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初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定学案
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这是一份初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定学案，共12页。学案主要包含了课时安排，新知探究，精练反馈，学习小结，拓展延伸等内容，欢迎下载使用。
班级： 组号： 姓名：
【课时安排】
5课时
第一课时
一、旧知回顾
1．相似多边形的主要特征是什么？
2．三角形全等有哪些判定方法？用简便的方法表示出来。
【新知探究】
1．怎样的两个三角形是相似三角形？（结合图形用符号语言表示）
2． △ABC∽△A′B′C′有什么性质？（结合图形用符号语言表示）
问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2．思考探究部分
以小组为单位，组长统一将平移到一个位置，然后量出AB， BC， DE， EF的长度并计算、的比值，思考他们的比值是否相等。
AB=， BC=， DE=， EF==，=
得出结论：平行线分线段成比例定理
移动图27．2-1的则可得书中27．2-2的两个图
平行线分线段成比例定理推论：
3．阅读课本P41思考部分，完成以下问题：
（1）根据定义证明两个三角形相似，要证明满足哪两个条件？
（2）对应边成比例，由“DE//BC”的条件可得到怎样的比例式？
（3）本题的关键归结为“只要证明什么”？ 应添怎样的辅助线？
由此我们可以得出的结论：
符号语言：
试一试
1．下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，求CD的长。
★通过预习你还有什么困惑
课堂活动、记录
1．相似三角形的性质是什么？
【精练反馈】
A组： 1．如图，∥∥ ，则下列结论不正确的是（ ）
A、B、C、 D、
2．如图，DE∥BC，
（1）如果AD：DC=2：5，则DE：BC=；
（2）如果AD=3cm，AC=4cm，AB=6 cm，DE=3．5 cm，求BC和BE的长。
B组： 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：1，BC=6cm，求DE的长。
【学习小结】
1．相似三角形的定义、性质？
2．平行线分线段成比例定理。
【拓展延伸】
如图，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连接BE并延长交
AC于点F，则CF与AF的数量关系为
第二课时
一、旧知回顾
（一）回顾旧知
1．如图，，，，，
。求：、的长。
【新知探究】
1．完成探究2部分
（1）以小组为单位，组长统一规定要画三角形的长度，及k值，然后量出各角的度数，思考角度是否相等。
(2)认真阅读书中的证明方法，找出关键处并概括方法和思路。
由此得出相似三角形的判定定理（2）：
几何语言：
试一试
4．已知：AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝16cm，B′C′＝12．8cm，A′C′＝25．6cm。那么△ABC和△A′B′C′相似吗？请说明理由。
★通过预习你还有什么困惑
课堂活动、记录
1．相似三角形的判定定理2（用符号语言描述）
【精练反馈】
A组： 1．已知△ABC的三边长分别为6cm，7．5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm， 当△DEF的另外两边长是下列哪组时，这两个三角形相似（ ）
A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm
2．如图，点D在△ABC内，连接BD并延长到E，连接AD，AE，若∠BAD＝20°，，则∠EAC＝
3．依据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似，如果相似，请给出证明过程：AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米。
B组：如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长。
【学习小结】
1．相似三角形的判定2．
【拓展延伸】
已知，在△ABC和△DEF中，AB=4，BC=5， AC=8， DE=6， DF=12，，那么EF= 时，△ABC∽△DEF。
第三课时
一、旧知回顾
1．写出三角形相似的第判定方法2的文字表达及几何语言：
【新知探究】
1．（1）以小组为单位，组长统一规定要画三角形的长度，及k值，然后量出另外两对角的度数及第三组对应边的长，思考三组对应边的比值及三对角是否相等。
(2)仿照探究3写出证明方法。
试一试
2． 已知：∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝40°，A′B′＝16，A′C′＝30.
