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2024衡水冀州中学高三上学期期中考试数学含解析
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这是一份2024衡水冀州中学高三上学期期中考试数学含解析,共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上, 函数的大致图象是, 下列命题中正确的是等内容,欢迎下载使用。
高三年级数学试题
考试时间:120分钟 满分:150分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 下列表示图中的阴影部分的是( )
A. B.
C. D.
2. 若复数(为虚数单位),则复数在复平面上对应点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知非零向量满足,且,则与的夹角为( )
A B. C. D.
4. 函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
5. 将函数的图象上各点向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的一半,纵坐标伸长为原来的4倍,则所得到的图象的函数解析式是( ).
A. B.
C. D.
6. 已知数列的首项为1,是边所在直线上一点,且,则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
7. 已知正方形ABCD的边长为2,将沿AC翻折到的位置,得到四面体,在翻折过程中,点始终位于所在平面的同一侧,且的最小值为,则点D的运动轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
8. 已知三角形中,,角平分线交于点,若,则三角形面积的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是( )
A. 若,则
B. 命题:“”的否定是“”
C. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为
D. 若函数则
10. 已知是函数的图象与直线的两个交点,则下列结论正确的是( )
A.
B. 的定义域为
C. 在区间单调递增
D. 的图象的对称中心为点
11. 已知数列的前项的和为,,,,则下列说法正确的是( )
A. B. 是等比数列
C. D.
12. 设函数定义域为,且满足,,当时,,则( )
A. 是奇函数
B.
C. 的值域是
D. 方程在区间内恰有1518个实数解
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知等差数列满足,则__________.
14. 已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则______.
15. 在三棱锥中,,,,则三棱锥外接球的表面积为________.
16. 在中,角,,所对的边分别为,,,已知,,,则的最大值为________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列为等比数列,在数列中,,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,,求数列的前项和.
18. 已知,,且.
(1)求角的大小;
(2)已知函数,若在区间上有极大值,无极小值,求的取值范围.
19 已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
20. 已知数列的前项和为.
(1)求;
(2)求.
21. 如图,有一景区的平面图是一个半圆形,其中O为圆心,直径AB的长为,C,D两点在半圆弧上,且,设.
(1)当时,求四边形ABCD的面积;
(2)若要在景区内铺设一条由线段AB,BC,CD和DA组成的观光道路,则当为何值时,观光道路的总长l最长,并求出l的最大值.
22. 已知函数,为的导函数.
(1)求在上的极值;
(2)设,求证:.
2023—2024学年上学期期中考试
高三年级数学试题
考试时间:120分钟 满分:150分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 下列表示图中的阴影部分的是( )
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集、并集和补集的定义判断即可.
【详解】
①②③④⑥⑦,②③④⑤⑥⑦,所以②③④⑥⑦,故A正确;
①②③④⑤⑥,所以①②③④⑥,故B错;
①②③④⑤⑥⑦,故C错;
③④⑥,故D错.
故选:A.
2. 若复数(为虚数单位),则复数在复平面上对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先化简复数,然后求其共轭复数,再根据复数的几何意义求解即可.
【详解】在复平面上对应的点为,该点在第一象限,
故选:A.
3. 已知非零向量满足,且,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直,结合数量积的运算律,即可求解.
【详解】,
,
故选:D
4. 函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一:根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断;方法二:根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.
【详解】方法一:因为,即,所以,
所以函数的定义域为,关于原点对称,
又,所以函数是奇函数,其图象关于原点对称,
故排除;
当时,,即,因此,故排除A.
故选:D.
方法二:由方法一,知函数是奇函数,其图象关于原点对称,故排除;
又,所以排除A.
故选:D.
5. 将函数的图象上各点向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的一半,纵坐标伸长为原来的4倍,则所得到的图象的函数解析式是( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合对函数图象的影响可得.
【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度,得到函数即的图象,
再把函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半,就得到函数的图象,
然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍,就得到函数的图象.
故选:A.
6. 已知数列的首项为1,是边所在直线上一点,且,则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三点共线,可得,再由等比数列的通项公式求出结果.
【详解】由题意可知三点共线,
所以,
因为,所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以,
所以.
