2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期10月期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期10月期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a=1,2,1,b=-2,3,1，则a+b⋅b=( )
A. -19B. -20C. 20D. 19
2.直线4x-3y+m=0的一个方向向量是
( )
A. 4,3B. 4,-3C. 3,4D. 3,-4
3.已知椭圆C:9x2+4y2=1，则椭圆的长轴长为
( )
A. 1B. 23C. 12D. 13
4.若圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+1=0对称，则a+b等于
( )
A. 1B. -1C. 12D. -12
5.已知空间三点A1,-1,2,B3,0,-1,C2,3,-3，则向量AB与CB的夹角为
( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6.空间直角坐标系O-xyz中，经过点Px0,y0,z0，且法向量为m=A,B,C的平面方程为Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0，经过点Px0,y0,z0且一个方向向量为n=a,b,cabc≠0的直线l的方程为x-x0a=y-y0b=z-z0c，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面α的方程为2x-7y+z-4=0，经过0,0,0的直线l的方程为x2=y3=z-1，则直线l与平面α所成角的正弦值为
( )
A. 217B. 219C. 2114D. 216
7.已知直线y=2x+m与曲线y= 4x-x2有两个不同的交点，则m的取值范围为
( )
A. 0,2 5-4B. 0,2 5-4C. -2 5-4,0D. -2 5-4,0
8.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M在x轴的射影为点N，O为坐标原点，若AO=3NM，则E的离心率是
( )
A. 33B. 22C. 13D. 34
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.关于直线l: 3x-y-1=0，下列说法正确的有
( )
A. 过点( 3,-2)B. 斜率为​3
C. 倾斜角为60°D. 在y轴上的截距为1
10.已知圆心为C的圆x2+y2-4x+6y+11=0与点A(0,-5)，则( )
A. 圆C的半径为2
B. 点A在圆C外
C. 点A与圆C上任一点距离的最大值为3 2
D. 点A与圆C上任一点距离的最小值为 2
11.已知点P是椭圆x29+y25=1上一点，点F1、F2是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2=60°，则下列说法正确的是
( )
A. △F1PF2的面积为5 33
B. 若点M是椭圆上一动点，则MF1⋅MF2的最大值为9
C. 点P的纵坐标为5 36
D. △F1PF2内切圆的面积为π3
12.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=AD=2,E,F,G分别为DA,DC,PB的中点，则
( )
A. 若PC的中点为M，则四面体D-BCM是鳖臑
B. CG与EF所成角的余弦值是 63
C. 点S是平面PAC内的动点，若SD+SG=2，则动点S的轨迹是圆
D. 过点E，F，G的平面与四棱锥P-ABCD表面交线的周长是2+2 2
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若直线l1:2x+ay-4=0与直线l2:a-1x+3y-4=0平行，则实数a的值为_________．
14.已知直线l的方向向量为-3,m,2，平面α的法向量为n,3,4，且l⊥α，则2m+n=_________．
15.已知圆C1:(x-a)2+y2=36与圆C2:x2+(y-b)2=4只有一条公切线，则a2+b2=_________．
16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为12的直线l经过左焦点F1且交C于A，B两点(点A在第一象限)，设▵AF1F2的内切圆半径为r1，▵BF1F2的内切圆半径为r2，若r1r2=2，则椭圆的离心率e= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知直线l经过点P2,1,Q4,5．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若直线m与直线l垂直，且在y轴上的截距为2，求直线m的方程．
18.(本小题12分)
已知椭圆x28+y24=1，点M2,1．
(1)若椭圆的左焦点为F，上顶点为D，求点M到直线DF的距离；
(2)若点M是椭圆的弦AB的中点，求直线AB的方程．
19.(本小题12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，PD=AD=2,∠DAB=60∘，M是PC的中点．
(1)求证：AC⊥平面PBD；
(2)求二面角M-DB-P的余弦值．
20.(本小题12分)
已知圆C经过A0,2,B1,1，且圆心在直线l1:2x+y-4=0上.
