2023-2024学年辽宁省鞍山市第一中学高一上学期10月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市第一中学高一上学期10月月考数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A=2,3,4,B=1,2,3，则A∩B=( )
A. 3B. 1,2,3,4C. 2,3D. 0
2.已知a∈R，则“a>4”是“a2>16”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知命题p:∀x∈R,x2+x+2>0.那么¬p是
( )
A. ∃x0∈R,x02+x0+2>0B. ∀x∈R,x2+x+2≤0
C. ∃x0∈R,x02+x0+2≤0D. ∀x∈R,x2+x+2<0
4.设集合A={0,-a}，B={1,a-2,2a-2}，若A⊆B，则a=( )
A. 2B. 1C. 23D. -1
5.已知正数x,y满足x+y=4，则xy的最大值
( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.已知函数fx的定义域为0,2，则函数gx=fx-4 x-5的定义域为
( )
A. 4,6B. 5,+∞C. 5,6D. 0,2
7.若函数y=fx在R上单调递增，且f2m-3>f-m，则实数m的取值范围是
( )
A. -∞,-1B. -1,+∞C. 1,+∞D. -∞,1
8.若函数fx=x2+x+1x2+1的最大值为M，最小值为N，则M+N=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是( )
A. 若a>b,c>d，则a+c>b+dB. 若a>b,c>d，则ac>bd
C. 若ab>0,c<0，则ca>cb
10.下列各组函数表示同一个函数的是( )
A. fx=x0x≠0,gx=1x≠0
B. fx=2x+1x∈Z,gx=2x-1x∈Z
C. fx= x2-9,gx= x+3⋅ x-3
D. fx=x2-2x-1,gt=t2-2t-1
11.已知a>1，则a+4a-1的取值可以是
( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
12.设函数fx=ax-8,x<4x2-2ax,x≥4，当fx为增函数时，实数a的值可能是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知集合U=1,2,3,4,5，A=1,3，B=1,2,4，则∁UB∪A的子集个数为_____．
14.函数y=x2-2mx+3在区间2,3上具有单调性，则m的取值范围为___________．
15.已知x>0,y>0，且x+y=2，则1x+9y的最小值为_____．
16.已知函数fx、gx分别由下表给出
则fg1的值为 ；则不等式fgx>gfx的解集为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知p:实数x满足集合Axa-1≤x≤a+1，q:实数x满足集合B=xx≤-2或x≥3．
(1)若a=-2，求A∩B；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知集合A=x0≤x≤2，B=xa≤x≤3-2a．
(1)若(∁RA)∪B=R，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x-1x+1．
(1)求函数的定义域；
(2)试判断函数在(-1,+∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)试判断函数在x∈[3,5]的最大值和最小值．
20.(本小题12分)
设fx=x2+1-ax-a．
(1)若不等式fx≥-16对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式fx<0a∈R．
21.(本小题12分)
高速公路管理局为提高国庆期间高速路上的车辆通行能力，研究了车流速度v(单位：千米/小时)和车流密度x(单位：辆/千米)所满足的关系式：v=100,0(1)若车流速度v不小于90千米/小时，求车流密度x的取值范围；
(2)车流量y(单位时间内近过的车辆数，单位：辆/小时)满足y=x⋅v，求国庆期间高速路上车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当年流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米).(参将数据： 5≈2.236)