故选:A
7. 已知正方形ABCD的边长为2,将沿AC翻折到的位置,得到四面体,在翻折过程中,点始终位于所在平面的同一侧,且的最小值为,则点D的运动轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设分析时的形状,进而确定 D的运动轨迹,即可求轨迹长度.
【详解】设方形对角线AC与BD交于O,
由题意,翻折后时,为边长为的等边三角形,此时,
若继续翻折,如下图示,
所以点D的运动轨迹是以O为圆心,为半径的圆心角为的圆弧,
所以点D的运动轨迹的长度为.
故选:C
8. 已知三角形中,,角的平分线交于点,若,则三角形面积的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正弦定理可得,再建立平面直角坐标系求解的轨迹方程,进而可得面积的最大值.
【详解】中,在中,
故,,
因,故,
又角的平分线交于点,则,故.
故.
以为坐标原点建立如图平面直角坐标系,则因为,,
故,,设,则,
即,故,
化简可得,即,故点的轨迹是以为圆心,2为半径的圆(除去).
故当纵坐标最大,即时面积取最大值为.
故选:C
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是( )
A. 若,则
B. 命题:“”的否定是“”
C. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为
D. 若函数则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二次函数求最值判断A,利用全称量词命题的否定是存在量词命题来判断B,根据抽象函数的定义域可判断C,根据换元法求解析式可判断D.
【详解】对于选项A,由,得,,
则,,
所以当时,取到最小值,所以,故选项A正确;
对于选项B,“”的否定是“”,故选项B不正确;
对于选项C,函数的定义域为,则中的范围为,
即,所以,
由抽象函数的定义域可得,中的范围为,
故函数的定义域为;所以选项C正确;
对于选项D,令,则,,
由得,,
所以,,所以选项D正确.
故选:ACD.
10. 已知是函数的图象与直线的两个交点,则下列结论正确的是( )
A.
B. 的定义域为
C. 在区间单调递增
D. 的图象的对称中心为点
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项,根据的周期性判断即可;BD选项利用整体代入的方法求定义域和对称中心即可;C选项,利用代入检验法判断单调性.
【详解】因为是函数的图象与直线的交点,所以的最小值为函数的最小正周期,,所以,故A正确;
令,解得,所以的定义域为,故B错;
因为,所以,因为函数在上不单调,所以函数在上不单调,故C错;
令,解得,所以的对称中心为点,,故D正确.
故选:AD.
11. 已知数列的前项的和为,,,,则下列说法正确的是( )
A. B. 是等比数列
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据递推公式可判定A,利用特殊项结合等比数列的定义可判定B,利用迭代法及等比数列的定义结合的关系可判定C、D.
【详解】由题意可知,所以,故A正确;
因为,
所以不能是等比数列,故B错误;
因为(),即(),
所以,
所以,即,
又因为,所以是以2为首项,4为公比的等比数列,
所以,
所以,
即,故D正确.
故选:AD.
12. 设函数的定义域为,且满足,,当时,,则( )
A. 是奇函数
B.
C. 的值域是
D. 方程在区间内恰有1518个实数解
【答案】ACD
【解析】
【分析】由判断奇函数,即判断A选项;求周期再结合奇偶性计算的值,即判断B选项;利用导数判断上的单调性,再求最值,最后利用奇偶性,对称性即判断C选项;将的解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题,画出图象先求出上的交点个数,再利用周期计算上的交点个数,即判断D选项.
【详解】函数的定义域为,关于原点对称,因为,所以,
又因为,所以,所以是奇函数,A正确;
由,得,所以以4为周期,
因为,所以,故B错误;
因为当时,,所以,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,又,所以.
因为为奇函数,所以当时,,
因为的图象关于直线对称,所以当时,,
因为的周期为4,所以当时,,故C正确;
方程的解的个数,即的图象与的图象交点个数.
因为的周期为4,且当时,与有3个交点,
所以当时,与有个交点,故D正确.
故选:ACD
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知等差数列满足,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列的性质可得,代入条件式,可求得,再根据,可得解.
【详解】在等差数列中,,又,
,解得,又,而,解得.
故答案为:.
14. 已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇偶函数的性质列式,消去得的解析式.
【详解】因为函数的定义域为,为偶函数,
所以,即,
又为奇函数,所以,即,
所以,解得.
