2024青岛莱西高一上学期11月期中考试数学含解析

这是一份2024青岛莱西高一上学期11月期中考试数学含解析，共22页。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则等于（ ）
A B. C. D.
2. 已知函数是定义在R上的函数，命题p：“函数的最小值为3”，则是（ ）
A. 对任意，都有
B. 存在，使得
C. 对任意，都有
D. “‘存，使得’或 ‘对任意，都有’”
3. 如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（ ）
A. m，n是奇数且B. m是偶数，n是奇数，且
C. m是偶数，n是奇数，且D. m，n是偶数，且
4. 若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
7. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ）
A 16小时B. 20小时C. 24小时D. 28小时
8. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A. B. C. 2021D. 0
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选锗的得0分．
9. 若非空集合M，N，P满足：，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 狄利克雷函数是一个经典函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. ，
C.
D. 对任意，都存在，
12. 已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（ ）
A. B. 1C. 2D. 0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.
14. 李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____________元．
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_________
15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；②在单调递增；③是偶函数．
16. 已知，，设不等式的解集为，则不等式的解集为______．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知（）．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，有实数解，求a的范围．
18. 已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，不等式的解集为A，不等式的解集为B．
（1）求，
（2）已知，正数a，b满足，求的最小值．
19. 已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合．
（1）设a为实数，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1}，且C⊆（A∩B），求a的取值范围：
（2）设m为实数，集合，若x∈（A∪B）是x∈D的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由．
20. 已知函数（）
（1）判断函数在内的单调性，并证明你的结论；
（2）是否存在m，使得为偶函数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
21. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间的表达式：讨论的单调性，说明其实际意义并结合实际意义给出合理建议．
22. 设函数的定义域是，且对任意的正实数x、y都有恒成立，已，且时，
（1）求与的值；
（2）求证：函数在上单调递减；
（3）解不等式2023-2024学年度高一学业水平阶段性检测一
数学试题
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的性质求值域可得集合，根据函数定义域求解一元二次不等式得集合，再根据并集的概念运算即可.
【详解】由于函数在上递增，所以当时，，即
又函数的定义域满足，解得，故，
所以.
故选：C.
2. 已知函数是定义在R上的函数，命题p：“函数的最小值为3”，则是（ ）
A. 对任意，都有
B. 存在，使得
C. 对任意，都有
D. “‘存在，使得’或 ‘对任意，都有’”
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定即可求解.
【详解】命题p：“函数的最小值为3”是一个全称命题，故其否定是一个特称命题.
所以是函数的最小值不是3，即“存在，使得”或“对任意，都有”.
故选：D.
3. 如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（ ）
A. m，n是奇数且B. m是偶数，n是奇数，且
C. m是偶数，n是奇数，且D. m，n是偶数，且
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案.
【详解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增，
故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数.
故选：B
4. 若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数性质运算求解即可
【详解】因为函数开口向上，对称轴为，
若函数在区间上是增函数，
则，所以，故实数的取值范围是；
故选：A．
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到函数偶函数，且当时，，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，且，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，
又由时，，结合选项，只有B项符合题意.
故选：B.
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由函数的定义域得函数的定义域，从而进一步可求出函数的定义域.
【详解】函数的定义域为，易知是增函数，时，.
所以函数的定义域为.
于是函数的定义域为，即.
故选：C.
7. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ）
A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 28小时
【答案】C
【解析】
【分析】将两组数据代入解析式可得，，当时，利用指数函数的运算即可得到保鲜时间.
【详解】由已知得①，②，
将①代入②得，则．
当时，，
所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时，
故选：C．
8. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A. B. C. 2021D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件先求解出的值，然后分析的取值特点，从而求解出结果.
【详解】因为为偶函数，所以，所以，
所以且不恒为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
又因为，
所以，
故选：A.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选锗的得0分．
9. 若非空集合M，N，P满足：，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据交集、并集运算的结果得到，然后再逐项进行判断.
【详解】因为，，所以，所以，
对于A：因为，所以，故正确；
对于B：因为，所以不一定成立，故错误；
对于C：因为，所以，故正确；
对于D：因为，，所以，故正确；
故选：ACD.
10. 若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断.
【详解】A：因为，所以，故正确；
B：因为，其中的正负无法确定，故错误；
C：因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，故正确；
D：因为，所以，又因为，所以，故正确；
故选：ACD.
11. 狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. ，
C.
D. 对任意，都存在，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定的函数求函数值域，判断奇偶性，求函数值逐项判断即可．
【详解】当，则，所以，
当，则，所以，
又的定义域为，故是偶函数，故A正确；
由函数的值域是,知道，0,，
所以，，故B正确；
由，所以，所以，
，所以，所以，
所以，故C错误；
因为，所以当时，，
当时，，，故对任意，都存在，，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（ ）
A. B. 1C. 2D. 0
【答案】BC
【解析】
【分析】结合函数奇偶性得到，题目条件变形后得到，令，则在上单调递增，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出，得到答案.
【详解】①中将换为得，，
又是奇函数，是偶函数，所以，
故②，①＋②得，，
对于任意，都有，
故，即，
令，则在上单调递增，
若，则，不满足在上单调递增，舍去，
若，则要满足，解得，
故AD错误，BC正确.
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.
【答案】2或4
【解析】
【分析】对于的任一取值，分别计算和的值若两个值相等，则为正确的值.