(1)求圆C的方程；
(2)若从点M3,5发出的光线经过直线l2:x+y-1=0反射后恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程．
21.(本小题12分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF//AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P为棱DF上一点(不含端点)．
(1)当FP为何值时，AP⊥PC；
(2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点P为E上的一动点，F1,F2分别是椭圆E的左､右焦点，▵PF1F2的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点2,0的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求▵F1PQ面积的最大值及此时l的方程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】由空间向量的数量积坐标公式求得结果．
解：因为 a=1,2,1,b=-2,3,1 ，
所以 a+b=-1,5,2 ，则 a+b⋅b=-1×(-2)+3×5+1×2=19 ，
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据直线斜率可得其方向向量．
解： ∵ 直线 4x-3y+m=0 的斜率 k=43 ， ∴ 直线 4x-3y+m=0 的一个方向向量为 3,4 ．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【分析】转化为椭圆的标准方程即可求解．
解：由椭圆 C:9x2+4y2=1 得： x219+y214=1 ，所以 a2=14 ，解得 a=12 ，所以长轴长 2a=1 ，
故选：A．
4.【答案】C
【解析】【分析】利用圆的标准方程、点在直线上运算即可得解．
解：∵圆的方程 x2+y2+2x-4y+1=0 可化为 x+12+y-22=4 ，
∴圆心为 C-1,2 ，
∵圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+1=0 对称，
∴圆心 C-1,2 在直线 2ax-by+1=0 上，
∴ -2a-2b+1=0 ，
∴ a+b=12 ．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据已知求出 AB,CB ，进而根据数量积以及模的坐标运算，即可求出答案．
解：由已知可得 AB=2,1,-3 ， CB=1,-3,2 ，
所以 csAB,CB=AB⋅CBABCB =-7 14× 14=-12 ．
又 AB,CB∈0,π ，
所以 AB,CB=2π3 ．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】【分析】由题意得到直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量，利用线面角的向量求解公式得到答案．
解：由题意得，直线 l 的方向向量为 n1=2,3,-1 ，平面 α 的法向量为 m1=2,-7,1 ，
设直线 l 与平面 α 所成角的大小为 θ ，
则 sinθ=csn1,m1=2,3,-1⋅2,-7,1 4+9+1× 4+49+1=4-21-1 14× 54= 217
故选：A
7.【答案】A
【解析】【分析】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解．
解：曲线 y= 4x-x2 表示圆 (x-2)2+y2=4 在x轴的上半部分，
当直线 y=2x+m 与圆 (x-2)2+y2=4 相切时， |4-m| 5=2 ，
解得 m=±2 5-4 ，当点 (0,0) 在直线 y=2x+m 上时，
m=0 ，可得 m∈[0,2 5-4) ，所以实数取值范围为 [0,2 5-4) ．
故选：A
8.【答案】B
【解析】【分析】确定 M43c,-b3 ，代入椭圆方程得到 169e2+19=1 ，解得答案．
解： A0,b ， Fc,0 ， AO=3NM ，则 OF=3FN ， M43c,-b3 ，
故 16c29a2+b29b2=1 ，即 169e2+19=1 ，解得 e= 22 (舍去负值)，
故选：B
