初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数单元测试随堂练习题

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数单元测试随堂练习题，共14页。试卷主要包含了对于抛物线下列说法，抛物线的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。

1．已知对称轴为直线的二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列各点中，是二次函数图像上的点是（ ）
A．B．C．D．
3．某超市销售某款商品每天的销售利润（元）与单价（元）之间的函数关系式为，则销售这款商品每天的最大利润为（ ）
A．5元B．125元C．150元D．200元
4．已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．对于抛物线下列说法：
①对称轴为；
②抛物线与x轴两交点的坐标分别为，；
③顶点坐标为；
④若，当时，函数y随x的增大而增大．其中正确的结论有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴是
C．抛物线与轴没有交点D．当时，关于的一元二次方程有实根
9．在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，在旋转后所得的抛物线上，当时，随的增大而减小，则的最大值是（ ）
A．3B．C．5D．
10．如图为二次函数的图象，对称轴是，则下列说法：①；②；③；④；⑤(常数)．其中正确的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
11．已知，两点均在抛物线上，点是该抛物线顶点，若，则的取值范围为 ．
12．如图是二次函数图象的一部分，图象过抛物线的对称轴为直线，若、、，均为函数图象上的点，则、、大小关系为 ．
13．将二次函数的图象先向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的新的二次函数解析式为 ．
14．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
15．如图，二次函数与一次函数为的图象相交于A，B两点，则不等式的解为 ．
16．若关于x的分式方程有整数解，且二次函数的图象与x轴有交点，则所有的满足条件的整数a的值之和是 ．
17．有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶抛物线最高点离水面的距离为米时，水面的宽度为米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．
(1)求这条抛物线的解析式．
(2)当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶到水面的距离只有米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标；
(3)是第二象限抛物线上一动点，求点的坐标并求面积的最大值；
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
评卷人
得分
四、问答题
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，根据二次函数的对称轴，与坐标轴的交点，当时，，当时，，逐项进行判断即可．
【详解】解：抛物线的开口方向向下，与y轴交于正半轴，
，，
对称轴为直线，
，
，
，故①错误；
当时，，
，故②正确；
当时，，
，故③正确；
对称轴为直线，
，
，故④错误；
当时，，
，
，
，即，故⑤正确，
综上所述，正确的有：②③⑤，共3个，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别把、0、2代入二次函数解析式中计算出对应的函数值，然后进行判断．
【详解】解：当时，，故A错误；
当时，，故B错误；
当时，，故C错误；
当时，，故D正确；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查二次函数的应用，由函数解析式，利用配方法转化，根据函数的性质求最值．
【详解】解：，
当时，y有最大值，最大值，
销售这款商品每天的最大利润为150元，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数解析式得出，开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性判断即可得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：二次函数，
，开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
，
，
，，，
，
，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一般式化成顶点式，抛物线与坐标轴交点，将二次函数的解析式化成顶点式，求出对称轴与顶点坐标，再根据二次函数的图像与性质对各项进行判断即可．
【详解】解：，
抛物线的对称轴为，顶点坐标为，故①③正确；
，
，
，
，，
抛物线与x轴两交点的坐标分别为，，故②正确；
抛物线的对称轴为，
若，抛物线的开口方向向下，
当时，函数y随x的增大而增减小，故④不正确，
综上所述，正确的有：①②③，共3个，
故选：C．
6．A
【分析】二次函数的顶点式是：（，且，，是常数），顶点坐标为，直接写出顶点坐标．
【详解】解：因为是抛物线解析式的顶点式；
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是；
故选：A．
7．A
【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，利用抛物线的顶点坐标为可解．
【详解】解：当时，取最大值，最大值为1，
因此抛物线的顶点坐标是，
故选A．
8．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系．将点代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【详解】解：将点代入得：，解得，
∴，
∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是，选项A错误，选项B正确；
∵方程的根的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴抛物线与轴有两个交点，选项C错误；
由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当时，取得最小值，
∴当时，与没有交点，
∴当时，关于的一元二次方程没有实根，选项D错误；
故选：B．
9．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质；先确定旋转后抛物线的开口和对称轴，再根据增减性列不等式求k的范围．
【详解】解：，
∴原抛物线的开口向上，对称轴是直线．
将该抛物线绕点旋转后，开口向下，对称轴为直线，整理得，
当时，随的增大而减小．
当时，随的增大而减小，
，解得，故的最大值是5．
故选：C．
10．B
【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴计算与的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由抛物线的开口向下知，对称轴为直线，则，故本选项正确；
②由对称轴为直线，
，则，故本选项正确；
③由图象可知，当时，，则，故本选项错误；
④从图象知，当时，，则，
，
，即，故本选项错误；
⑤对称轴为直线，
当时，抛物线有最大值，
，
常数，故本选项正确；
故选：B．
11．且
【分析】本题考查二次函数的性质，由可得抛物线开口向下，由点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离求解．解题的关键是掌握二次函数图像与系数的关系及二次函数图像的增减性．
【详解】解：∵点是该抛物线顶点，，
∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
当点，关于抛物线对称轴对称时，抛物线对称轴为直线，
∴且时符合题意，
故答案为：且．
12．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质解答即可．
【详解】解：根据函数的图象知时，函数的值随的增大而减少，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，解题的关键是掌握其平移规律，“左加右减，上加下减”．
【详解】解：二次函数的图象先向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的二次函数表达式为：，
即．
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．
根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：∵抛物线与直线交于两点，
∵，
∴，
∴由图可知．
故答案为：．
15．/
【分析】本题考查二次函数与不等式（组），由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，当时，的图象在的图象的下方，即可得答案．
【详解】解：由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，
∵当时，的图象在的图象的下方，
∴不等式的解为：，
不等式的解为：．
故答案为：．
16．0
【分析】本题考查了抛物线与的交点，分式方程的解法以及一元二次方程根的判别式．
先根据分式方程有整数解求出的整数值，再根据二次函数与轴有交点求出的范围，求出的整数值，进而求和．
【详解】解：在分式方程两边同乘以得：，
，
由题意得：，且，为整数，
的值为：1，3，8，，5，0，4，
二次函数，
，且△，
解得：且，
的值为：1，，0，3，
所有整数的和为：0，
故答案为：0．
17．(1)
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）设抛物线的顶点式，再将点的坐标代入解析式，解方程即可得出结论；
（2）将代入抛物线，求出的值，即可得出点，的坐标，进而求出的长，跟比较即可得出结论．
【详解】（1）解：(1)根据题意，，，
设抛物线的顶点式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）不需要采取紧急措施，理由如下：
由题意可知，点，的纵坐标为，
将代入，
，
解得
，
，
不需要采取紧急措施．
18．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点关于抛物线的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，进而求解；
（3）过点作轴交于点，由题意可设点，则点，由铅垂法可得面积，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵，
则点、的坐标分别为：、，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：点关于抛物线的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，
理由：为最小，
设直线的表达式为：，
∴由点、的坐标得，，
解得：，
∴直线的表达式为：，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
即点的坐标为：；
（3）解：过点作轴交于点，
由（2）可得直线的表达式为：，
设点，则点，
∴，的水平宽为3，
则面积，
∴当时，的面积最大，最大值为，此时点．
【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到点的对称性、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．