初中苏科版7.5 多边形的内角和与外角和学案设计

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知识精讲
1.三角形的内角
(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法
剪拼成平角、通过作平行线构造平角，构造两平行线下的同旁内角。
3.三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠ABD是△ABC的一个外角。
（2）性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和为360°。
【即学即练1】如图所示，已知FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=150°，∠B=∠C，求∠EDF的大小．
1.多边形
(1)定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
(2)多边形的内角；多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
(3)多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
(4)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
(5)凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.
(6)正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.一个n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线，所有对角线的数量是 ??−32条
2.多边形的内角和、外角和
(1)多边形内角和公式：n边形内角和等于(n-2)×180°，
(2)定理：多边形的外角和等于360°.多边形的外角和恒等于360°，与多边形的边数无关.
(3)正n边形的每个内角等于 ?−2?⋅180°，每个外角等于360°。
【即学即练2】探究多边形内角和时，我们常把多边形转化成三角形，再根据三角形内角和为180°得出多边形内角和．如图是探究多边形内角和一种方法，请根据图示，完成填空
（1）四边形内角和：4×180°﹣360°＝4×180°﹣2×180°＝2×180°；
（2）五边形内角和：5×180°﹣360°＝5×180°﹣2×180°＝ ；
（3）六边形内角和：6×180°﹣360°＝6×180°﹣2×180°＝ ；
…
（4）n边形内角和： ＝ ＝ ．
能力拓展
考法01 三角形的内角和与外角和
【典例1】如图，MN∥PQ，直线与、分别交于点、，点在直线上，过点作，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若点在线段上不与、、重合，连接，和的平分线交于点，请在图中补全图形，猜想并证明与的数量关系；
（3）若直线的位置如图所示，中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出与的数量关系．
考法02 多边形的内角和与外角和
【典例2】（感知）如图①，在四边形AEFC中，EB、FD分别是边AE、CF的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A＋∠C＝260°，则∠BEF＋∠DFE＝ 度．
（探究）如图②，在四边形AECF中，EB、FD分别是边AE、AF的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系．
（结论）综合以上，请你用文字描述上述关系： ．
（应用）如图③，FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，若∠A＋∠C＝210°，求∠M的度数．
分层提分
题组A 基础过关练
1．若一个正多边形的各个内角都是140°，则这个正多边形是（ ）
A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形
2．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．若一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
4．一个多边形的每一个外角都是，这个多边形的内角和为（ ）
A．B．C．D．
5．在四边形的4个内角中，钝角的个数最多为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．若多边形的边数增加一条，则它的外角和（ ）
A．增加180°B．不变C．增加360°D．减少180°
7．以下叙述正确的有（ ）
①对顶角相等；②同位角相等；③两直角相等；④邻补角相等；⑤多边形的外角和都相等；⑥三角形的中线把原三角形分成面积相等的两个三角形
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．五边形的五个外角的度数之比，那么该五边形的最小的内角的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了个三角形，则经过这一点的对角线的条数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝2∠C＝90°，则∠D的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
题组B 能力提升练
1．如图，△ABC中，，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．能够铺满地面的正多边形组合是（ ）
A．正三角形和正五边形B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形D．正五边形和正十边形
3．如果一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这个多边形有（ ）条对角线．
A．20B．27C．35D．44
4．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10或11B．11或12或13C．11或12D．10或11或12
5．如图，直线AB//CD，直线AB，EG交于点F，直线CD，PM交于点N，∠FGH＝90°，∠CNP＝30°，∠EFA＝α，∠GHM＝β，∠HMN＝γ，则下列结论正确的是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝120°C．α+β﹣γ＝60°D．β+γ﹣α＝60°
6．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1＋∠2B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2D．3∠A＝2（∠1＋∠2）
7．如图，已知，平分，平分．若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
8．下列说法中正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．由两条射线组成的图形叫做角
C．若过多边形的一个顶点可以画5条对角线，则这个多边形是八边形
D．对于线段与，若，则点是线段的中点
9．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（ ）
A．86°B．84°C．76°D．74°
题组C 培优拔尖练
1．下列结论：①一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则相应的3个内角度数之比为；②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；③在图形的平移中，连接对应点的线段互相平行且相等；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤一个五边形最多有3个内角是直角；⑥两条直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．其中错误结论有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A．B．C．或D．或或
3．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（ ）
A．5°B．13°C．15°D．20°
4．如图，小明从点出发，沿直线前进10米后向左转10°再沿直线前进10米后向左转20°再沿直线前进10米后向左转30°……照这样下去，他第一次回到出发地点时，一共走了（ ）
A．80米B．160米
C．300米D．640米
5．如图，BE、CE分别为的内、外角平分线，BF、CF分别为的内、外角平分线，若，则_______度．
6．已知从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，这些对角线可以把这个六边形分成个三角形，则______.
7．一个多边形的所有内角与这个多边形其中一个外角的和等于2020°，则这个多边形的边数是_________．
8．如图，如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________．
9．如图，在图（1）中，猜想：________度．请说明你猜想的理由．
如果把图1成为2环三角形，它的内角和为；图2称为2环四边形，它的内角和为．则2环四边形的内角和为________度；2环五边形的内角和为________度；2环n边形的内角和为________度．
10．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________；
（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
11．如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝ 度；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE//AD，试求出∠C的度数；
（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；
②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为 ．
12．（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；
（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？
（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
课程标准
课标解读
1.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
2.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、对角、对角线等概念；探索并掌握多边形的内角和与外角和公式。
1.掌握三角形内角和、外角和定理及其证明；
2.掌握多边形内角和、外角和定理，并运用内、外角和定理进行角的计算。
多边形的顶点数/个
4
5
6
7
8
……
从一个顶点出发的对角线的条数/条
1
2
3
4
5
……
①___________
多边形对角线的总条数/条
2
5
9
14
20
……
②___________