浙江省杭州市西湖区西溪中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市西湖区西溪中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5B．2，5，8C．5，5，10D．1，6，7
3．（3分）如果a＜b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．＜C．﹣a＜﹣bD．﹣a+5＜﹣b+5
4．（3分）如图，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理是全等三角形的判定定理，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．所有等边三角形都全等
B．周长相等的两个等腰三角形全等
C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合
D．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等
6．（3分）如图，∠B＝60°，∠ACD＝100°，那么∠A＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
8．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，BC＝7，则△ABD的周长为（ ）
A．4B．7C．11D．15
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AC上，且DA＝DE，若∠BAD＝35°，∠EDC＝25°，则∠DAE的度数为（ ）
A．80°B．65°C．60°D．50°
10．（3分）赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大的正方形．如图，边长为4的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则DM的长是（ ）
A．3B．2C．D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式x+5＞0的解集是 ．
12．（4分）已知一等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则其腰长为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝ ．
14．（4分）如图，AD是等腰△ABC底边BC上的中线，CE平分∠ACB交AD于点E，若AB＝8，DE＝2，则△AEC的面积为 ．
15．（4分）如图，△ABC中，AB＝BC，点D在AC上，BD⊥BC．设∠BDC＝α，∠ABD＝β，则α与β满足的数量关系是 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，AD平分∠BAC，连接CD，把△ADC沿CD折叠，AC落在CE处，交AB于F，恰有CE⊥AB．若BC＝10，AD＝7，则（1）∠ADC＝ °；（2）EF＝ ．
三、解答题（共66分）
17．（6分）解下列不等式，并把解表示在下列数轴上．
5x＞3（x﹣2）+2．
18．（8分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BC＝DE．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD．若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC．求证：
（1）△BDF≌△ADC；
（2）BE⊥AC．
21．（10分）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠AED＝∠ECB．
（1）判断△DEC的形状，并说明理由．
（2）若AD＝3，AB＝9，请求出DE的长．
22．（12分）如图，在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，P是线段CD上一个动点．
（1）如图1，若OP平分∠COD，PF∥OD交OC于点F，求证：PF＝OF；
（2）在（1）的条件下，若PC＝4，OC＝8，求PF的长；
（3）如图2，若OC＝5，OD＝13，过直角顶点C作CG∥OD，并延长OP交CG于点E．OQ为∠POD的角平分线，连接EQ，当∠OQE＝Rt∠时，求DQ的长．
23．（12分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且AD＝CE，连接AE、BD交于点F．
（1）如图1，求证：BD＝AE；
（2）如图1，求∠BFE的度数；
（3）如图2，连接CF，当CF⊥BD时，求证：BF＝2AF．
2023-2024学年浙江省杭州市西湖区西溪中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5B．2，5，8C．5，5，10D．1，6，7
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．
【解答】解：A、3+4＞5，故能构成三角形，故此选项符合题意；
B、2+5＜8，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C、5+5＝10，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
D、1+6＝7，故不能构成三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三角形三边关系定理是解题的关键．
3．（3分）如果a＜b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．＜C．﹣a＜﹣bD．﹣a+5＜﹣b+5
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴＜，故本选项符合题意；
C．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，故本选项不符合题意；
D．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴﹣a+5＞﹣b+5，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1、不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）如图，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理是全等三角形的判定定理，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，因为AA′、BB′的中点O连在一起，因此OA＝OA′，OB＝OB′，还有对顶角相等，所以用的判定定理是边角边．