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查一般式方程、直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
A. 当x= 3时，y=2，所以该选项错误；
B. 直线的斜率为​3，所以该选项正确；
C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当x=0时，y=-1，所以该选项错误．
【解答】
解：A.当x= 3时， 3× 3-y-1=0,∴y=2，所以直线不经过点( 3,-2)，所以该选项错误；
B. 由题得y= 3x-1，所以直线的斜率为​3，所以该选项正确；
C. 由于直线的斜率为​3，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当x=0时，y=-1，所以直线在y轴上的截距不为1，所以该选项错误．
故选：BC．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查圆的半径的求法与判断圆与点的关系，数形结合法求圆上的点到一定点的距离的最值，属于基础题．
圆的方程配方求得半径可判断A；把点A的坐标代入圆方程左边计算代数式的值可判断B；求出圆上的点到定点A的距离的最值可判断CD．
【解答】
解：由圆x2+y2-4x+6y+11=0得(x-2)2+(y+3)2=2，知半径为 2，故A错误；
把点A(0,-5)代入圆的方程x2+y2-4x+6y+11=0的左边代数式
有02+(-5)2-4×0+6×(-5)+11=6>0，所以点A在圆C外，故B正确；
圆心C到A的距离为C(2,-3)，AC= (2-0)2+(-3+5)2=2 2，
所以圆C上任一点到A的距离的最大值为2 2+ 2=3 2，
最小距离为2 2- 2= 2，故CD 正确；
故答案选：BCD．
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义和焦点三角形问题、向量数量积的坐标运算、利用余弦定理解三角形、三角形面积公式，属于较难题．
A、根据椭圆定义和余弦定理求出|PF1||PF2|=203，再利用三角形面积公式求出S△F1PF2，即可判断A选项的正误．
B、设点M(x0 ,y0)，根据椭圆的方程可得-3⩽x0⩽3，利用向量数量积的坐标运算求出MF1⋅MF2关于x0的表达式，结合x0的取值范围求得MF1⋅MF2的最大值，即可判断B选项的正误．
C、利用三角形面积求出点P的纵坐标，即可判断C选项的正误．
D、利用等面积法求出△F1PF2内切圆的半径，求出内切圆的面积，即可判断D选项的正误．
【解答】
解：椭圆的方程为x29+y25=1，则a=3，b= 5，c= a2-b2=2，
根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6．
A、|PF1|+|PF2|2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2=36(Ⅰ)，
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs60°，
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2=16(Ⅱ)，
由(Ⅰ)和(Ⅱ)得|PF1||PF2|=203，
则△F1PF2的面积S=12|PF1||PF2|sin60°=12×203× 32=5 33，故A正确．
B、设点M(x0 ,y0)，则x029+y025=1(-3⩽x0⩽3)，
MF1⋅MF2=-2-x0 ,-y0·2-x0 ,-y0=x02+y02-4=x02+5-5x029-4=4x029+1，
当x0=±3时，MF1⋅MF2取得最大值5，故B错误．
C、由A知△F1PF2的面积为5 33，则12×2c×|yP|=2|yP|=5 33，即yP=±5 36，故C错误．
D、设△F1PF2内切圆的半径为r，由A知△F1PF2的面积为5 33，
则12(PF1+|PF2|+|F1F2|)r=5 33，即12(6+4)r=5 33，解得r= 33，
所以△F1PF2内切圆的面积为πr2=( 33)2π=π3，故D正确．
故选：AD．
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了直线与直线所成角的向量求法和空间几何体的截面问题，是较难题．
对于A：证明四面体D-BCM各面均为直角三角形；
对于B：用空间向量法求解；
