专题1.1 集合的概念与运算-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练

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知识点总结
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
常用结论
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
典型例题分析
考向一 集合的基本概念
典例一
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
2.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B为________.
感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
考点二 集合间的基本关系
典例二
1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(x－4,x＋5)≤0))，则集合A，B，C的关系为( )
A.B⊆A B.A＝B
C.C⊆B D.A⊆C
2. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________.
感悟提升 1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
考向三 集合间的基本运算
典例3
1.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A.∅ B.S C.T D.Z
2.设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝eq \r(x2－1)}，则A∩(∁RB)＝( )
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C.∅ D.{x|0＜x＜2}
3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
考向四 Venn图的应用
在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.
典例四
1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
2.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人.
基础题型训练
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合,,则
A．B．
C．D．
5．设关于x的不等式的解集为A，且，，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．对于集合A，B，“”不成立的含义是
A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A
二、多选题
7．下列关系式正确的为（ ）
A．B．
C．D．
8．（多选）若集合，，则集合或（ ）
A． B．
C．D．
三、填空题
9．已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则__________．
10．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为___________.
11．满足，且的集合的个数是_____________.
12．若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数的最小值是____.
四、解答题
13．已知集合，，若，求实数的值.
14．已知全集，,
(1)；
(2)求.
15．若，且A∪B=A，求由实数a的值组成的集合．
16．集合是由形如的数构成的，试分别判断，，与集合的关系.
提升题型训练
一、单选题
1．满足条件的集合的个数为
A．6个B．7个C．8个D．9个
2．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a的值是( )
A．2B．8C．-2或8D．2或8
3．已知集合，，全集，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．设集合,,若,则（ ）
A．-1B．1C．-1或1D．0
5．已知集合，，则
A．B．C．D．
6．设集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
7．集合A，B，C满足，则成立的等式是（ ）．
A．B．
C．D．
8．对于集合，，定义，，设，，则
A．B．
C．D．
9．已知集合，若且集合中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（ ）．
A．1B．3C．6D．10
10．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足:（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”例如:是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合类”的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
二、多选题
11．已知集合，．若，则实数m的值为（ ）
A．0B．1C．-3D．3
12．已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
13．给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（ ）
A．集合为闭集合；
B．集合为闭集合；
C．集合为闭集合；
D．若集合为闭集合，则为闭集合．
14．设非空集合满足：当时，有，给出如下四个命题，其中真命题是（ ）
A．若，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，则
三、填空题
15．关于的方程的解集为______．
16．已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为______.
17．定义有限数集中的最大元素与最小元素之差为的“长度”，如：集合的“长度”为3，集合的“长度”为0.已知集合，则的所有非空子集的“长度”之和为_________.
18．设集合是小于5的质数，则的真子集的个数为______，的非空真子集的个数为______.
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}