专题1.18 垂直平分线（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份专题1.18 垂直平分线（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共21页。

1、线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。
2、线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
单选题
1．（2019·广西梧州·统考中考真题）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．（2019·湖南郴州·统考中考真题）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·广东深圳·统考中考真题）如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
4．（2015·四川遂宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．（2015·福建三明·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC
6．（2012·湖北荆门·中考真题）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．3
7．（2019·吉林长春·统考中考真题）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B． C．D．
8．（2023·广东深圳·校联考二模）下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东临沂·统考二模）如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，求作一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙两人作法分别如下：
甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求.
乙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求.
对于甲、乙两人的作法，下列叙述正确的是( )
A．两人皆正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．两人皆错误
10．（2023·河南南阳·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=50°，∠B=35°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交BC于点D，连接AD．则∠DAC的度数为（ ）
A．85° B．70° C．60° D．25°
填空题
11．（2019·江苏南京·统考中考真题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____．
12．（2013·江苏泰州·中考真题）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为___cm．
13．（2018·四川南充·中考真题）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
14．（2014·广西钦州·中考真题）如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为_______．
15．（2018·四川泸州·中考真题）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为__．
16．（2011·广西南宁·中考真题）如图，在 RtABC中，∠B=90°．ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=30°，则∠C的度数为_________°
17．（2020·辽宁营口·统考模拟预测）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝18．分别以A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，过弧的交点作直线，分别交AB、AC于点D、E．若EC＝5，则△BEC的面积为_____．
18．（2014·河北·模拟预测）如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为________度．

解答题
19．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，在中，.
⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：；
⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数.
20．（2017·江苏连云港·中考真题）如图，已知等腰三角形中，，点,分别在边、上，且，连接、，交于点.
(1) 判断与的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：过点、的直线垂直平分线段.
21．（2019·甘肃兰州·统考中考真题）如图，，分别以为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点和，依次连接，连接交于点.
（1）判断四边形的形状并说明理由
（2）求的长.
22．（2019·山东济宁·统考中考真题）如图，点和点在内部．
（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
23．（2011·广东汕头·统考中考模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．求证：EF＝2DE．

24．（2019·河北·模拟预测）课本例题
已知：如图，AD是的角平分线，，，垂足分别为E、F．求证：AD垂直平分EF．
小明做法
证明：因为AD是的角平分线，，，所以
理由是：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．
因为，
所以AD垂直平分EF．
理由是：“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．
老师观点
老师说：小明的做法是错误的
请你解决
指出小明做法的错误；
正确、完整的解决这道题．
参考答案
1．B
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．
解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长是：．
故选B．
【点拨】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
2．C
【分析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．
解：由作图可知，EF垂直平分AB，
，故A选项正确；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项正确，
故选C．
【点拨】本题考查不基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．
3．A
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故选A．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
4．C
【分析】利用线段垂直平分线的性质证得AN=BN即可求解.
解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC=7（cm），
∴AN+NC+BC=7（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=7（cm），
又∵AC=4cm，
∴BC=7﹣4=3（cm）．
故选C．
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键.
5．D
【分析】根据题目描述的作图方法，可知MN垂直平分AB，由垂直平分线的性质可进行判断．
解：∵MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠BDE=90°，故A正确，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，故B正确，
∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，
∴∠A=∠BED，故C正确，
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．故D错误，
故选D．
【点拨】本题考查垂直平分线的性质，熟悉尺规作图，根据题目描述判断MN为AB的垂直平分线是关键．
6．C
解：解析：∵△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线，
∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ⊥BP，
∴BQ=BF•cs30°=2×=，
∵FQ是BP的垂直平分线，
∴BP=2BQ=2，
在Rt△BEF中，
∵∠EBP=30°，
∴PE=BP=．
故选C．
7．B
【分析】由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
解：∵且，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
故选B
【点拨】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
8．D
【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案．
解：A．由此作图可知CA=CP，不符合题意；
B．由此作图可知BA=BP，不符合题意；
C．由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意；
D．由此作图可知PA=PC，符合题意.
故选D．
【点拨】本题考查了基本作图的方法.熟悉基本几何图形的性质，并掌握基本几何作图是解题的关键.
9．A
【分析】甲：根据作图可得AB＝BP，利用等边对等角得：∠BAP＝∠APB，由平角的定义可知：∠BPC+∠APB＝180°，根据等量代换可作判断；
乙：利用角平分线的性质，作辅助线，证明Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），可得∠BAC+∠BPC＝180°，作判断即可．
解：甲：如图1，∵AB＝BP，
∴∠BAP＝∠APB，
∵∠BPC+∠APB＝180°
∴∠BPC+∠BAP＝180°，
∴甲正确；
乙：如图2，过P作PG⊥AB于G，作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，
∴PG＝PH，
∵PD是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），
∴∠BPG＝∠CPH，
∴∠BPC＝∠GPH，
∵∠AGP＝∠AHP＝90°，
∴∠BAC+∠GPH＝180°，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∴乙正确；
故选A．
【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质及基本作图．
10．C
【分析】根据内角和定理求得∠BAC=95°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=35°，从而得出答案．
解：在△ABC中，∵∠B=35°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=95°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=35°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=60°，
故选C．
【点拨】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
11．
【分析】证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，证明△ACD∽△ABC，得出AC:AB＝AD:AC，即可得出结果．
解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝3，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD＋BD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AD×AB＝2×5＝10，
∴AC＝
故答案为：．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．
12．6
解：解∵直线l垂直平分BC，
∴DB=DC．
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm，
故答案为：6cm
13．24
【分析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
解：∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点拨】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
14．m+n.
解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A=40°，∴AD=BD，∠A=∠ABD=40°.
∵∠DBC=30°，∴∠ABC=40°+30°=70°，∠C=180°﹣40°﹣40°﹣30°=70°.
∴∠ABC=∠C. ∴AC=AB=m.
∴△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n.
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定；3.三角形内角和定理．
15．18
【分析】如图作AH⊥BC于H,连接AD，由EG垂直平分线段AC推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
解：
∵EG垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
∵
∴AH=12
∵AB=AC,AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴
∴DF+DC的最小值为13
∴△CDF的周长最短=13+5=18.
故答案为18.
【点拨】本题考查的知识点是轴对称-最短路线问题, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，解题关键是学会运用轴对称，解决最短问题.
16．30
解：分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质，得到EA=EC，进而得到∠EAD=∠ECD，利用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质解答．
解答：解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=30°，
∴∠AEB=60°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=30°．
故答案为30．
17．30
【分析】由尺规作图得到MN为AB的垂直平分线，然后利用垂直平分线性质和勾股定理得到BC=12，所以S△BCE＝BC×CE＝×12×5＝30，
解：由作图可知，MN垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AC＝18，EC＝5，
∴AE＝BE＝13，
又∵∠C＝90°，
∴Rt△BCE中，BC＝
∴S△BCE＝BC×CE＝×12×5＝30，
故答案为30．
【点拨】本题考查直角三角形和尺规作图，能够知道MN是AB的垂直平分线是解题关键
18．108
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：如图，连接OB、OC，

∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°-∠BAC）=×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为108．
【点拨】本题考查了三角形综合题，涉及了角平分线的定义，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，三角形的外心，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
19．（1）见分析；（2）∠B=36°.
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案.
解：（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°，
解得x=36°，即∠B=36°.
【点拨】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.
20．(1)（2）证明见分析
试题分析：（1）根据全等三角形的判定SAS可证明△ABE≌△ACD，然后可得证；
（2）根据（1）的结论和等腰三角形的性质，可由线段垂直平分线的判定得证.
解：(1).
因为，，，所以.
所以.
(2)因为，所以.
由(1)可知，所以，所以.
又因为，所以点、均在线段的垂直平分线上，
即直线垂直平分线段.
考点：1、全等三角形的判定，2、线段垂直平分线的判定
21．（1）见分析（2）6
【分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD为菱形；
（2）根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，然后利用勾股定理计算出OB，从而得到BD的长
解：（1）由图可知，垂直平分，且
所以，四边形为菱形.
（2）因为且平分.
在中，
的长为6.
【点拨】此题考查菱形的判定，垂直平分线的应用，解题关键在于得到四边相等
22．（1）图见分析；（2）理由见分析.
【分析】（1）由垂直平分线性质可知点到点和点的距离相等即点P在MN的垂直平分线，由角平分线的性质可知两边的距离相等，即点P在∠AOB的角平分线上.分别作出MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为所求.
（2）根据作法即可说出理由.
解：（1）如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等；
（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【点拨】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
23．（1）见分析；（2）见分析．
【分析】（1）根据垂直平分线的做法即可画出（2）根据垂直平分线的性质与含30°角的直角三角形的性质即可证明.
解：（1）直线l即为所求．
分别以AB为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．作图正确．
（2）证明：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∠ABC＝60°．
又∵l为线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝30°，∠AED＝∠BED＝60°，
∴∠EBC＝30°＝∠EBA，∠FEC＝60°．
又∵ED⊥AB，EC⊥BC，
∴ED＝EC．
在Rt△ECF中，∠FEC＝60°，
∴∠EFC＝30°，
∴EF＝2EC，∴EF＝2ED．
【点拨】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知含30°的直角三角形的性质.
24．见分析；见分析.
【分析】小明证明不能说明AD垂直平分EF，只有再证明时，A也在EF的垂直平分线上，两点确定一条直线，才能得结论；
先利用角平分线性质得出；再证≌，易证AD垂直平分EF．
解：由，只能得D在EF的垂直平分线上，不能说AD垂直平分EF．
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
，又，
垂直平分到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和线段垂直平分线逆定理的应用，题目比较新颖，属于基础题，理解线段垂直平分线逆定理是关键．