对于C：先确定S是以DG为长轴的椭球面，又可证S所在平面PAC与长轴DG垂直，可得S的轨迹是圆；
对于D：用空间向量求出截面与棱的交点，用空间距离计算周长．
【解答】
解：连接MB,MD,BD，
因为PD⊥底面ABCD，BC⊂面ABCD，所以PD⊥BC，
又DC⊥BC，DC⊂面PCD，PD⊂面PCD，PD∩DC=D，
所以BC⊥面PCD，又PC⊂面PCD，所以BC⊥PC，
所以面MCB为直角三角形，
所以BM= BC2+CM2= 6，又MD= 2,BD=2 2
可得BD2=BM2+DM2，则DM⊥BM，所以面MBD为直角三角形，
又面BCD，面DCM均为直角三角形，
所以四面体D-BCM是鳖臑，所以A正确；
以D为坐标原点，分别以DA,DC,DP为x,y,z正半轴建系如图，
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，E(1,0,0),F(0,1,0),G(1,1,1),
故CG=(1,-1,1),EF=(-1,1,0)，DG=(1,1,1),EG=(0,1,1)，AC=(-2,2,0),PA=(2,0,-2)．
故CG与EF所成角的余弦值
csCG,EF=CG⋅EF|CG|⋅|EF|=(1,-1,1)⋅(-1,1,0) 3⋅ 2= 63，故B正确；
对于选项C：因DG= 3 ，SD+SG=2>DG，所以S的轨迹是以D,G为焦点的椭球面，
又DG⋅AC=(1,1,1)⋅(-2,2,0)=0，DG⋅PA=(1,1,1)⋅(2,0,-2)=0，
∴DG⊥AC,DG⊥PA，又AC⊂面PAC，PA⊂面PAC，AC∩PA=A，
所以DG⊥面PAC，
即面PAC垂直于椭球的长轴DG，故面PAC截椭球的截面为圆，
所以动点S的轨迹是圆，所以C正确；
对于选项D：设平面EFG的法向量为n=(x,y⋅z)，
由n⋅EF=-x+y=0n⋅EG=y+z=0可取n=(1,1,-1)，
设过点E，F，G的平面与PC交于Q，与PA交于K，设Q(0,t,2-t)，
故FQ=(0,t-1,2-t)，又因为FQ⊂平面EFG，
所以FQ⋅n=t-1+t-2=0，解得t=32，∴Q0,32,12，
又EF= 2,FQ= 22,GQ= 62，
由几何体的对称性知EK=FQ,KG=QG，
所以交线的周长为EF+2FQ+2QG= 2+ 2+ 6=2 2+ 6，故D错误，
故选：ABC．
13.【答案】-2
【解析】【分析】由直线 l1,l2 不相交，求出 a 值并验证即可．
解：由直线 l1:2x+ay-4=0 与 l2:a-1x+3y-4=0 不相交，得 a(a-1)-2×3=0 ，解得 a=-2 或 a=3 ，
当 a=-2 时，直线 l1 的纵截距为 4a=-2 ，直线 l2 的纵截距为 43 ，则 l1//l2 ，
当 a=3 时，直线 l1 的纵截距为 4a=43 ，直线 l2 的纵截距为 43 ，则直线 l1,l2 重合，
所以实数 a 的值为 -2 ．
故答案为： -2
14.【答案】-3
【解析】【分析】根据平面法向量的性质，结合空间向量平行的性质的坐标进行求解即可．
解：设平面的法向量 n,3,4 为 m
因为 l⊥α ，
所以 m//l ，
所以有 -3n=m3=24⇒m=32n=-6⇒2m+n=2×32-6=-3 ，
故答案为： -3
15.【答案】16
【解析】【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意可知两圆相内切，即可得到 C1C2=r1-r2 ，从而得解．
解：圆 C1:(x-a)2+y2=36 的圆心为 C1a,0 ，半径 r1=6 ，
圆 C2:x2+(y-b)2=4 的圆心为 0,b ，半径 r2=2 ，
因为圆 C1:(x-a)2+y2=36 与圆 C2:x2+(y-b)2=4 只有一条公切线，
所以两圆相内切，所以 C1C2=r1-r2 ，即 a2+-b2=4 ，
所以 a2+b2=16 ．
故答案为： 16
16.【答案】 56
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题．
由题意得r1r2=-yAyB=2，联立直线与椭圆方程得yA+yB=4b2ca2+4b2，yA⋅yB=-b4a2+4b2，再利用yA+yB2yA⋅yB=yAyB+2+yByA，代入值计算，即可得答案．
【解答】
解：如图所示，由椭圆定义可得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，
设▵AF1F2的面积为S1，▵BF1F2的面积为S2，因为r1r2=2，
