人教版9年级上册数学同步压轴题 专题02 反比例函数与一次函数综合（学生版+教师解析）

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例．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)，若反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=k2x+b．
(1)求反比例函数和直线EF的解析式；
(2)求△OEF的面积；
(3)请直接写出不等式k2x+b﹣＜0的解集．
【答案】(1)直线EF的解析式为y=-x+5
(2)
(3)或x>6
【解析】(1)∵四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)，
∴C点坐标为(6，4)，
∵点A为线段OC的中点，
∴A点坐标为(3，2)，
∴k1=3×2=6，
∴反比例函数解析式为y=；
把x=6代入y=，得y=1，则F点的坐标为(6，1)，
把y=4代入y=，得x= ，则E点坐标为(，4)，
把F、E的坐标代入y=k2x+b得，解得，
∴直线EF的解析式为y=-x+5；
(2)的面积=S矩形BCDO-S△ODE-S△OBF-S△CEF
= =．
(3)结合函数图象，写出直线在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围，
即可得到不等式k2x＋b－<0的解，
因为E点坐标为(，4)，F点的坐标为(6，1)，则k2x＋b－<0解是：或x>6．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，将沿着翻折得到，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，一次函数的图象经过点，．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直接写出当时，不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；(2)
【解析】(1)解：如图，过点作轴于点，
在中，，，，
由翻折可知，，，，，
，，
，，，点的坐标为，
将点的坐标代入反比例函数的解析式可得，解得，
故反比例函数的解析式为；
将点，的坐标代入一次函数的解析式可得，解得，
故一次函数的解析式为；
(2)
解：联立得，解得或，
点的坐标为．
由图象可得当时，不等式的解集为．
【变式训练2】如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)在轴上求一点，当的面积为3时，则点的坐标为______．
(3)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，求的取值范围．
【答案】(1)，；(2)或；(3)或
【解析】解：∵过点，
∴，
即反比例函数解析式为，
当时，，即，
∵过和，
可得，解得，
∴一次函数解析式为；
(2)如下图，设点P为一次函数与x轴的交点，
当时，有，
∴点P的坐标为(-1，0)，
设点N的坐标为(n，0)，则，
∵
，
∴，
解得或，
∴点N的坐标为或．故答案为：或；
(3)如图，设与的图像交于、两点，
∵向下平移两个单位得，且，
∴，
将直线解析式与反比例函数解析式联立，
得，解得或，
∴，，
在A、两点之间或B、两点之间时，存在，
∴当函数值时，的取值范围为或．
类型二、交点问题
例1．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．
(1)求的值和直线的解析式；
(2)如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；
(3)如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．
【答案】(1)；；(2)4；(3)
【解析】解：把点A(4，n)代入，得；
设直线OA为，把代入，得
4k=2,解得：，
∴直线OA的解析式为；
(2)
如图1，将y轴顺时针旋转45°，交 的图象于点N，
则OM＝ON，
直线ON的解析式为y = x，
由，解得：或(舍去)
∴点N()
∴OM＝ON＝；
(3)
解：如图2，作A点关于直线OB的对称点A1，
则OA=OA1，AA1⊥OB，
作A1C⊥y轴于点C，作AD⊥x轴于点D，
易证，
∴OC=OD，A1C=AD，
∵A的坐标为(4，2)，
∴的坐标为，
∴直线AA1的解析式为：，
∴直线OB的解析式为：，
由，解得或(负解舍去)
∴点．
例2．如图，矩形ABCD的顶点A在x轴负半轴，B在x轴正半轴，D在第二象限，C在第一象限，CD交y轴于点M．△ABD沿直线BD翻转，A点恰好落在y轴的点E处，BE交CD于点F．EM＝3，DM＝4．双曲线过点C．
(1)分别求出直线BE和双曲线的解析式；
(2)把直线BE向上平移n个单位长度，平移后的直线与双曲线只有一个交点，求n的值．
【答案】(1)；；(2)
