2023年初中数学8年级下册同步压轴题 第19章 一次函数压轴题考点训练（学生版+解析版）

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A．甲车的速度为60千米/小时B．乙车的速度为75千米/小时
C．甲车比乙车晚1小时到达B地D．两车相遇时距离A地240千米
【答案】D
【分析】结合函数的图象，利用数形结合的思想，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由图象可知，甲车出发1小时走的路程为：(千米)，所以甲车的速度为(千米/小时)，故选项A正确；
由图象可知，当甲车出发5小时时，两车之间的距离为0千米，即两车相遇，设乙车的速度为千米/小时，则，解得(千米/小时)，故选项B正确；
当两车相遇时，距离A地为：千米，距离地为：千米，此时乙车原路返回所用的时间仍为小时，甲车继续行驶到达地所用的时间为；小时，故甲车比乙车晚1小时到达B地，选项D说法错误，选项C说法正确，
故选D
【点睛】本题考查了函数的图象及一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为( )
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】首先求得， 取点，连接，证明，即可推导，即有，因为，即当共线时，的值最小；利用待定系数法求出直线的解析式，即可获得答案．
【详解】解：对于直线：，
当时，可有，
当时，可有，解得，
∴，
又∵，
∴，
如下图，取点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为线段的长，
即当共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
将点代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点，
∴当的值最小时，点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征、待定系数法求一次函数解析式、最短路径、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用相关知识，并学会构建全等三角形解决问题．
3．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延长交x轴于点D，利用反射定律，推出等角，从而证明得出，得到，得到，设的直线的解析式为，待定系数法求出解析式，并求出直线与y轴的交点坐标，即C点坐标．
【详解】延长交x轴于点D，如图所示：
∵由反射可知：，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵，设的直线的解析式为，
∴，
解得，
∴的直线的解析式为，
∴当时，，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了反射定律，全等三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数解析式，综合性较强，将知识综合运用是本题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，．下列四个说法：
；
为线段中点；
；
点的坐标为．其中正确说法的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】先用待定系数法分别求出直线的解析式，再根据两条直线的斜率相乘是否等于即可判断；求出点的坐标，即可判断；用两点间的坐标公式求出的长，从而可以得出两个三角形的边的关系，从而可以判断；点为直线与轴的交点，根据解析式即可求出坐标，从而可以判断．
【详解】解：，
点坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为：，
直线经过两点，
，
解得，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
直线经过两点，
，
解得，
直线的解析式为：，
，
，
，故正确，符合题意；
点为直线与轴的交点，
当时，，
点坐标为，
，
为线段中点，故正确，符合题意；
由图象得
，，
，
(SSS)，故说法正确，符合题意；
点为直线与轴的交点，
当时，，
点的坐标为，故说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式、判断两条直线垂直、判断点是线段的中点、三角形全等的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是先用待定系数法求出两条直线的解析式．
5．如图，在四边形中，，，直线．当直线l沿射线方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形的边分别相交于点E，F．设直线向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图所示，则四边形的面积是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到的长，过点A作于点P，即可求出的长，最后根据梯形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，当直线l移动到经过点A时，
∵，直线，
∴，且此时，
∴，
∴．
过点A作于点P，
∴．
如图，当直线l由点A移动到经过点C时，交于点N，结合图象可知．
如图，当直线l由点C移动到经过点D时，结合图象可知，
∴．
结合图象又可直接得出．
∴四边形的面积是．
故选C．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．解答本题的关键是明确题意，正确作出辅助线，利用数形结合的思想解答．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、点，将直线绕点顺时针旋转与轴交于点，则的面积为( )
A．B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】如图，过A作交于E，过A、E分别作y轴、x轴的平行线交于F，交y轴于D，根据解析式求出，，由勾股定理求得，结合旋转可知，设，由勾股定理，代入点的坐标有，解得，即，
结合解得不合题意舍去，所以，设过，直线解析式为：代入法求出直线方程，从而得到利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过A作交于E，过A、E分别作y轴、x轴的平行线交于F，交y轴于D，
直线与轴、轴交于点、点，
则，，
，
顺时针旋转，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
解得，
，
，
即，
解得：或，
当时(舍去)，
当时，
，
设过，直线解析式为：
，
则有：，
解得，
，
与x轴交点为：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转、勾股定理、等腰直角三角形的性质、一次函数解析式与交点坐标以及三角形面积公式；解题的关键勾股定理求边长，用代入法求直线解析式．
7．一次函数()与的图像如图所示，当时，，则满足条件的k的取值范围是( )
A．，且B．，且
C．，且D．或
【答案】B
【分析】联立与，求出两条直线交点的横坐标，根据当时，，结合图象列不等式，即可求解．
