专题6.3 等比数列-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练

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知识点总结
1．等比数列的有关概念
2.等比数列的前n项和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
典型例题分析
考向一 等比数列基本量的运算
1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12 C．6 D．3
解析：选D 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝168，,a2－a5＝42，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q3,1－q)＝168，,a1q1－q3＝42，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝96，,q＝\f(1,2)，))所以a6＝a1q5＝3，故选D.
2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则lg2a4的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选C 根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝eq \f(a11－27,1－2)＝1 016⇒a1＝8，则a4＝8×23＝26⇒lg2a4＝lg226＝6.故选C.
3．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝eq \f(7,2)a2，则S4＝______.
解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3＝eq \f(7,2)a2得，a1＋a2＋a3＝eq \f(7,2)a2，即1＋q2＝eq \f(5,2)q，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)，∵{an}是递增数列，∴q＝2，∴S4＝eq \f(1－24,1－2)＝24－1＝15.
答案：15
方法总结
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
考向二 等比数列的判定或证明
[典例] 已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*，
∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，
∵a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，∴a2－a1＝eq \f(1,2)，
∴数列{an＋1－an}是以eq \f(1,2)为首项，4为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1－an＝eq \f(1,2)×4n－1＝22n－3，
当n≥2时，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\f(1,2)1－4n－1,1－4)＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)
当n＝1时，a1＝eq \f(1,3)(2－1＋1)＝eq \f(1,2)满足上式．
所以，an＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)(n∈N*)．
[方法技巧] 等比数列的判定方法
考向三 等比数列的性质
[典例] (1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为( )
A．πeq \r(π) B．－πeq \r(π) C．±πeq \r(π) D．π3
(2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝( )
A．6 B．5
C．4 D.eq \f(1＋lg35,2)
[解析] (1)在等比数列{an}中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以a2a8＝π＝aeq \\al(2,5)，所以a5＝±eq \r(π)，所以a3a5a7＝aeq \\al(3,5)＝±πeq \r(π).故选C.
(2)lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝lg9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝lg995＝5.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
基础题型训练
一、单选题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若，且{an}是等比数列，则m＝（ ）
A．0B．3C．4D．6
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”则此人第天走了（ ）
A．里B．里C．里D．里
3．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．已知数列的前项和，则确定的最大正整数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，则( )
A．，，成等差数列B．，，成等差数列
C．，，成等比数列D．，，成等比数列
三、填空题
9．等比数列中，，，则__________
10．等比数列为非常数数列，其前项和是，当时，则公比的值为_____．
11．在递增的等比数列中，，，则________．
12．已知数列的前n项和为（其中t为常数），若为等比数列，则t=___________
四、解答题
13．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.
14．已知数列满足，．
(1)证明：存在等比数列，使；
(2)若，求满足条件的最大整数．
15．已知等差数列的公差，且，的前项和为.
（1）若、、成等比数列，求的值.
（2）令，求数列的前项和．
16．已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.
提升题型训练
一、单选题
1．已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）
A．40B．120C．121D．363
2．记等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．180B．160C．210D．250
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50B．100C．146D．128
4．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40B．60C．32D．50
5．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
6．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（ ）．
A．5B．512
C．1024D．64
二、多选题
7．记为数列的前n项和，若，且，，成等比数列，则（ ）
A．为等差数列B．
C．，，成等比数列D．有最大值，无最小值
8．以下关于数列的结论正确的是（ ）
A．若数列的前n项和，则数列为等差数列
B．若数列的前n项和，则数列为等比数列
C．若数列满足，则数列为等差数列
D．若数列满足．则数列为等比数列
三、填空题
9．若等比数列的前n项的和为，且满足，，则=__________.
10．已知为等比数列的前项和，，，则的值为______．
11．正项等比数列的前项和为，若，则________.
12．已知数列满足，，则满足不等式的的值为___________.
四、解答题
13．设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
14．设等比数列的前项和为，公比，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
15．在数列和等比数列中，，，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
16．已知等差数列的前n项和为，，．数列满足．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列
通项公式
设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
注意
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可