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点Aa,b，若函数y=fx满足：∀x∈a-1,a+1，都有y∈b-1,b+1，则称这个函数是点A的“界函数”．
(1)若函数y=x是点Aa,b的“界函数”，求a,b需满足的关系；
(2)若点Bm,n在函数y=-12x2的图象上，是否存在m使得函数y=-12x2是点B的“界函数”?若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】利用集合的交集运算即可得解．
解：因为 A=2,3,4,B=1,2,3 ，
所以 A∩B=2,3 ．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】【分析】利用充分与必要条件的概念，分别判断其是否成立即可得解．
解：当 a>4 时，则 a2>16 ，即充分性成立；
当 a2>16 时，取 a=-5 ，显然 a>4 不成立，即必要性不成立．
所以“ a>4 ”是“ a2>16 ”的充分不必要条件．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据全称命题的否定分析判断．
解：根据全称命题的否定是特称命题可知： ¬p 是 ∃x0∈R,x02+x0+2≤0 ．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查集合的子集，属于容易题．
根据A⊆B，四个选项逐一代入即可判断．
【解答】
解：对于A、若a=2，此时A={0,-2}，B={1,0,2}，不满足题意;
对于B、若a=1，此时A={0,-1}，B={1,-1,0}，满足题意．
对于C、若a=23，此时A={0,-23}，B={1,-43,-23}，不满足题意．
对于D、若a=-1，此时A={0,1}，B={1,-3,-4}，不满足题意．
故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
利用基本不等式，即可求解．
【解答】
解：∵x>0，y>0，x+y=4，
∴xy≤(x+y2)2=4，
∴xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，
故xy的最大值为4，
故本题选B．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据抽象函数定义域结合根式运算求解．
解：由题意可得 00 ，解得 5所以 gx=fx-4 x-5 的定义域为 5,6 ．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】【分析】由单调性可直接得到 2m-3>-m ，解不等式即可求得结果．
解： ∵fx 在 R 上单调递增， f2m-3>f-m ， ∴2m-3>-m ，解得： m>1 ，
∴ 实数 m 的取值范围为 1,+∞ ．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】【分析】将函数解析式化为 fx=1+xx2+1 ，令 gx=xx2+1 ，判断 gx 的奇偶性，然后利用函数的奇偶性求解即可．
解： fx=x2+x+1x2+1=x2+1x2+1+xx2+1=1+xx2+1 ，
令 gx=xx2+1 ，则其定义域为 R ，又 g-x=-x-x2+1=-xx2+1=-gx ，
所以 gx=xx2+1 为奇函数，则 gxmax+gxmin=0 ，
所以 fxmax+fxmin=gxmax+1+gxmin+1=2 ，则 M+N=2 ．
故选：B．
9.【答案】AD
【解析】【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解．
解：对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确；
对于B选项，例如： 0>-1 ， 0>-1 ，但是 0×0<-1×-1 ，所以B错误；
对于C选项，当 c=0 时， ac2=bc2 ，所以C错误；
对于D选项，因为 a>b>0 ，所以 0<1a<1b ，又 c<0 ，所以 ca>cb ，所以D正确．
故选：AD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数，从而得解．
解：对于选项A，因为 fx=x0=1(x≠0) ， gx=1(x≠0) ，
所以两个函数的定义域均为 xx≠0 ，且对应关系也相同，
所以是同一个函数，故A正确；
对于选项B，因为 fx=2x+1x∈Z ， gx=2x-1x∈Z 两个函数的对应关系不相同，
所以不是同一个函数，故B错误；
对于选项C，因为 fx= x2-9 的定义域为 -∞,-3∪3,+∞ ，