【详解】当时，，不合题意.当时，，符合题意.当时，，不合题意.当时，，符合题意.故填或.
【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题.
14. 李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____________元．
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_________
【答案】 ①. 90 ②. 10
【解析】
【分析】（1）根据题意可得顾客需要支付的费用；
（2）设是总价，据题意，在时，列出不等式，解之可得，注意分类讨论．
【详解】（1）顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，由草莓40元/盒，西瓜60元/盒，
得总价为元.
因为一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付10元，所以支付元（元）；
（2）设订单总价为，
若，没有优惠，符合题意；
若，则，，而，
所以，最大值为．
故答案为：（1）90；（2）10.
15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；②在单调递增；③偶函数．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据性质①②③找出符合题意的一个.
【详解】由性质②在单调递增；③是偶函数，
可以取二次函数，经检验，对性质①也符合.
故答案为：（答案不唯一）
16. 已知，，设不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】或
【解析】
【分析】利用韦达定理可得a、b、c、d的关系，代入目标不等式求解可得.
【详解】由题知，为方程的两根，
因为
所以
所以
解方程得，
因为，所以不等式的解集为或.
故答案为：或
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知（）．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，有实数解，求a范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入得，再代入不等式移项通分，进而解分式不等式得到答案.
（2）由题意得，令，进而利用单调性和不等式的性质求的值域，于是得到a的范围.
【小问1详解】
当时，.
代入原不等式：，即，
移项通分，解得.
∴原不等式的解集为
【小问2详解】
由于在上有解，
所以，
即求在值域，
由于在单调递增，所以，
于是，即.
所以．
18. 已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，不等式的解集为A，不等式的解集为B．
（1）求，
（2）已知，正数a，b满足，求的最小值．
【答案】（1），
（2）5
【解析】
【分析】（1）根据一元一次不等式得集合，由一元二次不等式可得集合，再根据集合的并集及补集与交集的运算即可；
（2）根据集合与元素的关系可得，再利用基本不等式即可得最值.
【小问1详解】
不等式，解得，即，
，解得，即，
所以，
由于或，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
因为，，所以，
，
当且仅当即，时，
取得最小值，最小值为5．
19. 已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合．
（1）设a为实数，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1}，且C⊆（A∩B），求a的取值范围：
（2）设m为实数，集合，若x∈（A∪B）是x∈D的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在；.
【解析】
【分析】（1）根据解绝对值不等式的公式，结合分式的性质、交集的定义、子集的性质进行求解即可；
（2）根据必要不充分条件的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【小问1详解】
，
所以，，所以，
（1）由已知得，
①时，，此时满足题意；
②时，，要满足题意需
综上所述，a取值范围是；
【小问2详解】
由已知得，由题意得D是的真子集
，
所以，
要满足题意需（等号不同时成立）
答：满足条件的m存在，取值范围是．
20. 已知函数（）
（1）判断函数在内的单调性，并证明你的结论；
（2）是否存在m，使得为偶函数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）函数在内单调递减，证明见解析
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）结合指数运算利用单调性定义证明单调性即可；
（2）根据偶函数的定义列方程求解即可得m的值.
【小问1详解】
函数在内单调递减，理由如下：
任取，，且
则
由于，可得，
所以，，，
所以，即，
所以当m取任意实数时，函数在内单调递减
【小问2详解】
假设存在m，使得函数为偶函数，的定义域为，
所以由，即，即，
可得，解得
因此，存在，使得为偶函数
21. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间的表达式：讨论的单调性，说明其实际意义并结合实际意义给出合理建议．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列不等式求解即可得答案；
（2）根据实际意义得函数的表达式，再根据分段函数确定函数单调性即可得结论.
【小问1详解】
由题意得且．
化简得，即．
所以或．
综上所述，当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．
【小问2详解】
①若，则．
②若，则．
所以．
当时，单调递减；所以
当时，的对称轴为，
所以单调递减且，单调递增．
综上所述，单调递减，单调递增
即：当S中的自驾人数比例在时，人均通勤时间随着成员自驾的比例增加而减少；当S中的自驾人数比例在时，人均通勤时间随着成员自驾比例增加而增加，当S中32.5%的成员自驾时，该地上班族S的人均通勤时间达到最小值36.875分钟．实际意义是：自驾人数在一定范围内增加时，交通顺畅；当随着范围进一步增加，交通拥堵，导致通勤时间增多．所以，对该地区要限制自驾人数．
22. 设函数的定义域是，且对任意的正实数x、y都有恒成立，已，且时，
（1）求与的值；
（2）求证：函数在上单调递减；
（3）解不等式
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据抽象函数的性质结合，采用赋值法求解与的值即可；
（2）设，则，根据时，可得的符号，从而证得单调性；
（3）结合抽象函数的性质将不等式转化为，结合单调性解不等式即可得的取值集合.
【小问1详解】
令，，则，故
令，则可得，
令，得，
【小问2详解】
设，则
即，
∵，故，
即，故在上单调递减
【小问3详解】
由于，
所以
所以，即．
因为在上单调递减，
所以，解得或，
所以不等式的解为：.x
1
2
3
4
f(x)
1
3
1
3
g(x)
3
2
3
2
x
1
2
3
4
f(x)
1
3
1
3
g(x)
3
2
3
2