所以122a+2cr1122a+2cr2=S1S2=12×2c×yA12×2c×-yB⇒r1r2=-yAyB=2，即yA=-2yB，
设直线l:x=2y-c，则联立椭圆方程与直线l方程，可得
x=2y-cb2x2+a2y2=a2b2⇒(a2+4b2)y2-4b2cy-b4=0,
由根与系数的关系得：yA+yB=4b2ca2+4b2，yA⋅yB=-b4a2+4b2，
又yA+yB2yA⋅yB=yAyB+2+yByA，即4b2ca2+4b22-b4a2+4b2=-2+2-12=-12，
化简可得16c2a2+4b2=12⇒32c2=a2+4a2-c2，即36c2=5a2，
所以e2=c2a2=536⇒e= 56．
故答案为 56．
17.【答案】解：(1)∵直线 l 的斜率为 kl=5-14-2=2 ，
∴直线 l 的方程为 y-1=2x-2 ，
∴直线 l 的一般式方程为 2x-y-3=0 ．
(2)∵直线 m 与直线 l 垂直，由(1)知：直线 l 的斜率为2，
∴直线 m 存在斜率，设直线 m 的方程为 y=kx+2 ，且 2k=-1 ，即 k=-12 ，
∴直线 m 的方程为 y=-12x+2 ，即 x+2y-4=0 ．

【解析】【分析】(1)两点求斜率，再应用点斜式写出直线方程；
(2)由直线垂直确定斜率，应用斜截式写出直线方程．
18.【答案】(1)解：
如上图，∵椭圆方程为 x28+y24=1 ，点 M2,1 ，
∴椭圆的左焦点是 F-2,0 ，上顶点 D0,2 ，
则直线 DF 在 x 轴、 y 轴截距为 -2 和 2 ，
∴直线 DF 的截距式方程为 x-2+y2=1 ，可化为 x-y+2=0 ，
∴点 M2,1 到直线 DF 的距离 d=2-1+2 2=3 22 ．
(2)解：
如上图，设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，则 x128+y124=1,x228+y224=1 ，
两式相减得： x1+x2x1-x28+y1+y2y1-y24=0 ，
∴直线 AB 的斜率 k=y1-y2x1-x2=-48⋅x1+x2y1+y2=-12⋅x1+x2y1+y2 …………①，
又∵点 M 是椭圆的弦 AB 的中点，
∴ x1+x2=4 ， y1+y2=2 ，
∴代入①式得： k=-12⋅x1+x2y1+y2=-1 ，
∴直线 AB 的方程为 y-1=-x-2 ，即 x+y-3=0 ．

【解析】【分析】(1)利用直线的截距式方程和一般式方程、点到直线的距离公式运算即可得解．
(2)设点 A,B 的坐标，代入椭圆方程，利用中点坐标公式、斜率公式可得直线 AB 的斜率，根据点斜式建立直线 AB 的方程，化简为一般式方程即可得解．
19.【答案】解：(1)证明：∵ PD⊥ 面 ABCD ， AC⊂ 面 ABCD ，
∴ PD⊥AC ，
又 AC⊥BD,PD∩DB=B ，PD、BD⊂平面PBD，
∴ AC⊥ 平面 PBD ．
(2)取 AB 的中点为N，
由于∠DAB=60°，AD=AB，
所以ΔABD为等边三角形，
所以DN⊥AB，又AB/​/CD，
所以DN⊥DC，
因为PD⊥面ABCD，DC,DN⊂平面ABCD，
所以PD⊥DC,PD⊥DN，
所以DN,DC,DP 两两垂直，
则以D为坐标原点，以 DN,DC,DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，
则 P(0,0,2),D(0,0,0),B( 3,1,0),M(0,1,1),
A( 3,-1,0),C(0,2,0) ，
设面 MDB 的法向量为 m=(x,y,z) ，DB= 3,1,0,DM=0,1,1，
m⋅DB=0,m⋅DM=0, 则 3x+y=0,y+z=0,
令 x=1 ，则 y=- 3,z= 3 ， m=(1,- 3, 3) ．
又 AC⊥ 面 PBD ，∴面 PBD 的法向量 n=AC=(- 3,3,0) ，
∴ csm,n=m⋅n|m||n|=- 3-3 3 7⋅ 12=-4 32 3⋅ 7=-2 7 ，
又二面角 M-DB-P 的平面角为锐角，则余弦值为 2 77 ．

【解析】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，是中档题．
(1)根据线面垂直的性质可得 PD⊥AC ，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
(2)以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 ，利用向量法即可求出答案．