那么△ABC和△A′B′C′相似吗？请说明理由。
3．如图，与相交于点，且，。求证：。
★通过预习你还有什么困惑
课堂活动、记录
1．相似三角形的判定定理3（用符号语言描述）
【精练反馈】
A组： 1．能判定相似于的条件是（ ）
A、 B、且
C、且 D、且
2．已知，如图点、分别为、边上两点，且，，，。试说明：（1）∽；（2）。
B组： 如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A、 1条 B、 2条 C、 3条 D、 4条
【学习小结】
1．相似三角形的判定3．
【拓展延伸】
1．如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止。点运动的速度为，点运动的速度为。如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是多少秒
第四课时
一、旧知回顾
1． 如图，D是平分线上一点，AB=15cm，BD=12cm，
要使△ABD∽△DBC ，则BC的长应为
2．如图，∠DAB=∠CAE，，，，，
求证：△ABC∽△ADE。
【新知探究】
3．完成探究4的证明：（已知：，，求证：△ABC∽△A’B’C’）
分析：用三边来判定
大△A’B’C’中构造一个与△ABC全等的三角形(如何做呢？请你完成：)
归纳：相似三角形判定4：若两个三角形的两个角与另一个三角形的，则这两个三角形相似
几何语言：（结合图3）
∵
∴
三、试一试
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
5． 已知：AB//DE，求证：
★通过预习你还有什么困惑
课堂活动、记录
1．相似三角形的判定定理4（用符号语言描述）
二、精练反馈
A组： 1．已知： ，再添加一个条件，使得△ABC∽△ADE。
2． 如图所示，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，求AD的长
B组：3．如图，在矩形中，，，点在边上，且，交于（1）求证：；（2）求的长
【学习小结】
1．相似三角形的判定定理3（用符号语言描述）
【拓展延伸】
如图：AB是等腰直角三角形ABC的斜边，点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在AB上，设其落点为P，
C
M N
A P B
P是边AB中点时，求证：；
P不是边AB中点时，是否仍成立？请证明你的结论；
第五课时
一、旧知回顾
1． 如图，且，若，，求BD的长
2． 如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CF=BE。 求证：△ACE≌△DBF。
【新知探究】
3．若，，，，，
求证：△∽△(提示：用前面学的知识来证明)
4． 已知：，，求证：△∽△
归纳：相似三角形判定5：
几何语言：（结合上图）
在Rt△和Rt△中
∵
∴
补充：①能说明△∽△？(用什么方法)
②能说明△∽△？(用什么方法)
试一试
5．如图，，，，，
求证：AB平分∠DBC
★通过预习你还有什么困惑
课堂活动、记录
1． 小组探究相似三角形的判定定理的推导过程。
2．判定定理运用的注意事项。
【精练反馈】
A组：1． 在△ABC和△中，，
，，则___________时，△ABC∽△。
2． 已知：如图，已知∠B=∠CDE=900， ，
，ED=2 ，，求证：
【学习小结】
1．直角三角形相似的判定定理几何语言书写：
2． 直角三角形相似的判定定理条件的构造方法。
【拓展延伸】
1． 如图12，在中，°，内接正方形HEFG，若AE=9，BF=4，
求证：△∽△（2）求正方形的边长
2．E为正方形 ABCD 的边上的中点， ，MN⊥DE 交 AB 于 M，交 DC 的延长线于 N，
求证：⑴ EC= DC·CN； ⑵ 求CN及NE的长度
第六课时
一、巩固训练
1．如图1，在平行四边形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延长线于F，∠DAE=20°，∠AED=90°， 则∠B=度；若 eq \f(EC,AB)= eq \f(1,3)，AD=4厘米，则CF=厘米。
2．如图2，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=
图1
图2
3． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上一点，连接AD．若∠B＝∠BAD，
求证：△ABC∽△DBA．
A
B
D
C
5．通过以上练习归纳如何根据题中已知条件确定相似三角形的判定方法？
二、错题再现
1．如图1，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 _________ 或 _________ 时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）。
图1 图2 图3
2．如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为 _________ 。
3．如图3，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点。如果AD=1，那么当AE=时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似。
三、综合运用
1．如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（3，4），C（6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向左运动，过点P作RP⊥y轴，交OB于R，连结RQ。当点P与点O重合时，两动点均停止运动。设运动的时间为t秒。