【解答】解：卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，理由如下：
连接A'B'，
∵O是AA′，BB′的中点，
∴AO＝A′O，BO＝B′O，
又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角，
∴∠AOB＝∠A′OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴A′B′＝AB，
∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．所有等边三角形都全等
B．周长相等的两个等腰三角形全等
C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合
D．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等
【分析】由全等三角形的判定，等腰三角形的性质，即可判断．
【解答】解：A、等边三角形的边长不一定相等，所以等边三角形不一定全等，故A不符合题意；
B、周长相等的两个等腰三角形不一定全等，故B不符合题意；
C、等腰三角形的顶角平分线、底边的中线和高线互相重合，故C不符合题意；
D、三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，等腰三角形的性质．
6．（3分）如图，∠B＝60°，∠ACD＝100°，那么∠A＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：由三角形的外角的性质可知，
∠A＝∠ACD﹣∠B＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，BC＝7，则△ABD的周长为（ ）
A．4B．7C．11D．15
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，再根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC，
∵AB＝4，BC＝7，
∴△ABD的周长＝4+7＝11，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AC上，且DA＝DE，若∠BAD＝35°，∠EDC＝25°，则∠DAE的度数为（ ）
A．80°B．65°C．60°D．50°
【分析】设∠DAE＝x°，根据等边对等角、三角形外角的性质可求∠DAE＝∠DEA＝x°，∠B＝∠C＝（x﹣25）°，∠ADE＝（x﹣15）°，然后在△ADE中，根据三角形内角和定理得出关于x的方程，然后求解即可．
【解答】解：设∠DAE＝x°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝x°，
∵∠EDC＝25°，
∴∠C＝∠DEA﹣∠EDC＝（x﹣25）°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（x﹣25）°，
又∠BAD＝35°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（x+10）°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝（x﹣15）°，
在△ADE中，∠ADE+∠DAE+∠DEA＝180°，
∴（x﹣15）°+x°+x°＝180°，
∴x＝65，即∠DAE＝65°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，掌握等边对等角是解题的关键．
10．（3分）赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大的正方形．如图，边长为4的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则DM的长是（ ）
A．3B．2C．D．
【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，L利用已知条件和正方形的性质得到△ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理解答即可得出结论．
【解答】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．
∴BE＝EF＝GF＝FC．
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AE∥GC，
∴∠FAE＝∠GFK．
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG，
∴MF＝MC，
∵MN⊥FC，
∴FN＝NC＝FC．
延长BF交CD于点P，如图，
∵PF∥MN，
∴MN为△CFP的中位线，
∴CM＝CP，
同理：PF为△CGD的中位线，
∴CP＝CD，
∴CM＝CD，
∴CM＝1，
∴DM＝CD﹣CM＝4﹣1＝3．
解法二：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．
∴BE＝EF＝GF＝FC．
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AE∥GC，
∴∠FAE＝∠GFK．
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG，
∴MF＝MC，
设MF＝MC＝x，则AM＝4+x，DM＝4﹣x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
42+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得：x＝1．
∴CM＝1，
∴DM＝CD﹣CM＝4﹣1＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式x+5＞0的解集是 x＞﹣5 ．
【分析】根据不等式的性质，移项即可求得不等式的解集．
【解答】解：不等式移项得，x＞﹣5，
故答案为：x＞﹣5．
【点评】本题主要考查不等式的解法，在移项的过程中注意变号．
12．（4分）已知一等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则其腰长为 6 ．