故答案为:
15. 在三棱锥中,,,,则三棱锥外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件及余弦定理,可求得,由勾股定理可得,则三棱锥的外接球球心为中点,即外接圆的直径为,进而求出外接球的半径,从而可求外接球的表面积.
【详解】由,,,根据余弦定理可得,则,,
中E为斜边AB中点,所以到各点的距离相等,
则三棱锥外接球的直径为,
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为:
16. 在中,角,,所对的边分别为,,,已知,,,则的最大值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】写出的表达式,利用余弦定理和基本不等式即可求出最大值.
【详解】由题意,
, 所以消去 得
,
由, 得 ,当且仅当时等号成立,
∴,
∴原式
故答案为:.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列为等比数列,在数列中,,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)先求出等比数列的公比,然后利用等差数列的定义求出数列的通项公式;
(2)结合等差数列求和公式及等比数列求和公式,利用分组求和法求解即可.
【小问1详解】
由已知,所以等比数列的公比为,
所以,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以.
【小问2详解】
由(1)得:
.
18. 已知,,且.
(1)求角的大小;
(2)已知函数,若在区间上有极大值,无极小值,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由同角三角函数关系求得,结合角的范围及求解即可;
(2)先根据三角恒等变换化简函数得,再运用三角函数性质求解即可.
【小问1详解】
因为,所以,
所以,又,所以,故或,
解得或,又,所以.
【小问2详解】
由(1)知
,
当时,,
因为在区间上有极大(最大)值,无极小(最小)值,
所以,解得,所以的取值范围为.
19. 已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】(1)代入,求出即可求得切线方程;
(2)函数求导 ,对分类讨论,进而求得单调性.
【小问1详解】
当时,,
,所以,曲线在处的切线方程为.
【小问2详解】
,
①当时,,所以函数在上单调递增;
②当时,令,则(舍)或,
,当时,函数单调递减;
,当时,函数单调递增.
③当时,令,则或(舍),
,当时,函数单调递减;
,当时,函数单调递增.
综上所述:当时,函数在(0,+∞)上单调递增;
当时,当时,函数单调递减
当时,函数单调递增;
当时,当时,函数单调递减;
当时,函数单调递增
20. 已知数列的前项和为.
(1)求;
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由与的关系化简得为等差数列后求解,
(2)由裂项相消法求解.
【小问1详解】
,可得,
可得,即数列为首项为2,公差为2的等差数列,
可得,由,可得;
【小问2详解】
,
即有
.
21. 如图,有一景区的平面图是一个半圆形,其中O为圆心,直径AB的长为,C,D两点在半圆弧上,且,设.
(1)当时,求四边形ABCD的面积;
(2)若要在景区内铺设一条由线段AB,BC,CD和DA组成的观光道路,则当为何值时,观光道路的总长l最长,并求出l的最大值.
【答案】(1)
(2),
【解析】
【分析】(1)把四边形分解为三个等腰三角形:,利用三角形的面积公式即得解;
(2)利用表示(1)中三个等腰三角形的顶角,利用正弦定理分别表示,和,令,转化为二次函数的最值问题,即得解.
【小问1详解】
连结,则
四边形的面积为
【小问2详解】
由题意,在中,,由正弦定理
同理在中,,由正弦定理
令
时,即,的最大值为5
22. 已知函数,为的导函数.
(1)求在上的极值;
(2)设,求证:.
【答案】22. 极小值为,极大值为
23. 证明见详解
【解析】
【分析】(1)先找到周期,后去求导,注意导数的变号零点才是极值点,分别讨论求极值即可;(2)利用第一问结论,进行合理恒等变形,放缩法求解即可.
【小问1详解】
是的周期,又
令,解得或,故令,解得
令,解得,故在上单调递增,在
上单调递减,故在上的极小值为,极大值为,由周期性可知,在上的极小值为,极大值为,且易知在上单调递增,上单调递增,且是基本初等函数,一定连续,故不是的极值点
故在上的极小值为,极大值为
【小问2详解】
易知,由上问知,即
则
故原不等式得证成立
【点睛】本题第一问考查了导数不变号零点的处理,学生易与变号零点混淆,注意变号零点才能作为极值点,第二问考查用放缩法证明不等式,学生需要进行合理恒等变换,去构造成能放缩的形式,对学生能力要求较高,属于难题.
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