初中数学北京课改版九年级上册20.4 解直角三角形单元测试综合训练题

这是一份初中数学北京课改版九年级上册20.4 解直角三角形单元测试综合训练题，共21页。试卷主要包含了在中，，，的值是，如图，中，，，，则的长是等内容，欢迎下载使用。

1．在中，，，的值是（ ）
A．B．C．1D．
2．在平面直角坐标系中，已知点与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α，那么的值等于（ ）
A．2B．C．D．
3．如图，四边形，有，，，以中点O为圆心作弧及弧，动点P从C点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点P运动到点D时，线段扫过的面积为（ ）

A． B．C．D．
4．如图，在中，，，点D为边上一点，将沿折叠，点B恰好落在边上的点E处．若，则为（ ）

A．B．1C．D．
5．如图，中，，，，则的长是（ ）

A．2B．4C．6D．8
6．如图，在矩形中，对角线交于点O，交延长线于点M，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在矩形中，，E，P分别是边和对角线上的动点，连接，记，若，则的最小值为（ ）

A．3B．4C．5D．
8．王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（ ）．
A．B．C．D．
9．如图，有一斜坡，坡顶B离地面的高度为，斜坡的倾角是，若，则此斜坡的水平距离为（ ）

A．B．C．D．
10．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（ ）

A．B．C．D．
11．如图，在中，，于D，，，则 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为，且OP与x轴正半轴的夹角为．若，则 ．

13．若三个边长为1的正方形按如图的方式放在内，其中为中的直角，两点都是正方形的顶点，点在边上，点在线段上，则斜边的长为 ．
14．如图，中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，连接，则的值为 ．
15．在正方形中，．点是线段的中点，连接，将沿翻折，使点落在点处，对角线与，分别相交于点，，则的长是 ．
16．如图，在中，，和关于直线对称，连接，与相交于点O，过点C作，垂足为C，与相交于点E，若，BC=6，则的值为
17．如图，中，，，，动点P从点A开始以每秒4个单位长度的速度匀速沿A→C运动，到达C点时停止，动点Q同时从点C开始以每秒1个单位长度的速度匀速沿C→B运动，P点停止时，Q点也同时停止．点D为的中点，连接，，．设运动时间为t秒．
(1) ， （用含t的式子表示）；
(2)当时，求t的值；
(3)当以C、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值．
18．如图，是的中线，

求：
(1)的长；
(2)的正弦值．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、问答题
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的余弦值，由题意知，，根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查三角函数及坐标与图形，求出的长，再根据一个角的正弦值的定义求解是．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，，则，
∴；
故选：C．
3．C
【分析】连接，，过作于，证明，根据三角函数得出，求出，证明为等边三角形，求出，求出，得出．
【详解】解：连接，，过作于，

∵点O是中点，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，，
∵为直角三角形，点O是中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
同理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，扇形面积公式及解直角三角形，根据线段长度得到直角三角形， 结合特殊三角形的正弦值得到圆周角从而得到圆心角，结合扇形面积公式即可得到答案．
4．B
【分析】根据翻折的性质可得，，设，则，，利用锐角三角函数即可求解，此题考查了翻折的性质、锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：由翻折的性质可得，，
设，则，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选：B
5．C
【分析】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：C
6．D
【分析】先利用矩形的性质和勾股定理求出长，然后推导出，则有，可以求出和长，然后在中秋出余弦值即可．
【详解】解：∵是矩形，
∴，，，，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理和解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质．过点P作于点H，交于点G，求得，根据垂线段最短，知当点E与点G重合时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：过点P作于点H，交于点G，

∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，∴，
∴，，
∴，
∴，
当点E与点G重合时，有最小值，最小值为的长，
∵，
∴的最小值为3，
故选：A．
8．C
【详解】如图，过点作，交于点．在中，，，，．
【易错点分析】不会画图，“地沿北偏西方向”应该在地建立方向坐标，“地向正南方向”应该在地建立方向坐标，要根据需要建立方向坐标．
9．A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据正切的定义计算即可．
【详解】解：在中，，，，
则，
解得：，
则斜坡的水平距离为，
故选：A．
10．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点．过点A作于D，过点B作于E，根据同角的余角相等求出，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，最后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可解答．
【详解】解：如图：过点A作于D，过点B作于E，

设 间的距离为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在等腰直角中，，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选：C．
11．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解得到，则可利用勾股定理求出，再解得到．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
12．10
【分析】本题考查了正切值的概念，勾股定理，
过点作轴的垂线段，交轴于点，则，利用，可得的值，再利用勾股定理即可解答，
根据，想到作直角三角形，作出辅助线，是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作轴的垂线段，交轴于点，则，
，
，
，
，
故答案为：10．

13．/
【分析】根据余角的性质得到，证明，得到，由勾股定理可得，求得，得到，求得，于是得到答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、正方形的性质，证得是解此题的关键．
14．
【分析】设与交于点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可得，从而证明，得到，进而得到是的垂直平分线，然后可得，最后证明，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：设与交于点，
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，点是边的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵以为底边在其右侧作等腰三角形，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，过三角线一边上的中点且平行于另一边必平分第三边，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义等知识点．掌握相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．/
【分析】先构造出直角三角形，利用三角函数求出，，进而求出，再构造出等腰三角形，求出，最后用相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图，过点作于G，过点作交于点H，过点作于P，

∴，
∵点是正方形的边中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
由折叠得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是构造在出等腰三角形．
16．
【分析】由轴对称的性质可得，，可证四边形是菱形，由菱形的性质可得，，，，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求，的长，即可求解．
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴
故
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出的长是解题的关键．
17．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据根据定理先求出的长，再根据，，得出结果；
（2）可根据列出方程求得结果；
（3）首先证明或，从而得到或，进一步得出结果．
【详解】（1）解：，，
，
，，
故答案为：，；
（2）如图，
，
，
，
，
当时，；
（3）．
或，
或，
或，
或．
【点睛】本题考查了列代数式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理等知识，解决问题的关键是弄清数量关系，正确分类．
18．(1)6
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：
（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题；
（2）在中，求出，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，作于．

在中，，，
，，
在中，，
，
．
（2），
，，，
在中，．
的正弦值为．