gx= x+3⋅ x-3 的定义域为 3,+∞ ，
所以两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故C错误；
对于选项D，因为 fx=x2-2x-1 ， gt=t2-2t-1
所以两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确．
故选：AD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】利用拼凑法变形 a+4a-1=a-1+4a-1+1 ，再利用基本不等式求出最小值，即可得出答案．
解：因为 a>1 ，所以 a-1>0 ，
则 a+4a-1=a-1+4a-1+1 ≥2 a-1⋅4a-1+1=5 ，
当且仅当 a-1=4a-1 ，即 a=3 时，等号成立，
所以观察选项，知 a+4a-1 的取值可以是 5,6,7 ，即BCD正确，A错误．
故选：BCD．
12.【答案】AB
【解析】【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数与二次函数的单调性即可得解．
解：依题意，当 x<4 时， fx=ax-8 为增函数，则 a>0 ，
当 x≥4 时， fx=x2-2ax=x-a2-a2 为增函数，则 a≤4 ，
又 fx 为增函数，则 a×4-8≤42-2a×4 ，解得 a≤2 ，
综上： 0故选：AB．
13.【答案】8
【解析】【分析】根据题意，结合补集、并集的定义求得 ∁UB∪A ，从而得出它的元素个数，进而即可求解．
解：由题意得 ∁UB=3,5 ，则 ∁UB∪A=1,3,5 ，共有3个元素，
所以 ∁UB∪A 的子集个数为 23=8 个．
故答案为：8．
14.【答案】m≤2 或 m≥3
【解析】【分析】利用二次函数的单调性直接列式计算作答．
解：因为 y=x2-2mx+3 的对称轴为 x=m ，且开口向上，
又函数 y=x2-2mx+3 在区间 2,3 上具有单调性，
所以 m≤2 或 m≥3
故答案为： m≤2 或 m≥3 ．
15.【答案】8
【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
解：因为 x+y=2 ， x>0,y>0 ，
所以 1x+9y=12(x+y)1x+9y=12yx+9xy+10≥122 yx⋅9xy+10=8 ，
当且仅当 yx=9xy ，即 x=12,y=32 时，等号成立，即 1x+9y 的最小值为8．
故答案为： 8 ．
16.【答案】1；2
【解析】【分析】根据表格中的数据可计算出 fg1 的值，将 x=1 或 2 或 3 代入不等式 fgx>gfx 验证即可得出原不等式的解集．
解：由表格中的数据可知， fg1=f3=1 ，
因为 fg1=f3=1 ， gf1=g1=3 ，则 fg1fg2=f2=3 ， gf2=g3=1 ，则 fg2>gf2 ，
fg3=f1=1 ， gf3=g1=3 ，则 fg3故不等式 fgx>gfx 的解集为 2 ．
故答案为： 1 ； 2 ．
17.【答案】解：(1)因为 a=-2 ，所以 A=x-3≤x≤-1 ，又 B=xx≤-2 或 x≥3 ．
所以 A∩B=x-3≤x≤-2
(2)因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以 a+1≤-2 或 a-1≥3 ，解得： a≤-3 或 a≥4 ，
故实数a的取值范围是 -∞,-3∪4,+∞ ．

【解析】【分析】(1)利用交集概念及运算即可得到结果；
(2)因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果．
18.【答案】解：(1)∵A={x|0≤x≤2}，∴∁RA={x|x<0或x>2}，
若(∁RA)∪B=R，
则3-2a≥aa≤03-2a≥2，即a⩽0，
∴实数a的取值范围是(-∞,0]．
(2)若A∩B=B，则B⊆A，
当B=⌀时，则3-2a1,
当B≠⌀时，a≤1,
∴当B⊆A,则a≥03-2a≤2 ，得a∈[12,1]，
综上，a的取值范围为a∈[12,+∞)．
【解析】本题考查了集合的混合运算以及集合关系中的参数取值问题，属于中档题．
(1)由补集的定义可先求出∁RA，根据(∁RA)∪B=R，可得关于a的不等式组，解之即可；
(2)若A∩B=B，则B⊆A，分B=⌀与B≠⌀两种情况讨论，可得答案．
19.【答案】解：(1)∵f(x)= 2x-1x+1 ，∴x+1≠0，∴x≠-1，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}．