（1）若t＝1，求点R的坐标；
（2）在线段OB上是否存在点R，使△ORQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由。
四、精练反馈：
A组：1．如图1，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ，使△ABC∽△ACD．
B组： 2． 如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
如图1 如图2 如图3
3．如图3，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形。
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；
(2)当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数。A．
2
B．
2．5或3．5
C．
3．5或4．5
D．
2或3．5或4．5
班级： 组号： 姓名：
【课时安排】
5课时
第一课时
一、旧知回顾
1．相似多边形的主要特征是什么？
2．三角形全等有哪些判定方法？用简便的方法表示出来。
【新知探究】
1．怎样的两个三角形是相似三角形？（结合图形用符号语言表示）
2． △ABC∽△A′B′C′有什么性质？（结合图形用符号语言表示）
问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2．思考探究部分
以小组为单位，组长统一将平移到一个位置，然后量出AB， BC， DE， EF的长度并计算、的比值，思考他们的比值是否相等。
AB=， BC=， DE=， EF==，=
得出结论：平行线分线段成比例定理
移动图27．2-1的则可得书中27．2-2的两个图
平行线分线段成比例定理推论：
3．阅读课本P41思考部分，完成以下问题：
（1）根据定义证明两个三角形相似，要证明满足哪两个条件？
（2）对应边成比例，由“DE//BC”的条件可得到怎样的比例式？
（3）本题的关键归结为“只要证明什么”？ 应添怎样的辅助线？
由此我们可以得出的结论：
符号语言：
试一试
1．下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，求CD的长。
★通过预习你还有什么困惑
课堂活动、记录
1．相似三角形的性质是什么？
【精练反馈】
A组： 1．如图，∥∥ ，则下列结论不正确的是（ ）
A、B、C、 D、
2．如图，DE∥BC，
（1）如果AD：DC=2：5，则DE：BC=；
（2）如果AD=3cm，AC=4cm，AB=6 cm，DE=3．5 cm，求BC和BE的长。
B组： 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：1，BC=6cm，求DE的长。
【学习小结】
1．相似三角形的定义、性质？
2．平行线分线段成比例定理。
【拓展延伸】
如图，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连接BE并延长交
AC于点F，则CF与AF的数量关系为
第二课时
一、旧知回顾
（一）回顾旧知
1．如图，，，，，
。求：、的长。
【新知探究】
1．完成探究2部分
（1）以小组为单位，组长统一规定要画三角形的长度，及k值，然后量出各角的度数，思考角度是否相等。
(2)认真阅读书中的证明方法，找出关键处并概括方法和思路。
由此得出相似三角形的判定定理（2）：
几何语言：
试一试
4．已知：AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝16cm，B′C′＝12．8cm，A′C′＝25．6cm。那么△ABC和△A′B′C′相似吗？请说明理由。
★通过预习你还有什么困惑
课堂活动、记录
1．相似三角形的判定定理2（用符号语言描述）
【精练反馈】
A组： 1．已知△ABC的三边长分别为6cm，7．5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm， 当△DEF的另外两边长是下列哪组时，这两个三角形相似（ ）
A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm
2．如图，点D在△ABC内，连接BD并延长到E，连接AD，AE，若∠BAD＝20°，，则∠EAC＝
3．依据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似，如果相似，请给出证明过程：AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米。
B组：如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长。
【学习小结】
1．相似三角形的判定2．
【拓展延伸】
已知，在△ABC和△DEF中，AB=4，BC=5， AC=8， DE=6， DF=12，，那么EF= 时，△ABC∽△DEF。
第三课时
一、旧知回顾
1．写出三角形相似的第判定方法2的文字表达及几何语言：
【新知探究】
1．（1）以小组为单位，组长统一规定要画三角形的长度，及k值，然后量出另外两对角的度数及第三组对应边的长，思考三组对应边的比值及三对角是否相等。
(2)仿照探究3写出证明方法。
试一试
2． 已知：∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝40°，A′B′＝16，A′C′＝30.