【分析】因为腰长没有明确，所以分边长4是腰长和底边两种情况讨论．
【解答】解：（1）当4是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
此时4+4＝8，不能组成三角形；
（2）当4是底边时，腰长为×（16﹣4）＝6，
此时4，6，6三边能够组成三角形．
所以腰长为6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝ 50° ．
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠A＝50°．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝AD，则等边对等角，即∠ACD＝∠A＝50°．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，
∴∠A＝50°．
∵D为线段AB的中点，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
14．（4分）如图，AD是等腰△ABC底边BC上的中线，CE平分∠ACB交AD于点E，若AB＝8，DE＝2，则△AEC的面积为 8 ．
【分析】过点E作EM⊥AC于点M，根据等腰三角形的性质得出AB＝AC＝8，AD⊥BC，根据角平分线的性质推出DE＝ME＝2，再根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：过点E作EM⊥AC于点M，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的中线，
∴AB＝AC＝8，AD⊥BC，
∵CE平分∠ACB，EM⊥AC，
∴DE＝ME＝2，
∴△AEC的面积＝AC•ME＝×8×2＝8，
故答案为：8．
【点评】此题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟记角平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（4分）如图，△ABC中，AB＝BC，点D在AC上，BD⊥BC．设∠BDC＝α，∠ABD＝β，则α与β满足的数量关系是 2α﹣β＝90° ．
【分析】由AB＝BC得出∠A＝∠C，根据三角形外角的性质和直角三角形锐角互余，即可得到α﹣∠A＝β，α+∠C＝90°，两式相加即可得出2α＝90°+β，从而求得2α﹣β＝90°．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴α﹣∠A＝β，
∵BD⊥BC，
∴α+∠C＝90°，
∴2α＝90°+β，
∴2α﹣β＝90°，
故答案为：2α﹣β＝90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形锐角互余等，关键根据相关的性质，得出∠A＝∠C，α﹣∠A＝β，α+∠C＝90°，即可得出结论．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，AD平分∠BAC，连接CD，把△ADC沿CD折叠，AC落在CE处，交AB于F，恰有CE⊥AB．若BC＝10，AD＝7，则（1）∠ADC＝ 135 °；（2）EF＝ ．
【分析】（1）由折叠的性质得到：∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠ECD，由垂直的定义得到∠EFO＝90°，由三角形内角和定理得到∠ADO＝∠EFO＝90°，由∠ADC+∠EDC+∠ADO＝360°，即可求出∠ADC的度数；
（2）延长AD交BC于H，由等腰三角形的性质推出AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝5，求出∠CDH＝45°，得到△CDH是等腰直角三角形，因此DH＝HC＝5，得到AH＝AD+DH＝7+5＝12，由勾股定理求出AB＝＝13，由折叠的性质得到CE＝AC＝AB＝13，由三角形面积公式得到△ABC的面积＝AB•CF＝BC•AH，即可求出EF的长．
【解答】解：（1）由折叠的性质得到：∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠ECD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠E＝∠OAD，
∵CE⊥AB，
∴∠EFO＝90°，
∵∠AOD＝∠EOF，
∴∠ADO＝∠EFO＝90°，
∴∠ADC+∠EDC+∠ADO＝360°，
∴2∠ADC＝360°﹣90°，
∴∠ADC＝135°．
故答案为：135．
（2）延长AD交BC于H，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝×10＝5，
∵∠CDH＝180°﹣∠ADC＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH＝HC＝5，
∴AH＝AD+DH＝7+5＝12，
∴AB＝＝13，
由折叠的性质得到CE＝AC＝AB＝13，
∵△ABC的面积＝AB•CF＝BC•AH，
∴13CF＝10×12，
∴CF＝，
∴EF＝EC﹣CF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，折叠性质，勾股定理，三角形的面积，关键是由折叠的性质推出∠ADO＝90°，由三角形的面积求出CF的长．
三、解答题（共66分）
17．（6分）解下列不等式，并把解表示在下列数轴上．
5x＞3（x﹣2）+2．
【分析】先去括号再移项，再求解并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：原不等式可变形为：3x﹣5x＜4，
解得：x＞﹣2；
此解集在数轴上表示为：
【点评】不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
18．（8分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BC＝DE．
【分析】根据∠1＝∠2，可以得到AC＝AD，然后根据SAS即可证明△BAC≌△EAD，从而可以得到BC＝DE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴AC＝AD，
在△BAC和△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴BC＝DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法和性质，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD．若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
