的一个充分不必要条件可以是“b≥-1”.
5. [多选题]对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中是真命题的有( )A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件C.“a<5”是“a<3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件6. 王安石在《游褒禅山记》中写到“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是“到达奇伟、瑰怪,非常之观”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)7. 已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的 条件.
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