那么△ABC和△A′B′C′相似吗？请说明理由。
3．如图，与相交于点，且，。求证：。
★通过预习你还有什么困惑
课堂活动、记录
1．相似三角形的判定定理3（用符号语言描述）
【精练反馈】
A组： 1．能判定相似于的条件是（ ）
A、 B、且
C、且 D、且
2．已知，如图点、分别为、边上两点，且，，，。试说明：（1）∽；（2）。
B组： 如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A、 1条 B、 2条 C、 3条 D、 4条
【学习小结】
1．相似三角形的判定3．
【拓展延伸】
1．如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止。点运动的速度为，点运动的速度为。如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是多少秒
第四课时
一、旧知回顾
1． 如图，D是平分线上一点，AB=15cm，BD=12cm，
要使△ABD∽△DBC ，则BC的长应为
2．如图，∠DAB=∠CAE，，，，，
求证：△ABC∽△ADE。
【新知探究】
3．完成探究4的证明：（已知：，，求证：△ABC∽△A’B’C’）
分析：用三边来判定
大△A’B’C’中构造一个与△ABC全等的三角形(如何做呢？请你完成：)
归纳：相似三角形判定4：若两个三角形的两个角与另一个三角形的，则这两个三角形相似
几何语言：（结合图3）
∵
∴
三、试一试
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
5． 已知：AB//DE，求证：
★通过预习你还有什么困惑
课堂活动、记录
1．相似三角形的判定定理4（用符号语言描述）
二、精练反馈
A组： 1．已知： ，再添加一个条件，使得△ABC∽△ADE。
2． 如图所示，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，求AD的长
B组：3．如图，在矩形中，，，点在边上，且，交于（1）求证：；（2）求的长
【学习小结】
1．相似三角形的判定定理3（用符号语言描述）
【拓展延伸】
如图：AB是等腰直角三角形ABC的斜边，点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在AB上，设其落点为P，
C
M N
A P B
P是边AB中点时，求证：；
P不是边AB中点时，是否仍成立？请证明你的结论；
第五课时
一、旧知回顾
1． 如图，且，若，，求BD的长
2． 如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CF=BE。 求证：△ACE≌△DBF。
【新知探究】
3．若，，，，，
求证：△∽△(提示：用前面学的知识来证明)
4． 已知：，，求证：△∽△
归纳：相似三角形判定5：
几何语言：（结合上图）
在Rt△和Rt△中
∵
∴
补充：①能说明△∽△？(用什么方法)
②能说明△∽△？(用什么方法)
试一试
5．如图，，，，，
求证：AB平分∠DBC
★通过预习你还有什么困惑
课堂活动、记录
1． 小组探究相似三角形的判定定理的推导过程。
2．判定定理运用的注意事项。
【精练反馈】
A组：1． 在△ABC和△中，，
，，则___________时，△ABC∽△。
2． 已知：如图，已知∠B=∠CDE=900， ，
，ED=2 ，，求证：
【学习小结】
1．直角三角形相似的判定定理几何语言书写：
2． 直角三角形相似的判定定理条件的构造方法。
【拓展延伸】
1． 如图12，在中，°，内接正方形HEFG，若AE=9，BF=4，
求证：△∽△（2）求正方形的边长
2．E为正方形 ABCD 的边上的中点， ，MN⊥DE 交 AB 于 M，交 DC 的延长线于 N，
求证：⑴ EC= DC·CN； ⑵ 求CN及NE的长度
第六课时
一、巩固训练
1．如图1，在平行四边形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延长线于F，∠DAE=20°，∠AED=90°， 则∠B=度；若 eq \f(EC,AB)= eq \f(1,3)，AD=4厘米，则CF=厘米。
2．如图2，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=
图1
图2
3． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上一点，连接AD．若∠B＝∠BAD，
求证：△ABC∽△DBA．
A
B
D
C
5．通过以上练习归纳如何根据题中已知条件确定相似三角形的判定方法？
二、错题再现
1．如图1，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 _________ 或 _________ 时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）。
图1 图2 图3
2．如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为 _________ 。
3．如图3，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点。如果AD=1，那么当AE=时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似。
三、综合运用
1．如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（3，4），C（6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向左运动，过点P作RP⊥y轴，交OB于R，连结RQ。当点P与点O重合时，两动点均停止运动。设运动的时间为t秒。
（1）若t＝1，求点R的坐标；
（2）在线段OB上是否存在点R，使△ORQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由。
四、精练反馈：
A组：1．如图1，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ，使△ABC∽△ACD．
B组： 2． 如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
如图1 如图2 如图3
3．如图3，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形。
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；
(2)当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数。A．
2
B．
2．5或3．5
C．
3．5或4．5
D．
2或3．5或4．5
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