专题2.3 轴对称图形与轴对称的性质（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份专题2.3 轴对称图形与轴对称的性质（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共20页。

【知识点1】轴对称图形
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
【知识点2】轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
【知识点3】轴对称与轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
一、单选题
1．（2023·广东深圳·统考中考真题）下列图形中，为轴对称的图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．（2022·山东威海·统考中考真题）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是( )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
4．（2021·河北·统考中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5
C．6 D．7
5．（2020·青海·统考中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·四川内江·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F处，BF交AD于点E．若∠BDC＝62°，则∠DEF的度数为（ ）
A．31° B．28° C．62° D．56°
7．（2019·台湾·统考中考真题）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为何？（ ）
A． B． C． D．
8．（2007·河南·中考真题）如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
9．（2012·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）

A．130° B．120° C．110° D．100°
10．（2008·浙江台州·中考真题）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）
A．对应点连线与对称轴垂直
B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分
D．对应点连线互相平行
二、填空题
11．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．

12．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ．
13．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿 方向射出，已知，，则 ．
14．（2015·四川内江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为 ．
15．（2012·江西·中考真题）在同一平面内，与关于直线m对称，与关于直线n对称，且有m//n，则可以通过一次 变换直接得到
16．（2011·贵州铜仁·中考真题）将一块直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，展开后平铺在桌面上（如图所示）．若∠C＝90°，BC＝8cm，则折痕DE的长度是 cm．
17．（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）如图，在的内部有一点P，点M、N分别是点P关于，的对称点，分别交，于，点，若的周长为，则线段的长为 ．
18．（2023·湖南永州·统考一模）如图，将三角形翻折，使得点A与点C重合，折痕交边于点D，交边于点E，如果，那么 度．
三、解答题
19．（2023·广东广州·模拟预测）如图，直线AD和CE是△ABC的两条对称轴，AD和CE相交于点O，OD与OE有什么数量关系？请说明理由．
20．（2021·浙江金华·统考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，若BD＝CD'．
（1）求证：△ABD≌△ACD'．
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．
21．（2017·浙江金华·统考一模）如图，中， ，将其折叠，使点落在边上处，折痕为 ，求 的度数．
22．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
23．（2022·河南郑州·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D为BC边上一点，将△ABD沿AD折叠，点B落在AC边上的点E处．
(1) 若∠C=30°，求证：△ADE≌△CDE；
(2) 对于任意一个直角三角形，能否按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形？请说明理由．
24．（2021·河北石家庄·统考一模）如图，已知在一张纸条上画有一条数轴．
（1）沿过原点且垂直于数轴的直线折叠纸条，则表示－3的点与表示___________的点重合；
（2）为数轴上一点，沿过点且垂直于数轴的直线折叠纸条，当表示－3的点与表示1的点重合时，
①点所表示的数为__________；
②若数轴上的，两点也同时重合，且，求点所表示的数．
参考答案
1．D
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．
2．C
【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
解：依题意，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．B
【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果．
解：连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示：
由图可得MN是法线，为入射角
因为入射角等于反射角，且关于MN对称
由此可得反射角为
所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键．
4．B
【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
解：连接，如图，
∵是P关于直线l的对称点，
∴直线l是的垂直平分线，
∴
∵是P关于直线m的对称点，
∴直线m是的垂直平分线，
∴
当不在同一条直线上时，
即
当在同一条直线上时，
故选：B
【点拨】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键
5．B
【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将最后一个图中的纸片按顺序打开铺平即可得到答案．
解：
还原后只有B符合题意，
故选B．
【点拨】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直观的得到答案．
6．D
【分析】先利用互余计算出∠BDE＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD＝∠BDE＝28°，接着根据折叠的性质得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DEF的度数，于是得到结论．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∵，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE＝28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°，
∴∠DEF＝∠FBD+∠BDE＝28°+28°＝56°．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，平行线和折叠的性质，综合运用以上性质是解题的关键．
7．D
【分析】连接，利用轴对称的性质解答即可．
解：连接，
点分别以、为对称轴，画出对称点、，
，，
，，
，
，
故选D．
【点拨】本题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．
8．D
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°，
∴∠B=180°﹣80°=100°．
故选D．
9．B
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案
解：如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠BAD＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．
故选：B．
10．B
【分析】根据轴对称的性质结合图形分析可得.
解：观察原图，有用进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的；
对应点连线是不可能平行的，D是错误的；
找对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分．
故选B．
11．
【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解．
解：∵正五边形的每一个内角为，
将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，
则，
∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，
∴，，
在中，，
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
12．2
【分析】根据题意，，当点与点重合时，符合题意，据此即可求解．
解：∵将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，
∴，
而,
当点与点重合时，，此时的长最小，
∴．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了折叠的性质，理解当点与点重合时的长最小是解题的关键．
13．40°/40度
【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解．
解：依题意，，
∵，，
，
∴，
．
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
14．．
解：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．
考点：翻折变换（折叠问题）．.
15．平移
根据平移的性质与轴对称的性质求得结果．
解：如图所示，从△ABC到△A2B2C2有两次轴对称变化，且m∥n，
∴可以通过一次平移变化得到．
16．4
解：根据图形翻折变换的性质可知DE是AC的垂直平分线，由于∠C是直角，故∠AED=90°，进而可得出DE是△ABC的中位线，由中位线定理即可得出结论．
解：∵点A与点C重合，
∴DE是AC的垂直平分线，
∵∠C是直角，
∴∠AED=90°，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=×8=4cm．
故答案为4．
17．30
【分析】利用对称性得到，，把求的长转化成的周长，问题得解．
解：点关于、的对称点分别为、，
，，
．
故答案为：30．
【点拨】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
18．55
【分析】由三角形翻折，使得点A与点C重合，推出，推出，从而求得的度数．
解：∵三角形翻折，使得点A与点C重合
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：55
【点拨】本题考查翻折图形的性质，解题的关键是灵活运用翻折图形的性质，找到相等的角．
19．OD＝OE，详见分析
【分析】证明△AOE≌△COD（AAS）得到OD＝OE．
解：OD＝OE．
理由如下：∵直线AD和CE是△ABC的两条对称轴，
∴AE＝BE＝AB，CD＝BD＝BC，CE⊥AB，AD⊥BC，
而AB＝BC，
∴AE＝CD，
在△AOE和△COD中
，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴OD＝OE．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．（1）见分析；（2）．
【分析】（1）由对称得到，再证明 即可；
（2）由全等三角形的性质，得到，∠BAC＝=100°，最后根据对称图形的性质解题即可．
解：（1）以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，
在△ABD与中，

