专题2.7 角的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

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【知识点一】角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
特别提醒：
（1）用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF;
“点到角两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度.

【知识点二】角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
特别提醒：
（1）用符号语言表示角的平分线的判定：
（2）若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB；
“点到角两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度；
角平分线的性质与判定是互逆的.

【知识点三】角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【考点一】角平分线的性质定理
【例1】如图，在中，，BD是的平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且．
求证：； (2) 若，，求AB的长．

【答案】（1）证明见解析 (2)10
【分析】（1）由角平分线的性质可得，证明，进而结论得证；
（2）证明，可得，根据计算求解即可．
（1）证明：（1）∵，
∴，
又∵BD是的平分线，，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵BD是的平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴AB的长为10．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质并证明三角形全等．
【举一反三】
【变式1】如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）

A．24B．30C．36D．42
【答案】B
【分析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，

∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形的面积
故选B.
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长．

【答案】（1）见解析； （2）
【分析】（1）由角平分线的性质得DE＝DF，再根据HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，从而证明结论；
（2）根据DE＝DF，得，代入计算即可．
解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵DE＝DF，
∴，
∵AB+AC＝10，
∴DE＝3．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
【考点二】角平分线的判定定理
【例2】如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．

【答案】28°
【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．
解：如图，过点E作EF⊥AB于F，

∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠AED=62°，
∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
【点拨】考察了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．
【举一反三】
【变式1】点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】A
【分析】连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，通过全等三角形的性质先证明OB是∠ABC的角平分线，同理可得OA、OC分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，即可求解．
解：连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，如图，

∵O到三角形三边距离相等，OM⊥BC，ON⊥AB，
∴OM=ON，∠ONB=∠OMB=90°，
∴Rt△ONB和Rt△OMB中，根据OB=OB，OM=ON，
可得Rt△ONB≌Rt△OMB，
∴∠OBN=∠OBM，
∴BO是∠ABC的角平分线，
同理可证AO，CO分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟知角平分线的性质定理．
【变式2】如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．

EC＝BF； (2) EC⊥BF； (3) 连接AM，求证：AM平分∠EMF．
【分析】（1）先求出∠EAC＝∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC＝∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE＝90°可得∠ABF+∠BDM＝90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD＝90°，从而得证．
（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；
解：（1）证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC＝BF；
（2）根据（1），∵△ABF≌△AEC，
∴∠AEC＝∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEC+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM＝90°，
在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，
所以EC⊥BF．
（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：

∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件找出两组对应边的夹角∠EAC＝∠BAF是证明的关键，也是解答本题的难点．
【考点三】角平分线性质定理与判定定理的综合
【例3】如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．

若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；
求证：点在的平分线上．
【答案】(1) 5cm； (2) 见解析．
【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质即可解答；
（2）根据角平分线的性质得到，进而得到，根据角平分线的判定定理即可证明．
（1）解：过点作于，
点在的平分线，，，
cm，
即点到直线的距离为；
（2）证明：点在的平分线，，，
，
同理：，
，
，，
点在的平分线上．
【点拨】本题考查了角平分线的性质与判定，熟知角平分线的性质定理和判定定理，根据题意添加辅助线是解题关键．
【举一反三】
【变式1】如图，平分，，，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（ ）

A．B．平分C．D．垂直平分
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．
解：对A、B、C选项，
∵平分，，，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，，
∴平分，故A、B、C正确，不符合题意；
D．∵，，
∴垂直平分，但不一定垂直平分，故D错误，符合题意．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明，是解题的关键．
【变式2】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．
求证： (1) AD平分∠BAC； (2) AC=AB+2BE.
【分析】(1) 先根据HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，则可得DE=DF，根据角平分线的判定方法即可得证；
(2)先根据AAS证明△AED≌△AFD，则可得AE=AF，又由于BE=FC，则结论得证．
（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE与Rt△CDE中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC；

（2）证明：由(1)可知AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFA=90°
又∵AD=AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
∵CF=BE，
∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE．
【点拨】本题主要考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质.熟练掌握以上知识是解题的关键．
【考点四】角平分线应用
【例4】如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程）

【分析】根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等；线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作图即可得答案．
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线l，
作∠MON的平分线OQ，
OQ交直线l于P，

P点即为所求．
【点拨】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法，掌握这两种尺规作图方法是解题关键．
【举一反三】
【变式1】如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（ ）

A．：： B．：：
C．：： D．：：
【答案】C
【分析】过点作于，于，于，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：，依据三角形面积公式求比值即可得．
解：过点作于，于，于，

点是三条角平分线交点，
，
：：：：
，
故选：C．
【点拨】题目主要考查角平分线的性质及三角形面积公式，理解角平分线的性质是解题关键．
【变式2】如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题：

直线是线段的________线，射线是的________线；
求的度数．
【答案】(1)线段垂直平分；角平分 (2)23°
【分析】（1）根据作图痕迹判断即可；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可；
（1）解：根据作图痕迹可知，
直线是线段的线段垂直平分线；
射线是的角平分线；
（2）∵垂直平分
∴
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
【考点五】角平分线与垂直平分线作图题
【例4】如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作的角平分线即可．
解：如图，射线即为所求作．

【点拨】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
【举一反三】
【变式1】如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
解：根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【点拨】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2】．如图，已知中，.
请用基本尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE.（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；

(2)在（1）所作的图形中，求证：.请完成下面的证明过程：
证明：∵AD平分，
∴______，
在与中
∴，
∴______，，AE=AC，
∵______，且，
∴，∴，
∴______，
∵，∴.
【答案】(1)见详解； (2)∠DAE，∠AED，∠B，CD
【分析】（1）利用尺规作出角平分线及相等的线段，然后连接即可；
（2）先证明，再结合∠B，且，即可得到结论．
（1）解：如图所示即为所求；

（2）证明：∵AD平分，
∴∠DAE，
在与中，
∴，
∴∠AED，，AE=AC，
∵∠B，且，
∴，
∴，
∴CD，
∵，
∴．
故答案是：∠DAE，∠AED，∠B，CD．
【点拨】本题主要考查尺规作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．