专题2.19 等边三角形的轴对称性（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份专题2.19 等边三角形的轴对称性（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共26页。

【知识点一】等边三角形的定义
三边都相等的三角形叫等边三角形.
【知识点二】等边三角形的性质
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
【知识点三】等边三角形的判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【知识点三】含30°的直角三角形
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
一、单选题
1．（2023·贵州·统考中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·河北·统考中考真题）在和中，．已知，则（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2023·河北·统考中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（ ）

A．B．C．D．
4．（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图，为等边三角形，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·福建·统考中考真题）如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·福建·统考中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）

A．1B．C．D．
7．（2018·福建·中考真题）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）

A．15°B．30°C．45°D．60°
8．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ）

A．B．C．D．
9．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
10．（2017·湖南常德·中考真题）如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是 ．
二、填空题
11．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形顶点A和C，且，，则的度数为 ．
12．（2020·辽宁·中考真题）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是 ．

13．（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ．

14．（2020·江苏常州·中考真题）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则 °．

15．（2016·广西贺州·中考真题）如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为 ．
16．（2013·广西贵港·中考真题）如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE= ．
17．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．

三、解答题
18．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，△是等边三角形， 在直线上，．
求证： ．
（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．
求证：．

20．（2021·湖北·统考中考真题）已知和都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当时，作的中线；
（2）如图2，当时，作的中线．
21．（2012·贵州遵义·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
22．（2020·四川凉山·统考中考真题）如图，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP求证：
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
23．（2020·山东烟台·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
24．（2022·青海·统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
（1）问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
图1
（2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2
参考答案
1．B
【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作于点D，

中,，，
，
，
，
故选B．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．
2．C
【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，

∵，，
∴，
∴；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，

∵，，
∴，
∴，即；
综上，的值为或．
故选：C．
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
3．C
【分析】如图，由平角的定义求得，由外角定理求得，，根据平行性质，得，进而求得．
【详解】如图，∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C．

【点拨】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．
4．C
【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
解得，
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
5．C
【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】∵是正五边形，
∴∠ABC==108°，AB=BC，
∵为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC==66°，
∴=∠AFB+∠BFC=126°，
故选：C．
【点拨】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
6．D
【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
【点拨】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
7．A
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，
即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故选A．
【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
8．C
【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．
【详解】解：∵是等边的边上的高，
∴，
∵，
∴，
故选C
【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．
9．A
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠3＝180°−40°−60°＝80°，
∵，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．
10．0＜CD≤5．
【分析】分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：（1）当点D与点E重合时，CD=0，此时∠CDE=30°不成立，
(2)当点D与点A重合时，
∵∠A=90°，∠B=60°，
∴∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，
∴CE=CD，CD=CB，
∴CD= BE=5，
∴0＜CD≤5，
故答案为：0＜CD≤5．
【点睛】本题考查的是等腰三角形、直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
11．102°
【分析】根据题意可求出的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．
【详解】三角形ABC为等边三角形
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．66°
【分析】由是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数，由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及∠FAB的度数，进而可得AE=AF以及∠EAF的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴AB=AE，∠EAB=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴AB=AF，∠FAB=60°，
∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，
∴∠EFA=．
故答案为：66°．
【点拨】本题考查了正多边形的内角问题、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
13．12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6∴2∴2∴则的最大值与最小值的差为12．
故答案为：12
【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
14．30
【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为：30.
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.
15．120°
【分析】先证明△DCB≌△ACE，再利用“8字型”证明∠AOH=∠DCH=60°即可解决问题．
【详解】解：如图：AC与BD交于点H．
∵△ACD，△BCE都是等边三角形，
∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴∠CAE=∠CDB，
∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，
∴∠AOH=∠DCH=60°，
∴∠AOB=180°﹣∠AOH=120°．
故答案为：120°
【点拨】本题考查（1）全等三角形的判定与性质；（2）等边三角形的性质.
16．2
【详解】解：如图，连接FD，
∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=6，∠A=60°．
∵点D、E、F分别是等边△ABC三边的中点，AB=6，PB=1，
∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF为△ABC的中位线．
∴EF∥AB，EF=AB=3，△ADF为等边三角形．∴∠FDA=60°，∴∠1+∠3=60°．
∵△PQF为等边三角形，∴∠2+∠3=60°，FP=FQ．∴∠1=∠2．
∵在△FDP和△FEQ中，FP=FQ，∠1=∠2，FD=FE，∴△FDP≌△FEQ（SAS）．∴DF=QE．
∵DF=2，∴QE=2
故答案为：2．
17．
【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解．
【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．详见解析
【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得．
【详解】证明：∵△是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．
19．见解析
【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可．
【详解】证明：为等边的中线，

，
，
，
【点拨】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．
20．（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】（1）连接，交于点即可；
（2）先延长，相交于点，再连接，相交于点，然后连接，交于点即可．
【详解】解：（1）如图，连接，交于点，则即为所求．
（2）分以下三步：
①延长，相交于点，
②连接，相交于点，
③连接，交于点，
则即为所求．
【点拨】本题考查了利用等边三角形的性质作图、利用线段垂直平分线的判定与性质作图等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
21．（1）2（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由见解析
【详解】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°．
∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°．
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x．
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2．
∴当∠BQD=30°时，AP=2．
（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF．
∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°．
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ．
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°．
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）．
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF．∴四边形PEQF是平行四边形．
∴DE=EF．
∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB．
又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3．
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可．
（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
22．（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°．
【分析】（1）根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP，结合等边三角形的性质证全等即可；
（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP的度数，再根据对顶角相等可得的度数；
（3）先证出，可得∠Q=∠P，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°．
【详解】解：（1）证明：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，
∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，
∴BQ=AP，
在△ABQ与△CAB中，
∴．
（2）角度不变，60°，理由如下：
∵
∴∠CPA=∠AQB，
在△AMP中，
∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，
∴∠QMC=∠AMP=60°，
故∠QMC的度数不变，度数为60°．
（3）角度不变，120°，理由如下：
当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，
有AP=BQ，∴BP=CQ
∵∠ABC=∠BCA=60°，
∴∠CBP=∠ACQ=120°，
∴
∴∠Q=∠P，
∵∠QCM=∠BCP，
∴∠QMC=∠CBP=120°，
故∠QMC的度数不变，度数为120°．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质证全等是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析
【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；
（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
24．(1）见解析
(2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．