专题4.3 三角函数的图象与性质-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练

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知识点总结
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cs(α－β)＝ ；
(2)公式C(α＋β)：
cs(α＋β)＝ ；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝ ；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝ ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
2.辅助角公式
asin α＋bcs α＝ ，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
[常用结论]
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan（α＋β）)＝eq \f(tan α－tan β,tan（α－β）)－1.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ .
(2)公式C2α：cs 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式T2α：tan 2α＝ .
[常用结论]
1.降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).
2.升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
4.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)， ，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))， ，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
5.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
[常用结论]
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.
典型例题分析
考向一 公式的基本应用
例1 (1)若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A.eq \f(7\r(2),10) B.－eq \f(7\r(2),10)
C.－eq \f(\r(2),10) D.eq \f(\r(2),10)
答案 B
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，
且sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝－eq \f(3,5)，
因此，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋cs αsin eq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
(2)已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A.－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11)
C.eq \f(11,2) D.－eq \f(11,2)
答案 A
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)，
又tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tan β＝－eq \f(1,2)，
∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)＝eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))))＝－eq \f(2,11).
感悟提升 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
考向二 给值求值
例2 (1)(2023·淄博模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，且eq \r(2)cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，则sin 2α＝( )
A.－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4)
C.－1 D.1
答案 C
解析 ∵eq \r(2)cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sin α＋cs α)，
∴cs2α－sin2α＝(cs α＋sin α)(cs α－sin α)＝eq \f(1,2)(cs α＋sin α)，
∴(cs α＋sin α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α－sin α－\f(1,2)))＝0，
∴cs α＋sin α＝0或cs α－sin α＝eq \f(1,2)，
由cs α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0，
即sin 2α＝－1，
由cs α－sin α＝eq \f(1,2)平方可得1－sin 2α＝eq \f(1,4)，
即sin 2α＝eq \f(3,4)，
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
所以2α∈(－π，0)，sin 2α＜0，
综上，sin 2α＝－1.
(2)(2021·全国甲卷)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，则tan α＝( )
A.eq \f(\r(15),15) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(15),3)
答案 A
解析 因为tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)，
且tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，
所以eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)＝eq \f(cs α,2－sin α)，解得sin α＝eq \f(1,4).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \f(\r(15),4)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\r(15),15).
感悟提升 给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
基础题型训练
一、单选题
1．已知x∈[0，2π]，如果y = csx是增函数，且y = sinx是减函数，那么（ ）
A．B．
C．D．
2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （ ）
A．B．y=tan x
C．y=lnxD．y=x|x|
3．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（ ）
A．y＝xcsxB．y＝sinx－x2C．D．y＝sinx＋x
4．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为（ ）
A．3B．6C．12D．24
5．在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间上的增函数又是以为周期的偶函数( )
A．B．
C．D．
6．已知函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数是偶函数
B．函数的最小正周期为
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象关于直线对称
二、多选题
7．若函数的最小正周期为，则的值可能是（ ）
A．2B．C．D．-2
8．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．该函数的其中一个周期为
B．该函数的图象关于直线对称
C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象
D．该函数在区间上单调递减
三、填空题
9．函数的最小正周期为，则______.
10．函数的最小正周期是，则______.
11．若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______.
12．函数的局部图象如图所示，则该函数的解析式为________.
四、解答题
13．求下列函数的最小正周期．
（1）f(x)＝cs；
（2）y＝4sin (a≠0)．
14．利用“五点法”作出函数，的简图．
15．函数的一个零点为，其图象距离该零点最近的一条对称轴为．
（1）求函数的解析式及函数的对称中心；
（2）若关于x的方程在区间上总有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．
16．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最值.
提升题型训练
一、单选题
1．下列函数不是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图是函数的部分图像，则（ ）．
A．B．
C．D．
4．设函数在区间上恰好有条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( )
A．B．
C．D．
6．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．已知函数的最小正周期为π，则（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．函数在上单调递减
D．直线是图象的一条对称轴
8．设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．为偶函数，则___________.（写出一个值即可）
10．设点是的图像的一个对称中心，若到图像的对称轴的距离的最小值是，则的最小正周期是_________.
11．给出下列四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是________.
12．已知函数，设方程的根从小到大依次为，且，则___________.
四、解答题
13．已知是以为周期的偶函数，且时，，当时，求的解析式．
14．已知函数（其中，，,）的部分图象如图所示．
(1)求，，的值；
(2)求的单调增区间.
15．已知向量，，函数.
（1）求图象的对称中心；
（2）若动直线与函数和函数的图象分别交于、两点，求线段的长度的取值范围.
16．已知函数的最小值为.最大值为4，求a和b的值．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1，1]
最小正周期
π
奇偶性
奇函数
奇函数
递增区间
递减区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))
无
对称中心
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
无