专题8.4 空间直线、平面的垂直-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练

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知识点总结
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线a与平面α垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 ；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3.二面角
(1)定义：一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫作二面角.
(2)二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.两个平面垂直
(1)两个平面垂直的定义
一般地，如果两个平面所成的二面角是 ，那么就说这两个平面互相垂直.
(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理
[常用结论]
1.三个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
2.三种垂直关系的转化
线线垂直eq \(,\s\up9(判定定理),\s\d7(性质))线面垂直eq \(,\s\up9(判定定理),\s\d7(性质定理))面面垂直
典型例题分析
考向一 直线与平面垂直的判定与性质
1 (2023·镇江八校联考)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
感悟提升 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
考向二 平面与平面垂直的判定与性质
2 如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.
感悟提升 1.面面垂直判定的两种方法与一个转化
(1)两种方法：
面面垂直的定义；
面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).
(2)一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
2.面面垂直性质定理的应用
(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.
3. (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
(1)证明：EF∥平面ABCD；
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
考向三 平行、垂直关系的综合应用
4. 如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq \f(BM,BS)的值；若不存在，请说明理由.
感悟提升 1.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行，垂直性质及判定的综合应用.
2.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
3.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.
5.(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是( )
A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PAB
C.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC
6.(2023·长沙调研)如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角△ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是( )
A.CD⊥AB B.BC⊥AD
C.BD⊥AB D.BC⊥CD
7.(多选)(2023·青岛质检)四棱台ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1⊥平面ABCD，则( )
A.直线AD与直线B1D1所成角为45°
B.直线AA1与直线CC1异面
C.平面ABB1A1⊥平面ADD1A1
D.CA1⊥AD
基础题型训练
一、单选题
1．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（ ）
A．若，，，则
B．若，，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
2．下列命题
①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直
④如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行
⑤圆锥的顶点与底面上任意一点的连线是圆锥的母线；
其中正确命题的是( )
A．①②③B．①②⑤C．①③D．②③⑤
3．已知a，b是两条直线，是一个平面，则下列判断正确的是（ ）
A．，，则 B．，，则
C．，，则D．，，，则
4．已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为
A．B．C．D．
5．在三棱锥中，平面，，，.三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ）
A．B．
C．D．
6．三棱锥底面是边长为的正三角形，，，两两成角相等，，，.则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知两个平面垂直，下列命题错误的有（ ）
A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线
C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
8．已知l，m，n为空间中三条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，l，m分别与，所成的角相等，则
C．若，，，若，则
D．若，，，则
三、填空题
9．已知点，，，在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为________．
10．把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面平面CBD.则空间四边形ABCD的对角线AC的长为__________.
11．如图为三棱锥的平面展开图，其中，，垂足为，则该三棱锥的体积为______．
12．在梯形中，，，，将沿对角线AC翻折到，连结MD．当三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为__________．
四、解答题
13．已知正方体ABCD-的棱长为2.
(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：.
14．在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：.
15．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面．
16．如图所示，四棱锥，底面为四边形，，，，平面平面，，，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若四边形中，，，为上一点，且，求三棱锥体积.
提升题型训练
一、单选题
1．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A．异面B．相交C．平行D．平行或异面
2．设、、表示不同的直线，、、表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若，且，则；
②若，，，则；
③若，且，则；
④若，，，则．
则正确的命题个数为
A．4B．3C．2D．1
3．下列结论正确的是（ ）
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直
C．过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线
D．若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行
4．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是
A．若与所成的角相等，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．等于90°的二面角内有一点，过有于点，于，如果，则到的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P-ABCD中，，点E为PB中点，若CE与PD所成的角余弦值为，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．B．与平面的法向量平行
C．D．平面的法向量和平面的法向量互相垂直
8．已知直线a，b，c两两异面，且，，下列说法正确的是（ ）
A．存在平面α，β，使，，且，
B．存在平面α，β，使，，且，
C．存在平面γ，使，，且
D．存在唯一的平面γ，使，且a，b与γ所成角相等
三、填空题
9．已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________．
10．如图，已知三棱锥的各棱长均为2，则平面和平面所成角的余弦值为：________．
11．已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列命题中正确的有_____．(填序号)
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC∥平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°.
12．与不共面的四点等距离的平面有___________个.
四、解答题
13．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P－ABC的体积V.
14．如图，在四棱锥中，，平面，，点为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
15．如图，在五面体中，四边形是矩形，平面，且，分别为的中点.
求证：（1）平面；
（2）平面.
16．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，分别是棱，的中点．
(1)证明：平面平面．
(2)若，，求点到平面的距离．
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥m,l⊥n,m∩n＝A,m⊂α,n⊂α))⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α