20.【答案】解：(1)由题知 AB 中点为 12,32 ， kAB=2-10-1=-1 ，
所以 AB 的垂直平分线方程为 y-32=x-12 ，即 x-y+1=0 ，
联立 x-y+1=02x+y-4=0 ，解得 x=1y=2 ，即圆心为 1,2 ，
所以圆 C 的半径为 r= 1-02+2-22=1 ，
故圆 C 的方程为 (x-1)2+(y-2)2=1 ．
(2)设 M 关于 l2 的对称点为 Nx,y ，
则直线 MN 与 l2 垂直，且 MN 的中点 x+32,y+52 在直线 l2 上，
则 x+32+y+52-1=0y-5x-3=1 ，解得 N-4,-2 ，
由题意知反射光线过圆心，故 y-2-4=x-1-5 ，
即 4x-5y+6=0 ．


【解析】【分析】(1)先求 AB 的垂直平分线方程，联立直线 l1 的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；
(2)设 M 关于 l2 的对称点为 Nx,y ，结合反射光线原理可得其对称点坐标，进而利用直线的两点式方程即可得出结果．
21.【答案】解：(1)∵四边形 ABCD 为矩形，∴ AD⊥AB ，
∵直线 AF⊥ 平面 ABCD ， AB,AD⊂ 平面 ABCD ，
∴ AF⊥AB ， AF⊥AD ，即 AB,AD,AF 两两垂直，
∴以点 A 为原点， AB,AD,AF 所在直线为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，如下图，
∵ EF//AB ， AD=2 ， AB=AF=2EF=1 ，
∴B(1,0,0),D(0,2,0),E(12,0,1),
C(1,2,0),F(0,0,1)，
∴ DE=(12,-2,1),BC=(0,2,0),
BF=(-1,0,1),FD=(0,2,-1)，FD=FD= 5，
设 Px,y,z,FP=λFD ，因点 P 为棱 DF 上一点(不含端点)，故 0<λ<1 ，
则 x,y,z-1=λ0,2,-1 ，可得 P0,2λ,1-λ ，
∴ AP=0,2λ,1-λ,PC=1,2-2λ,λ-1 ，
∵ AP⊥PC ，∴ AP⋅PC=0 ，即 0×1+2λ2-2λ+1-λλ-1=0 ，
解得： λ=15 或 λ=1 (舍去)，
∴ FP=15FD ，
∴ FP=15FD= 55 ．
(2)设平面 BCF 的法向量 n=x,y,z ，则 n⊥BC ， n⊥BF ，
∴ n⋅BC=0n⋅BF=0 ，即 2y=0-x+0+z=0,
令x=1，解得：y=0，z=1，则 n=1,0,1 ， n= 2 ，
∵ DE=12,-2,1 ，
∴ DE= 122+-22+12= 212 ，
设直线 DE 与平面 BCF 所成角为 θ ，
则 sinθ=csn,DE=12+0+1 212× 2= 4214 ，
所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值为 4214 ．

【解析】本题考查直线与平面所成角的向量求法，线面垂直的性质，属于中档题．
(1)建立空间直角坐标系，利用 AP⊥PC ，转化为向量的数量积运算即可得解．
(2)求出平面 BCF 的法向量 n=1,0,1 ，利用直线与平面所成角的向量法计算公式运算即可得解．
22.【答案】解：(1)由题意得2a+2c=12a-c=2，解得：a=4,c=2,∴b2=a2-c2=12，
则椭圆的标准方程是：x216+y212=1；
(2)设l1:x=my+2,Px1,y1,Qx2,y2，
联立x216+y212=1x=my+2，消去x得：3m2+4y2+12my-36=0，
y1+y2=-12m3m2+4,y1⋅y2=-363m2+4,
由题意可知：点F1(-2,0)，
所以S△F1PQ=12×4×|y1-y2|=2|y1-y2|=2 144m2(3m2+4)2+1443m2+4=48 m2+13m2+4
令t= m2+1，则t≥1，所以S△F1PQ=48t3t2+1=483t+1t，
∵t≥1，易知y=3t+1t在1,+∞单调递增，
所以当t=1时,Smax=12，此时m=0，
所以直线l的方程为：x=2．

【解析】本题考查椭圆的标准方程、椭圆中三角形的面积问题，属于较难题．
(1)根据题意，列出方程，解之即可求出结果；
(2)设过点2,0的动直线l的方程为：x=my+2,Px1,y1,Qx2,y2，然后将直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数的关系表示出两点纵坐标的关系，然后将▵F1PQ的面积表示出来，最后根据函数的单调性求出最值即可．