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∵矩形ABCD的顶点A在x轴负半轴，B在x轴正半轴，D在第二象限，C在第一象限，EM＝3，DM＝4，如图，
∴轴，
∴在中，
．
由折叠的性质可得，．
∵在矩形ABCD中，，
又，
∴四边形OMDA、四边形OMCB都是矩形，
∴，，
∴，
∴．
设，
则．
∵在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，．
设直线BE的解析式为，
把点和点的坐标代入得
，
解得，
∴直线BE解析式为：；
设反比例函数解，
把点代入得，
∴双曲线的解析式为：；
(2)
解：根据(1)得直线BE向上平移n个单位长度所得的直线为 ，
将它代入双曲线解析式得，
整理得．
∵平移后的直线与双曲线只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，(不符合题意舍去)，
故n的值为．
例3.在平面直角坐标系中，直线l：y＝x与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(2，a)．
(1)a＝ ，k＝ ；
(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P(m，n)为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝(x＞0)的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝(x＞0)的图象在点B，C之间的部分所围成的区域(不含边界)记为W．利用函数图象解决下列问题：
①若PA＝OA，则区域W内有 个整点；
②若区域W内恰有5个整点，求m的取值范围．
【答案】(1)3；6；(2)①5
②或
【解析】解：∵直线l：y＝x与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(2，a)，
∴a＝×2＝3，
∴点A(2，3)，
∵反比例函数y＝过点A，
∴k＝3×2＝6．
故答案为：3；6．
(2)
①∵点P为射线OA上一点，且PA＝OA，
∴A为OP中点，
∵A(2，3)，
∴点P的坐标为(4，6)，
将x＝4代入y＝中，得y＝，
将y＝6代入y＝中，得x＝1，
∵PB，PC分别垂直于x轴和y轴，
∴B(4，)，C(1，6)，
如图所示：

结合函数图象可知，区域W内有5个整点，
故答案为：5；
②当点P在点A下方时，如图，

结合函数图象可知，当≤m＜1时，区域W内有5个整点；
当点P在点A上方时，如图，

结合函数图象可知，当＜m≤4时，区域W内有5个整点；
综上所述：当＜m≤4或≤m＜1，区域W内有5个整点．
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数的图像交于点A(a，4－a)点B(b，4－b)，其中，与坐标轴的交点分别是C、D．
(1)求的值；
(2)求直线l的函数表达式
(3)若，过点作平行于x轴的直线与直线AB和反比例函数的图象分别交于点E、F．
①当时，求t的取值范围．
②若线段EF上横坐标为整数的点只有1个(不包括端点)，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)①；②或
【解析】解：直线与反比例函数的图象交于点，点，
，
，
，
，
，
；
(2)
设直线的解析式为，把，点代入得，
，
解得，，
直线的解析式为；
(3)
①当时，，
，
反比例函数的解析式为：，
令，解得或，
．
过点，作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点、，
，，，
当时，点在点的左侧，
，整理得，方程恒成立；
当或时，，重合，则；
当或时，，
整理得，，解得，
或，
综上，当时，的取值范围为：．
②如图，作直线，，，，分别与反比例函数交于点，，，，
，，，．
由图可知，若线段上横坐标为整数的点只有1个(不包括端点)，则的取值范围为：或．
类型三、定值、最值问题
例1．如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图像上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若，求P的坐标；
(3)如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，PQ与GA的延长线交于点H；
①若，求点H的坐标；
②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．
【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或
(3)①点H(0，5)；②(a+2)(b-4)=2，为定值．
【解析】解：过点A作AH⊥x轴于点H，如图所示：
则∠AHO=90°，
∴∠HAO+∠AOH=90°，
∵BC⊥x轴，
∴∠BCO=90°，
∴∠AHO=∠BCO，
∵点A(-1，2)绕原点顺时针旋转90°至点B，
∴AO=BO，∠AOB=90°，AH=2，OH=1，
∴∠AOH+∠BOC=90°，
∴∠HAO=∠BOC，