【详解】解：联立与，
得，
解得，
即一次函数()与的图像的交点的横坐标为，
当时，，
，
当，即时，，
解得；
当，即时，，
解得，与矛盾，不合题意；
又，
满足条件的k的取值范围是且，
故选B．
【点睛】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
8．如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是_____．
【答案】
【分析】过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，
，
，，
，
，
，，
在和中，
，
，，
，
设，，
，
，
则，
，即．
直线，
，
点
，
在中，由勾股定理得：，
则的坐标是，
设直线的解析式是，
把代入得：，
即直线的解析式是，
组成方程组
解得：
点，，
故答案为：，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
9．如图．直线：与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴负半轴交于点，且，则直线的函数表达式为______．
【答案】
【分析】过点作于点，由的解析式求出点，的坐标，由得，设，，根据勾股定理和等积法求出，，得出点坐标，最后设出解析式代入求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵：与轴，轴分别交于点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
由勾股定理得，即，
由等积法得，
∴，
联立，
解得或(舍去)，
∴，
设：，
将点代入并解得，
∴的函数表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的几何综合，正确画出辅助线，熟练运用勾股定理和等积法是解题的关键．
10．已知直线与轴，轴分别交于点A，，点是射线上的动点 ，点在坐标平面内 ，以O，A，C，D为顶点的四边形是菱形．则点的坐标为______．
【答案】或
【分析】先根据题意求得分C点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点D关于直线OC的对称点恰好落在y轴，根据含30°角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得C点的坐标．
【详解】∵与轴，轴分别交于点A，，
令∴，
令∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
如图，当C点在第二象限时，设交x轴于点E，交AO于点F，CD交y轴于点G
∵四边形OACD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点D关于直线OC的对称点为，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴点为的中点，
∵，，
∴．
如图，当C点在第二象限时，延长DC交y轴于点H，则．
∵点D关于直线OC的对称点为，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综合①②可知OC的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．
11．如图，已知点在直线上，和的图像交于点B，且点B的横坐标为8，将直线绕点A逆时针旋转45°与直线相较于点Q，则点Q的坐标为______．
【答案】
【分析】将点A的坐标代入，即可求出直线的表达式，令x=8，即可求出点B的坐标，将点B的坐标代入直线，即可求出直线的表达式，将直线绕点A逆时针旋转45°与直线相较于点Q，过点Q作QE⊥AQ交AB于点E，过点Q作，过点A作AF⊥FG于点F，过点E作EG⊥FG于点G，根据全等三角形对应边相等，即可将点E的坐标表示出来，最后将点E的坐标代入的函数表达式，即可求解．
【详解】解：把点代入直线得：-5=2×2+b，解得：b=-9，
∴直线的表达式为：y=2x-9，
当x=8时，y=2×8-9=7，
∴B(8，7)，
把点B(8，7)代入直线得：7=8k-1，解得：k=1，
∴直线的表达式为：y=x-1，
将直线绕点A逆时针旋转45°与直线相较于点Q，过点Q作QE⊥AQ交AB于点E，过点Q作，过点A作AF⊥FG于点F，过点E作EG⊥FG于点G，
∵∠G=∠F=∠AQE=90°，
∴∠EQG+∠AQF=90°，∠EQG+∠QEG=90°，
∴∠AQF= QEG，
∵∠EAQ=45°，∠AQE=90°，
∴△AQE为等腰直角三角形，则AQ=QE，
在△AQF和△QEG中，
∠AQF= QEG，∠G=∠F，AQ=QE，
∴△AQF≌△QEG
∴AF=QG，FQ=EG，
设点Q(a，b)，
∵点Q在直线上，
∴y=x-1，即点Q(a，a-1)，
∵A(2，-5)，
∴AF=QG=2-a，FQ=EG=(a-1)-(-5)=a+4，
∴点E的横坐标为：a+(a+4)=2a+4，
点E的纵坐标为：(a-1)+(2-a)=1，
则E(2a+4，1)
将点E的坐标代入直线的表达式为：1=2(2a+4)-9，解得：a=，
∴，
∴Q
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的表达式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关内容是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，已知，，点P为x轴上一动点，以QP为腰作等腰，当最小时，点H的坐标为___________．
【答案】
【分析】作、垂直于轴于、，证明≌，推出，，设，得，求出点的运动轨迹，找到最小值的情况，求出的解析式，再和联立，即可求出点H坐标．
【详解】解：作、垂直于轴于、，
则，
则，
为等腰直角三角形，
，
即，
，
在和中，
，
≌，
，，设，得，
点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连交于点，
当点与点重合时最小，
此时F，设直线的解析式为，将F代入，得：
，解得：，
，
联立：，解得：，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图2，点D在点C右侧的x轴上，过点D作x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，且．
①求点E的坐标；
②若点M是射线上的动点，连接，并在左侧作等腰直角，当顶点P恰好落在直线上时，求出对应的点M的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②点M的坐标为或
【分析】(1)根据两条直线的关系式求出交点坐标即可；
(2)①设点E的坐标为，则点F的坐标为：，根据列出关于m的方程，解方程，即可得出答案；
②分，，三种情况分别求出点M的坐标即可．
【详解】(1)解：联立，
解得：，
∴点C的坐标为；
(2)解：①设点E的坐标为，则点F的坐标为，
∵，
∴，
解得：，
∴点E的坐标为；
②当时，
把代入得：，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴点P与点O重合，点B与点M重合，
∴点M坐标为；
当时，过点M作于点G，过点P作于点H，如图所示：