【分析】（1）根据AB＝10，BD＝6，AD＝8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形；
（2）利用勾股定理求出CD的长，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°；
（2）在Rt△ACD中，CD＝＝15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21，
答：BC的长是21．
【点评】此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC．求证：
（1）△BDF≌△ADC；
（2）BE⊥AC．
【分析】（1）根据HL证明Rt△BDF≌Rt△ADC即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠DBF＝∠DAC，然后根据直角三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DEC＝90°，即可得证．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）；
（2）∵Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴∠DBF＝∠DAC，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DBF+∠C＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（10分）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠AED＝∠ECB．
（1）判断△DEC的形状，并说明理由．
（2）若AD＝3，AB＝9，请求出DE的长．
【分析】（1）由“AAS”可证△DAE≌△EBC，可得DE＝EC，∠BEC＝∠ADE，由余角的性质可得∠DEC＝90°，可得结论；
（2）由勾股定理可求DE的长，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）△DEC是等腰直角三角形，
理由如下：∵AB∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝180°﹣90°＝90°，
在△DAE与△EBC中，
，
∴△DAE≌△EBC（AAS），
∴DE＝EC，∠BEC＝∠ADE，
∴∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△DEC为等腰直角三角形；
（2）由（1）可知△DAE≌△EBC，
又∵AD＝3，AB＝9，
∴AE＝BC＝6，
∴DE＝CE＝＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明△DAE≌△BEC是本题的关键．
22．（12分）如图，在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，P是线段CD上一个动点．
（1）如图1，若OP平分∠COD，PF∥OD交OC于点F，求证：PF＝OF；
（2）在（1）的条件下，若PC＝4，OC＝8，求PF的长；
（3）如图2，若OC＝5，OD＝13，过直角顶点C作CG∥OD，并延长OP交CG于点E．OQ为∠POD的角平分线，连接EQ，当∠OQE＝Rt∠时，求DQ的长．
【分析】（1）证出∠POF＝∠FPO，由等腰三角形的判定可得出结论；
（2）设PF＝OF＝x，则CF＝8﹣x，由勾股定理得出（8﹣x）2+42＝x2，则可得出答案；
（3）延长EQ交OD于点M，证明△OQE≌△OQM（ASA），由全等三角形的性质得出EQ＝QM，证明△CEQ≌△DMQ（AAS），由全等三角形的性质得出CQ＝DQ，由勾股定理求出CD的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵PF∥OD，
∴∠FPO＝∠DOP，
∵OP平分∠COD，
∴∠POD＝∠POF，
∴∠POF＝∠FPO，
∴OF＝PF；
（2）解：设PF＝OF＝x，则CF＝8﹣x，
∵CF2+PC2＝PF2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
∴x＝5，
∴PF＝5；
（3）解：延长EQ交OD于点M，
∵OQ平分∠POD，
∴∠EOQ＝∠MOD，
∵∠OQE＝90°，
∴∠OQM＝∠OQE，
又∵OQ＝OQ，
∴△OQE≌△OQM（ASA），
∴EQ＝QM，
∵CG∥OD，
∴∠ECQ＝∠D，∠CEQ＝∠DMQ，
∴△CEQ≌△DMQ（AAS），
∴CQ＝DQ，
∵OC＝5，OD＝13，
∴CD＝＝＝12，
∴DQ＝CD＝6．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
23．（12分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且AD＝CE，连接AE、BD交于点F．
（1）如图1，求证：BD＝AE；
（2）如图1，求∠BFE的度数；
（3）如图2，连接CF，当CF⊥BD时，求证：BF＝2AF．
【分析】（1）先判断出AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，进而判断出△ABD≌△CAE（SAS），得出BD＝AE；
（2）由全等三角形的性质得出∠ABD＝∠CAE，即可求出答案；
（3）由（1）知，∠ABD＝∠CAE，进而判断出△ABH≌△ACF（SAS），得出∠BAH＝∠ACF，再判断出∠BFC＝90°，进而求出∠HAF＝30°＝∠AHF，得出AF＝HF，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD＝CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠CAE+∠BAF＝∠BAC＝60°；
（2）证明：如图2，在BF上截取BH＝AF，连接AH，
由（1）知，∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACF（SAS），
∴∠BAH＝∠ACF，
∴∠AHF＝∠EFC，
∵CF⊥BD，
∴∠BFC＝90°，
由（1）知，∠BFE＝60°，
∴∠EFC＝30°，
∴∠AHF＝30°，
∴∠HAF＝30°＝∠AHF，
∴AF＝HF，
∴BF＝2BH＝2AF．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．