2024北京交通大学附中高一上学期期中考试数学含解析

这是一份2024北京交通大学附中高一上学期期中考试数学含解析，共18页。试卷主要包含了10， 已知集合，，则， 命题“，”的否定为， 已知函数，则的值为， 已知，则“”是“”的．， 设为上的奇函数，且当时，，则等内容，欢迎下载使用。

说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（ ）
A.
B
C.
D.
4. 已知函数，则的值为（ ）
A. 3B. 0C. D.
5. 已知，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
6. 下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 设为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. 12B. C. 13D.
9. 已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是( )
A. 若则B.
C D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）
11. 函数定义域为__________．
12. 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则的解集为________.
13. 定义在上的函数，给出下列三个论断：
①在上单调递增；
②；
③.
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）
14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.
15 设函数.给出下列四个结论：
①函数的值域是；
②，有；
③，使得；
④若互不相等的实数满足，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 设关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B.
（1）求集合A，B；
（2）若，求实数a的取值范围.
17. 已知函数.
（1）用函数单调性的定义证明：在上是增函数；
（2）求函数在区间上的值域.
18. 已知二次函数最小值为1，且.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，确定实数m的取值范围.
19. 为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．
（1）求m的值及用x表示S；
（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．
20. 已知是定义域为的函数，若对任意，，均有，则称是S关联.
（1）判断和证明函数是否是关联?是否是关联?
（2）若是关联，当时，，解不等式：.
北京交大附中2023—2024学年第一学期期中练习
高一数学2023.10
说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：D.
2. 命题“，”的否定为
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论否定，即可得答案.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故选：A.
【点睛】本题考查特称命题的否定的书写，是基础题.
3. 已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用判别式和韦达定理解决.
【详解】关于x的方程的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，
则有，解得.
故选：C
4. 已知函数，则的值为（ ）
A. 3B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求，进而求出.
【详解】由题意得，，则.
故选：D.
5. 已知，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.
【详解】由得，此不等式与不等式同解，解得或.
所以，当时，一定成立，故充分性成立；
当即或时，不一定成立，故必要性不成立.
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义即可得到答案.
【详解】对于A，当时，，所以不是奇函数，故A错误；
对于B，因为的定义域为，
又，所以为奇函数，
因为在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，故B正确；
对于C，因为的定义域为，
又，所以为偶函数，故C错误.
对于D，因为的定义域为，
又，所以为偶函数，故D错误.
故选：B.
7. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由数轴知 ，不妨取检验选项得解.
【详解】由数轴知 ，不妨取，
对于A， ， 不成立.
对于B，， 不成立.
对于C， ， 不成立.
对于D， ，因此成立.
故选：D．
【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
8. 设为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. 12B. C. 13D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据为上的奇函数，求出.
【详解】因为为上的奇函数，所以，，
所以.
故选：C
9. 已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将参数与自变量分离，利用基本不等式求得最值即可得出实数m的取值范围.
【详解】根据题意当时，不等式恒成立，
则恒成立，只需即可；
易知当时，由基本不等式可得，当且仅当时取等号；
所以，即，
所以实数m的取值范围是.
故选：A
10. 对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是( )
A. 若则B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据逐项分析,即可求得答案.
【详解】
对于A,,
分类讨论：
①当,则此时
②当且,即,此时，
③当且,
即时,,此时
综合所述,有,故A正确;
对于B , ,故(2)正确；
对于C ,
,故C正确;
对于D ,,故D错误.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）
11. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【详解】依题意，.
12. 如图，函数图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.
【详解】当时，由图象可知，即的解集为.
【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.
13. 定义在上的函数，给出下列三个论断：
①在上单调递增；
②；
③.
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）
【答案】 ①. ①（答案不唯一） ②. ②（答案不唯一） ③. ③（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据单调性和范围即可推出不等式.
【详解】①②推出③；
证明：当在单调递增且当时，有，得证.
①③推出②；
证明：当在单调递增且当时，有，得证.
①②无法推出③；
取，此时满足且，但不满足在单调递增.
故答案为：①；②；③.（答案不唯一）
14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.
【答案】##20立方米
【解析】
【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.
【详解】设用水量为立方米，水价为元，
则，
整理得到：，
当时，；时，；
故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，
令，则（立方米），
故答案为：.
15. 设函数.给出下列四个结论：
①函数值域是；
②，有；
③，使得；
④若互不相等的实数满足，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】对于①，利用二次函数与反比例函数的图像性质画出函数图1，结合图像即可判断；
对于②，举反例排除即可；
对于③，将问题转化为与有交点，作出图2即可判断；
对于④，结合图1对进行分析即可.
【详解】对于①，因为，
所以由二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图1，
由的图像易知的值域是，故①正确；
对于②，易得，，显然在上并不单调递增，所以②说法不成立，故②错误；
对于③，假设存在，，则，即，
即与有交点，作出图像，如图2，显然假设成立，故③正确；
对于④，由图1易知，则，
因为，所以，即，解得，
所以，即的取值范围是，故④正确；
综上：①③④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 设关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B.
（1）求集合A，B；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）解绝对值不等式和二次不等式即可得解；
（2）利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，则，
所以，
因为，所以，解得，
所以
【小问2详解】
因为，
因为恒成立，所以，
所以，解得，
故a取值范围为.
17. 已知函数.
（1）用函数单调性的定义证明：在上是增函数；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）任取，且，通过计算的正负来判断单调性；
（2）由函数在区间上单调性求出最值即可.
【小问1详解】
任取，且，
则，
因为，，所以，，，
所以，即，
所以在上是增函数.
【小问2详解】
由（1）知在区间上单调递增，
所以，，
所以函数在区间上的值域为.
18. 已知二次函数的最小值为1，且.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，确定实数m的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次函数解析式的顶点式、待定系数法分析运算即可得解.
（2）由题意将图象的位置关系转化为不等式，利用分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【小问1详解】
解：由题意，设二次函数，，
∵，
∴，解得：，
∴，.
【小问2详解】
解：∵在区间上，的图象恒在的图象上方，
∴在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则在区间上恒成立，
∴，
∵函数图象的对称轴为，开口向上，
∴函数在区间上单调递减，
∴，则，
∴实数m的取值范围是.
19. 为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．
（1）求m的值及用x表示S；
（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．
【答案】（1），（）；
（2）当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元.
【解析】
【分析】（1）利用给定条件，求出值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.
（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.
【小问1详解】
设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，
则，解得，
显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：
（）.
【小问2详解】
由（1）知
，
当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元．
20. 已知是定义域为的函数，若对任意，，均有，则称是S关联.
（1）判断和证明函数是否是关联?是否是关联?
（2）若是关联，当时，，解不等式：.
【答案】（1）是关联，不是关联
（2）
【解析】
【分析】（1）根据关联定义直接判断即可；
（2）先根据关联定义确定函数满足的性质，再结合时的解析式画出函数图像，结合图像即可求解.
【小问1详解】
任取，若，则
所以是关联；
若，则，
所以不是关联.
【小问2详解】
由题意知，当时，，即，
由于当时，，所以画出的图像如图，

当时，令得，
令得或，
结合图像求出点，，
所以当时，，
即不等式的解集为.
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/