(2)∵f(x)= 2x-1x+1 =2- 3x+1 ，∴函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈(-1,+∞)，且x1∵-10，∴x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)(3)∵函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数，
∴f(x)在x∈[3,5]上单调递增，
∴函数f(x)在x∈[3,5]上的最大值为f(5)=2- 35+1 = 32 ，最小值为f(3)=2- 33+1 = 54 ．

【解析】【分析】(1)根据函数f(x)有意义，列出不等关系求解即可；
(2)先分离常数转化函数为f(x)= 2x-1x+1 =2- 3x+1 ，根据反比例函数的单调性判断函数单调性，再利用定义证明即可；
(3)结合(2)中函数单调性求解即可
20.【答案】解：(1)由不等式 fx≥-16 对一切实数 x 恒成立，
即 x2+1-ax-a+16≥0 对一切实数 x 恒成立，
则 Δ=1-a2-4-a+16≤0 ，解得 -9≤a≤7 ，
所以实数 a 的取值范围为 -9,7 ．
(2)由 x2+(1-a)x-a=(x-a)(x+1)<0 ，
则当 a<-1 时，不等式的解集为 (a,-1) ；
当 a=-1 时，不等式的解集为 ⌀ ；
当 a>-1 时，不等式的解集为 (-1,a) ．

【解析】【分析】(1)根据题意转化为 x2+1-ax-a+16≥0 对一切实数 x 恒成立，再根据二次函数的图象和性质即可求解；
(2)分类讨论法求一元二次不等式的解集．
21.【答案】解：(1)由题意知当 x=110 (辆/千米)时， v=0 (千米/小时)，
又 v=100,0所以代入 v=150-k160-x ，得 0=150-k160-110 ，解得 k=7500 ，
所以 v=100,0当车流速度 v 不小于90千米/小时，即 v≥90 ，
显然当 0当 10综上： 0所以车流密度 x 的取值范围为 0,35 ．
(2)由题意得 y=100x,0当 0当 10y=150x-7500x160-x=150160-t-7500160-tt=-150t+1200000t+31500
≤-2 150t×1200000t+31500=31500-12000 5≈31500-12000×2.236=4668 ，
当且仅当 150t=1200000t ，即 t=40 5≈40×2.236=89.44 ， x≈160-89.44≈71 时，等号成立，
综上：当 x=71 辆/千米时，车流量 y 取得最大值 4668 辆/小时．

【解析】【分析】(1)将 x=110 ， v=0 代入函数第二段，求得 k 值，再利用分类讨论解 v≥90 即可得解；
(2)由题意写出 y=100x,022.【答案】解：(1)由函数y=x是点Aa,b的“界函数”，且函数为增函数，
当∀x∈a-1,a+1时，值域为[a-1,a+1]，
因为y∈b-1,b+1，
所以[a-1,a+1]⊆[b-1.b+1]，
∴b-1≤a-1a+1≤b+1,
∴a=b．
(2)∵B(m,n)在函数y=-12x2的图象上，
∴n=-12m2，
∴∀x∈[m-1,m+1]，都有y∈[-12m2-1,-12m2+1]，
①m+1≤0，即m≤-1时，y=-12x2在[m-1,m+1]上单调递增，
∴y∈[-12(m-1)2,-12(m+1)2]，
∴[-12(m-1)2,-12(m+1)2]⊆[-12m2-1,-12m2+1]，
∴-12(m-1)2≥-12m2-1-12(m+1)2≤-12m2+1，解得m≥-12，又m≤-1，
∴这种情况不合题意；
②m+1>0m-1<0，即-1由x∈[m-1,m+1]可得y∈[-12(m-1)2,0]或y∈[-12(m+1)2,0]，
∴[-12(m-1)2,0]⊆[-12m2-1,-12m2+1]且[-12(m+1)2,0]⊆[-12m2-1,-12m2+1]，
∴-12(m-1)2≥-12m2-1-12(m+1)2≥-12m2-1-12m2+1≥0，解得-12≤m≤12;
③m-1≥0，即m≥1时，y=-12x2在[m-1,m+1]上单调递减，
∴y∈[-12(m+1)2,-12(m-1)2]，
∴[-12(m+1)2,-12(m-1)2]⊆[-12m2-1,-12m2+1]，
∴-12(m+1)2≥-12m2-1-12(m-1)2≤-12m2+1，解得m≤12，又m≥1，
∴这种情况不合题意．
综上得，m的取值范围是[-12,12]．

【解析】本题主要考查函数新定义问题，以“界函数”为背景，实质是考查不等式恒成立问题．
(1)根据“界函数”的定义进而即可求解；
(2)利用二次函数的特征，可把不等式恒成立问题转化为参数所需满足的不等式组，解不等式组，即可得参数的取值范围．x
1
2
3
fx
1
3
1
gx
3
2
1