设点M的坐标为，则，
∵点D的横坐标为4，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴点P的横坐标为：，纵坐标为：，
即，
把代入得：
，
解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，过点M作直线轴，交直线于点K，过点P作直线轴，交直线l于点Q，如图所示：
则四边形是矩形，
同理可证，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴点P的纵坐标为，横坐标为，
即，
把点代入得：
，
解得：，
符合题意，
∴，
∴点M的坐标为：；
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴、y轴分别交于点和点C，直线与直线交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点E为线段上一个动点，过点E作轴，垂足为F，且与直线交于点G，当时，求点G的坐标；
(3)问在平面上是否存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为
(2)
(3)存在，符合条件的H点的坐标为或或
【分析】(1)根据题意求出D点的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式即可；
(2)设出G点的坐标，根据直线解析式得出E点坐标，根据，列方程求解即可得出G点的坐标；
(3)分为对角线，为对角线，为对角线三种情况分别讨论求出H点的坐标即可．
【详解】(1)解：由题意知，在直线上，
∵当时，，
∴，
设直线的解析式为，
由题意得：，
解得，
∴直线的解析式为；
(2)解：∵轴，
∴G，E的横坐标相同，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
(3)解：存在，点H的坐标为：或或，
①如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
令，则，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，
∴此时；
②如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
∵，
∴直线为，
∵，，
∴；
③如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
∵，∴直线为，
∵，，∴；
综上所述，符合条件的H点的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的存在性问题，熟练掌握平行四边形的性质，注意分情况讨论是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点C，点C的横坐标为2．
(1)求一次函数的表达式；
(2)如图1，点M为线段上一点，若，求点M的坐标；
(3)如图2，点N为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到(点B的对应点为点D)，交x轴于点E．
①当点D落在y轴上时，请直接写出点D的坐标；
②若为直角三角形，请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)①②或
【分析】(1)先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)设点M的坐标，先求出点，得出，求出，列出关于m的方程，，解方程即可；
(3)①过点C作轴于点E，求出，根据折叠得出，根据勾股定理求出，即可得出答案；
②分两种情况，或，分别画出图形，利用勾股定理，求出点N的坐标即可．
【详解】(1)解：∵点C的横坐标为2，
∴把代入得：，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数表达式为；
(2)解：设点M的坐标，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
解得；，
∴点M的坐标．
(3)解：①过点C作轴于点G，如图所示：
∵，，
∴，
根据折叠可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当时，过点C作轴于点M，并延长，过点D作于点F，如图所示：
设点，则，
根据折叠可得：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：或(舍去)，
∴此时点的坐标为；
当时，如图所示：
设点，则，
根据折叠可得：，，
∵，
∴轴，
∴，，
∴，，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴此时点N的坐标为：；
综上分析可知，点N的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，三角形面积的计算，解题的关键是根据题意作出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论．
16．如图1，直线与x轴，y轴分别交于点和．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点是直线上的一个动点(如图2)，点的横坐标为，以线段为边，点为直角顶点在y轴右侧作等腰直角，与x轴交于点C．
①求证：；
②在点的运动过程中，是否存在某个位置，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②存在，的值为或或
【分析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)①连接，根据等腰直角三角形的性质，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据等腰直角三角形的性质和等量代换，得出，进而得出，再根据勾股定理和等量代换，即可得出结论；②根据点的坐标，得出，再根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出是等腰直角三角形，然后分三种情况进行分类讨论：当点与点重合时，点与点重合，此时交轴于点，即点与点重合；当时；当时，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，进行求解即可．
【详解】(1)解：设直线的解析式为，
由题意得，
解得，
∴直线的函数表达式是；
(2)解：①如图，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②存在，理由如下：
∵、，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图，当点与点重合时，点与点重合，此时交轴于点，即点与点重合，
∴，
∴为等腰三角形，
∴此时；
如图，当时，
∵为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
如图，当时，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
综上所述，的值为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和分类讨论思想．