∴△AHO≌△OCB(AAS)，
∴OC=AH=2，BC=OH=1，
∴点B坐标为(2，1)，
将点B坐标代入反比例函数，
得k=2×1=2，
∴反比例函数解析式：；
(2)
设点P坐标为(p，)，
则S△POC＝×2×=，
当点P在点B左侧的双曲线上，
S△PBC＝×1×(2−p)，
∵S△POC=4S△PBC，
∴=4×，
解得p1=p2=1，
∴点P坐标为(1，2)；
当点P在点B右侧的双曲线上，
S△PBC＝×1×(p−2)= ，
∵S△POC=4S△PBC，
∴=4×，
解得(不符合题意，舍去)，
∴点P坐标为，
∴符合条件的点P坐标为(1，2)或；
(3)
①当m=2时，
根据题意，可得mn=2，
即2n=2，
∴n=1，
∴点P坐标为(2，1)，点G坐标为(-2，-1)，点Q坐标为(1，3)，
设直线GA的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将点A和点G坐标代入解析式，
得，
解得，
∴直线AG的解析式为y=3x+5，
设直线PQ的解析式为，
将点P和点Q坐标代入解析式，
得，
解得，
∴直线PQ的解析式为y=-2x+5，
联立，
解得，
∴点H坐标为(0，5)；
②(a+2)(b-4)是定值，
∵P(m，n)，G(-m，-n)，A(-1，2)，Q(m-1，n+2)，
设直线AG的解析式为y=dx+c(d≠0)，
代入点A和点G的坐标，得，解得，∴直线AG的解析式为，
设直线PQ的解析式为y=ex+f(e≠0)，
代入点P和点Q坐标，得，解得，∴直线PQ的解析式为y=-2x+2m+n，
联立，解得，∴点H(m-2，n+4)，
∵记H的坐标为(a，b)，∴a=m-2，b=n+4，∴(a+2)(b-4)=mn，
∵点P(m，n)是第一象限内双曲线上一动点，∴mn=2，
∴(a+2)(b-4)=2．
例2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
【答案】(1)点在这个反比例函数的图像上，理由见解析
(2)①，；②点的坐标为
【解析】解：点在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图像上；
(2)
解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，，，，(负值舍去)，，，
把，代入得，；
②延长交轴于，如图所示：
，，点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，，，
设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，有函数()，(，)，．
(1)若与相交于点
①求与的值；
②结合图像，直接写出时的取值范围；
(2)在轴上有一点且，过点作轴平行线，分别交、、于点、、，经计算发现，不论取何值，的值均为定值，请求出此定值和点的坐标．
【答案】(1)①m的值为-2，k的值为-4．②0＜x＜2．
(2)=6，点B的坐标为(1，3)
【解析】解：(1)①∵y2与y3图象相交于点A(2，m)，
∴把A(2，m)分别代入和，
得，解得．
∴m的值为-2，k的值为-4．
②，y3=-4x+6，A(2，-2)，
根据图象可知，y2＜y3时，0＜x＜2．
(2)
∵P(a，0)，a＞0，
∴
∴，
BC-BD
．
∵不论k取何值，BC-BD的值均为定值，
∴，
解得a=1或a=-1(舍去)．
∴此定值为6，点B的坐标为(1，3)．
【变式训练2】将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形(也称为直线的坐标三角形)．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形(也称为直线AB的坐标三角形)．
(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在(1)(2)条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．
【答案】(1)84
(2)
(3)
【解析】(1)∵将代入，得：，
∴点B(0，-7)，
∴，
又∵点D(0，18)，即，
∴，
由翻折的性质可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直线BC的坐标三角形的面积；
(2)
设，，
∵在Rt△AOB中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴点A(，0)，
∵将点A(，0)代入，得：，
∴，
(3)
如图，连接CE交AB于点P，
∵点C与点D关于直线AB对称，
∴，
∴，
∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，
设直线CE的解析式，
将点C(-24，0)、E(0，8)代入上式，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式，
联立，
解得：，
∴点P(-9，5)，
设反比例函数解析式为，
∴，
∴反比例函数解析式为．