（2）
，∠BAC＝=100°，
以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，
∠DAE．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
21．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解.
解：

【点拨】本题考查了轴对称的性质，正确运用外角的性质是解题关键.
22．(1)25°；(2)①当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；②当点P在线段CE上时，2α＋β＝50°
【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，可得∠ACD，从而α＝∠ACB−∠ACD；
（2）分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°−α，根据∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α−β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC＝∠ACD＝90°−α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°−α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°．
（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
∵P与E重合，AE平分∠BAC，
∴D在AB边上，AE⊥CD，
∴∠ACD＝65°，
∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；
（2）①如图1，当点P在线段BE上时，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，
∴90°－α＋β＝40°＋α，
∴2α－β＝50°；
②如图2，当点P在线段CE上时，
延长AD交BC于点F，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，
∴90°－α＝40°＋α＋β，
∴2α＋β＝50°．
【点拨】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质．
23．(1)见详解；(2)不能，理由见详解
【分析】（1）由折叠的性质，得∠BAD=∠EAD，∠B=∠AED=90°，结合∠C=30°，利用AAS即可证明结论成立；
（2）运用全等三角形的性质和三角形的内角和定理进行判断，即可得到结论．
（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，
∴∠BAC=60°，
由折叠的性质，则∠BAD=∠EAD=∠BAC=，∠B=∠AED=90°，
∴，
∵，，
∴△ADE≌△CDE；
（2）解：不能；理由如下：
若△ADB≌△ADE≌△CDE，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
∴若一个直角三角形能按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形，那么该直角三角形应含有一个30°的锐角；
∴对于任意一个直角三角形，不能按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
24．（1）3；（2）①-1；②3.5或-5.5
【分析】（1）根据对称性即可求解；
（2）①根据对称性即可得到点所表示的数为－3的点与表示1的点的中点，故可求解；
②根据点表示的数是－1，由中点的特点即可分类讨论求解．
解：（1）沿过原点且垂直于数轴的直线折叠纸条，则表示－3的点与表示3的点重合；
故答案为：3；
（2）①∵表示－3的点与表示1的点重合，
∴点表示的数是．
②∵，点表示的数是－1，
∴点表示的数是或．
【点拨】此题主要考查数轴的应用，解题的关键是熟知对称性、中点的性质及数轴的特点．